北師大版9年級數學上冊期末試題考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內相應的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題24分）一、單選題（6小題，每小題2分，共計12分）1、如圖，點D、E分別在△ABC的邊BA、CA的延長線上，且DE∥BC，已知AE＝3，AC＝6，AD＝2，則BD的長為（）A．4 B．6 C．7 D．82、定義新運算，對于任意實數a，b滿足，其中等式右邊是通常的加法、減法、乘法運算，例如，若（k為實數）是關于x的方程，則它的根的情況是（

）A．有一個實根 B．有兩個不相等的實數根 C．有兩個相等的實數根 D．沒有實數根3、下列命題是真命題的是（

）A．對角線相等的四邊形是矩形B．對角線互相垂直的四邊形是矩形C．對角線互相垂直的矩形是正方形D．四邊相等的平行四邊形是正方形4、下列一元二次方程中，有兩個不相等實數根的是（

）A． B．x2+2x+4=0 C．x2-x+2=0 D．x2-2x=05、如圖，菱形ABCD的兩條對角線長分別為AC＝6，BD＝8，點P是BC邊上的一動點，則AP的最小值為（

）A．4 B．4.8 C．5 D．5.56、如圖，在△ABC中，點G為△ABC的重心，過點G作DE∥BC，分別交AB、AC于點D、E，則△ADE與四邊形DBCE的面積比為（）A． B． C． D．二、多選題（6小題，每小題2分，共計12分）1、如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB、AC上，下列條件中能判斷△AED∽△ABC的是（）A．∠AED＝∠ABC B．∠ADE＝∠ACBC． D．2、（多選）若數使關于的一元二次方程有兩個不相等的實數解，且使關于的分式方程的解為非負整數，則滿足條件的的值為（

）A．1 B．3 C．5 D．73、如圖，點P在函數（x＞0，k＞2，k為常數）的圖象上，PC⊥x軸交的圖象于點A，PD⊥y軸于點D，交，當點P在（x＞0，k＞2，k為常數）的圖象上運動時（

）A．ODB與OCA的面積相等 B．四邊形PAOB的面積不會發(fā)生變化C．PA與PB始終相等 D．4、如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點，F是CD上一點，且，下列結論：①∠BAE=30°，②△ABE∽△AEF，③AE⊥EF，④△ADF∽△ECF．其中正確的為（

）A．① B．② C．③ D．④5、（多選）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于D于點O，點P為線段AC上一點，連接BP，過點P作交AD于點E，連接BE，若，，下列說法正確的有（

