第3章一階動態(tài)電路分析3.1引言3.2電容與電感3.3電路初始值的計算3.4一階電路分析習題3

3.1.1動態(tài)電路

前面我們討論了由電阻元件和電源構成的電路，這類電路稱為電阻電路。實際上，電路中除了電阻元件外，還經(jīng)常含有電容元件和電感元件。電