）A． B． C． D．6、關于x的一元二次方程(k－1)x2+4x+k－1=0有兩個相等的實數根，則k的值為（

）A．1 B．0 C．3 D．－3第Ⅱ卷（非選擇題76分）三、填空題（8小題，每小題2分，共計16分）1、一個正方形的面積為，則它的對角線長為________．2、關于的方程，k=_____時，方程有實數根．3、對于任意實數a、b，定義一種運算：，若，則x的值為________．4、如圖，點E為矩形ABCD的邊BC長上的一點，作DF⊥AE于點F，且滿足DF＝AB．下面結論：①△DEF≌△DEC；②S△ABE＝S△ADF；③AF＝AB；④BE＝AF．其中正確的結論是_____．5、如圖，正方形ABCO的邊長為，OA與x軸正半軸的夾角為15°，點B在第一象限，點D在x軸的負半軸上，且滿足∠BDO＝15°，直線y＝kx+b經過B、D兩點，則b﹣k＝_____．6、據統(tǒng)計，2021年第一季度宜賓市實現地區(qū)生產總值約652億元，若使該市第三季度實現地區(qū)生產總值960億元，設該市第二、三季度地區(qū)生產總值平均增長率為x，則可列方程__________．7、已知菱形的邊長為，兩條對角線的長度的比為3：4，則兩條對角線的長度分別是_____________．8、如果關于x的方程有兩個相等的正實數根，那么m的值為____________．四、解答題（6小題，每小題10分，共計60分）1、如圖，矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝3cm，點E從點B沿BC以2cm/s的速度向點C移動，同時點F從點C沿CD以1cm/s的速度向點D移動，當E，F兩點中有一點到達終點時，另一點也停止運動．當△AEF是以AF為底邊的等腰三角形時，求點E運動的時間．2、如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E，F分別為OB，OD的中點，延長AE至點G，使EG＝AE，連接CG．(1)求證：△ABE≌△CDF；(2)當AB與AC滿足什么數量關系時，四邊形EGCF是矩形？請說明理由．3、已知關于的一元二次方程有實數根.（1）求的取值范圍.（2）若該方程的兩個實數根為、，且，求的值.4、如圖，平行四邊形的對角線、相較于點O，且，，．求證：四邊形是矩形．5、某公司前年繳稅40萬元，今年繳稅48.4萬元．該公司繳稅的年均增長率為多少？6、端午節(jié)是我國的傳統(tǒng)節(jié)日，益民食品廠為了解市民對去年銷量較好的花生粽子、水果粽子、豆沙粽子、紅棗粽子(分別用A、B、C、D表示)這四種不同口味的粽子的喜愛情況，對某居民區(qū)的市民進行了抽樣調查，并根據調查結果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．(1)本次參加抽樣調查的居民有多少人？(2)將兩幅統(tǒng)計圖補充完整；(3)小明喜歡吃花生粽子和紅棗粽子，媽媽為他準備了四種粽子各一個，請用“列表法”或“畫樹形圖”的方法，求出小明同時選中花生粽子和紅棗粽子的概率．-參考答案-一、單選題1、B【解析】【分析】只需要證明△AED∽△ACB即可求解.【詳解】解∵DE∥BC，∴∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED∴△AED∽△ACB∴∴∴BD＝AD+AB＝2+4＝6．故選B．【考點】本題主要考查了平行線的性質，相似三角形的性質與判定，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.2、B【解析】【分析】將按照題中的新運算方法展開，可得，所以可得，化簡得：，，可得，即可得出答案.【詳解】解：根據新運算法則可得：，則即為，整理得：，則，可得：，；，方程有兩個不相等的實數根；故答案選：B.【考點】本題考查新定義運算以及一元二次方程根的判別式.注意觀察題干中新定義運算的計算方法，不能出錯；在求一元二次方程根的判別式時，含有參數的一元二次方程要尤其注意各項系數的符號.3、C【解析】【分析】根據矩形的判定方法對A、B矩形判斷；根據正方形的判定方法對C、D矩形判斷．【詳解】解：A、對角線相等的平行四邊形是矩形，所以A選項錯誤；B、對角線相等的平行四邊形是矩形，所以B選項錯誤；C、對角線互相垂直的矩形是正方形，所以C選項正確；D、四邊相等的菱形是正方形，所以D選項錯誤．故選C．【考點】本題考查了命題與定理：命題的“真”“假”是就命題的內容而言．任何一個命題非真即假．要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．4、D【解析】【分析】逐一分析四個選項中方程的根的判別式的符號，由此即可得出結論．【詳解】A.此方程判別式，方程有兩個相等的實數根，不符合題意;B.此方程判別式方程沒有實數根，不符合題意;C.此方程判別式，方程沒有實數根，不符合題意;D.此方程判別式，方程有兩個不相等的實數根，符合題意;故答案為：D.【考點】此題考查了一元二次方程根的判別式，根的判別式的值大于0，方程有兩個不相等的實數根；根的判別式的值等于0，方程有兩個相等的實數根；根的判別式的值小于0，方程沒有實數根．5、B【解析】【分析】由垂線段最短，可得AP⊥BC時，AP有最小值，由菱形的性質和勾股定理可求BC的長，由菱形的面積公式可求解．【詳解】如圖，設AC與BD的交點為O，∵點P是BC邊上的一動點，∴AP⊥BC時，AP有最小值，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝3，BO＝DO＝BD＝4，∴BC＝，∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝BC×AP，∴AP＝＝4.8，故選：B．【考點】本題考查了菱形的性質，勾股定理，確定當AP⊥BC時，AP有最小值是本題關鍵．6、A【解析】【分析】連接AG并延長交BC于H，如圖，利用三角形重心的性質得到AG=2GH，再證明△ADE∽△ABC，根據相似三角形的性質得到==，然后根據比例的性質得到△ADE與四邊形DBCE的面積比.【詳解】解：連接AG并延長交BC于H，如圖，∵點G為△ABC的重心，∴AG＝2GH，∴＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝（）2＝，∴△ADE與四邊形DBCE的面積比＝．故選：A．【考點】本題考查了三角形的重心與相似三角形的性質與判定.重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2∶1.二、多選題1、ABD【解析】【分析】根據三角形相似的判斷方法判斷即可．【詳解】解：A、∵∠AED＝∠ABC，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，符合題意；B、∵∠ADE＝∠AC，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，符合題意；C、，不能判定△AED∽△ABC，不符合題意；D、∵，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，符合題意．故選：ABD．【考點】此題考查了三角形相似的判斷方法，解題的關鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法．2、AC【解析】【分析】根據一元二次方程根的判別式及分式有意義的條件和分式方程的解為非負整數分別求出a的取值范圍，即可得答案．【詳解】∵關于的一元二次方程有兩個不相等的實數解，∴，解得：，∵，∴，解得：，∵關于的分式方程的解為非負整數，∴且，解得：且，∴且a≠3，∵是整數，∴a=1或5，故選：AC．【考點】本題考查一元二次方程根的判別式、解分式方程及分式有意義的條件，正確得出兩個不等式的解集是解題關鍵，注意分式的分母不為0的隱含條件，避免漏解．3、AB【解析】【分析】由反比例函數k的幾何意義可判斷出各個結論的正誤．【詳解】解：A.∵點A，B在函數的圖象上，∴,故選項A正確；B.∵矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA為定值，則四邊形PAOB的面積不會發(fā)生變化；故此選項正確．C.PA與PB不一定相等，只有當四邊形OCPD是正方形時滿足PA=PB，故此選項不正確；D.∵A、B在上，∴S△AOC=S△BOE，∴?OC?AC=?OD?BD，∴OC?AC=OD?BD，∵OC=PD，OD=PC，∴PD?AC=DB?PC，∴．故此選項不正確．故選AB【考點】此題是反比例函數綜合題，主要考查了反比例函數（k≠0）中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經常考查的一個知識點；這里體現了數形結合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．4、BC【解析】【分析】根據相似三角形的定義，已知條件判定相似的三角形，再利用相似三角形的性質逐一判斷選項即可．【詳解】解：在正方形中，是的中點，是上一點，且，，．．，．，，，．．，．②③正確．故選：BC．【考點】本題考查了相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是掌握判定定理有①有兩個對應角相等的三角形相似，②有兩個對應邊的比相等，且其夾角相等，則兩個三角形相似；③三組對應邊的比相等，則兩個三角形相似．5、ABC【解析】【分析】由∠DBP+∠BPO=90°，∠APE+∠BPO=90°，可判斷結論A正確；過P作PK⊥AD于K，PT⊥AB于T，證明△PKE≌△PTB（ASA），可判定結論B正確；延長KP交BC于M，可得△CPM是等腰直角三角形，CP=PM=CP=1，即可得AE=AD-DK-KE=4，判斷結論C正確；在Rt△BPM中，BP=，可得S△PBE=BP?PE=13，可判斷結論D錯誤．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BOP=90°，∴∠DBP+∠BPO=90°，∵PE⊥PB，∴∠APE+∠BPO=90°，∴∠APE=∠DBP，故結論A正確；過P作PK⊥AD于K，PT⊥AB于T，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠BAC，又PK⊥AD，PT⊥AB∴PK=PT，∵∠KPT=90°=∠EPB，∴∠KPE=∠BPT，∵∠PKE=90°=∠PTB，∴△PKE≌△PTB（ASA），∴PE=PB，故結論B正確；延長KP交BC于M，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠ACB=45°，∴PM⊥BC，∴△CPM是等腰直角三角形，∴CP=PM=CP=1，∴DK=CM=1，KE=PM=1，∴AE=AD-DK-KE=4，故結論C正確；∵BC=6，CM=1，∴BM=5，在Rt△BPM中，BP==，∴PE=BP=，∴S△PBE=BP?PE=13，故結論D錯誤，故選：ABC．【考點】本題考查正方形的性質及應用，涉及全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質及應用等知識，解題的關鍵是作輔助線，證明△PKE≌△PTB．6、C【解析】【分析】由方程有兩個相等的實數根，根據根的判別式可得到關于k的方程，則可求得k的值．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程(k﹣1)x2+4x+k﹣1＝0有兩個相等的實數根，∴Δ＝0，即42﹣4(k﹣1)2＝0，且k﹣1≠0，解得k＝3或k＝-1．故選C．【考點】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式?=b2﹣4ac與根的關系，熟練掌握根的判別式與根的關系式解答本題的關鍵．當?>0時，一元二次方程有兩個不相等的實數根；當?=0時，一元二次方程有兩個相等的實數根；當?<0時，一元二次方程沒有實數根．三、填空題1、【解析】【分析】根據正方形的面積求得正方形的邊長，再由勾股定理求得正方形的對角線長即可.【詳解】∵正方形的面積為，∴正方形的邊長為9cm，∴正方形對角線的長為.故答案為.【考點】本題考查了正方形的性質，熟知正方形的性質是解決問題的關鍵.2、【解析】【分析】由于最高次項前面的系數不確定，所以進行分類討論：①當時，直接進行求解；②當時，方程為一元二次方程，利用根的判別式，確定k的取值范圍，最后綜合①②即可求出滿足題意的k的取值范圍．【詳解】解：①當時，方程化為：，解得：，符合題意；②當時，∵方程有實數根，∴，即，解得：，∴且；綜上所述，當時，方程有實數根，故答案為：．【考點】題目主要考查方程的解的情況，包括一元一次方程及一元二次方程的求解，分情況討論方程的解是解題關鍵．3、或2【解析】【分析】根據新定義的運算得到，整理并求解一元二次方程即可．【詳解】解：根據新定義內容可得：，整理可得，解得，，故答案為：或2．【考點】本題考查新定義運算、解一元二次方程，根據題意理解新定義運算是解題的關鍵．4、①②④．【解析】【分析】證明Rt△DEF≌Rt△DEC得出①正確；在證明△ABE≌△DFA得出S△ABE＝S△ADF；②正確；得出BE＝AF，④正確，③不正確；即可得出結論．【詳解】解：四邊形是矩形，，在和中，，①正確在和中，；②正確，④正確，③不正確故答案為：①②④．【考點】本題考查了矩形的性質、全等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握矩形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵．5、2﹣．【解析】【分析】連接OB，過點B作BE⊥x軸于點E，根據正方形的性質可得出∠AOB的度數及OB的長，結合三角形外角的性質可得出∠BDO＝∠DBO，利用等角對等邊可得出OD＝OB，進而可得出點D的坐標，在Rt△BOE中，通過解直角三角形可得出點B的坐標，由點B，D的坐標，利用待定系數法可求出k，b的值，再將其代入（b﹣k）中即可求出結論．【詳解】解：連接OB，過點B作BE⊥x軸于點E，如圖所示．∵正方形ABCO的邊長為，∴∠AOB＝45°，OB＝OA＝2．∵OA與x軸正半軸的夾角為15°，∴∠BOE＝45°﹣15°＝30°．又∵∠BDO＝15°，∴∠DBO＝∠BOE﹣∠BDO＝15°，∴∠BDO＝∠DBO，∴OD＝OB＝2，∴點D的坐標為（﹣2，0）．在Rt△BOE中，OB＝2，∠BOE＝30°，∴BE＝OB＝1，OE＝＝，∴點B的坐標為（，1）．將B（，1），D（﹣2，0）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴b﹣k＝4﹣2﹣（2﹣）＝2﹣．故答案為：2﹣．【考點】此題考查的是正方形的性質、等腰三角形的判定、直角三角形的性質和求一次函數的解析式，掌握正方形的性質、等角對等邊、30°所對的直角邊是斜邊的一半、勾股定理和利用待定系數法求一次函數解析式是解決此題的關鍵．6、【解析】【分析】根據題意，第一季度地區(qū)生產總值平均增長率第三季度地區(qū)生產總值，按照數量關系列方程即可得解．【詳解】解：根據題意，第一季度地區(qū)生產總值平均增長率第三季度地區(qū)生產總值列方程得：，故答案為：．【考點】本題主要考查了增長率的實際問題，熟練掌握相關基本等量關系是解決本題的關鍵．7、，【解析】【分析】如圖BD：AC=3：4，AB=10cm，設BD=3x，則AC=4x，根據菱形的性質，DO=BO=，AO=CO=2x，在RtΔAOD中，AD2+DO2+AO2，，求出x，BD=3x，AC=4x即可．【詳解】如圖BD：AC=3：4，AB=10cm，設BD=3x，則AC=4x，根據菱形的性質，DO=BO=，AO=CO=2x，AC垂直BD在RtΔAOD中，AD2+DO2+AO2，，x=4，AC=4×4=16，BD=3×4=12，則兩條對角線的長度分別是12cm,16cm．故答案為：12cm,16cm．【考點】本題考查菱形的對角線問題，掌握菱形的性質，利用對角線之間的關系，和勾股定理構造方程是解題關鍵．8、4【解析】【分析】根據一元二次方程根的判別式即可求得或，再根據方程有兩個相等的正實數根，可知兩根之和為正數，據此即可解答．【詳解】解：關于x的方程有兩個相等的實數根解得或又關于x的方程有兩個相等的正實數根兩根之和為正數，即，解得故故答案為：4【考點】本題考查了一元二次方程根的判別式及根與系數的關系，熟練掌握和運用一元二次方程根的判別式及根與系數的關系是解決本題的關鍵解．四、解答題1、（6－）s【解析】【分析】設點E運動的時間是x秒．根據題意可得方程，解方程即可得到結論．【詳解】解：設點E運動的時間是xs．根據題意可得22＋（2x）2＝（3－2x）2＋x2，解這個方程得x1＝6－，x2＝6＋，∵3÷2＝1.5（s），2÷1＝2（s），∴兩點運動了1.5s后停止運動．∴x＝6－．答：當△AEF是以AF為底邊的等腰三角形時，點E運動的時間是（6－）s．【考點】本題考查了一元二次方程的應用，考查了矩形的性質，等腰三角形的判定及性質，勾股定理的運用．2、(1)見解析(2)當AC＝2AB時，四邊形EGCF是矩形．理由見解析【解析】【分析】（1）由平行四邊形的性質得出AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，由平行線的性質得出∠ABE=∠CDF，中點證出BE=DF，證明△ABE≌△CDF即可；（2）證出AB=OA，由等腰三角形的性質得出AG⊥OB，∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，由全等可以推出EG=CF，又因為∠OEG＝90°，得出四邊形EGCF是矩形，即可得出結論．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF．∵點E，F分別為OB，OD的中點，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF．在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）．(2)解：當AC＝2AB時，四邊形EGCF是矩形．理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA=OC=CD．∵點E是OB的中點，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，∵OC=CD，F是OD的中點，∴CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，由（1）得△ABE≌△CDF，∴AE＝CF．∵EG＝AE，∴EG＝CF，∴四邊形EGCF是平行四邊形．又∵∠OEG＝90°，∴四邊形EGCF是矩形．【考點】本題主要考查了平行四邊形的性質和判定、矩形的判定、全等三角形的判定、平行線的性質．3、（1）.（2）.【解析】【分析】（1）根據方程的系數結合根的判別式△≥0，即可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍；（2）由根與系數的關系可得出x1+x2=6，x1x2=4m+1，結合|x1-x2|=4可得出關于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．【詳解】（1）∵關于x的一元二次方程x2-6x+（4m+1）=0有實數根，∴△=（-6）2-4×1×（4m+1）≥0，解得：m≤2；（2）∵方程x2-6x+（4m+1）=0的兩個實數根為x1、x2，∴x1+x2=6，x1x2=4m+1，∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=42，即32-16m=16，解得：m=1．【考點】本題考查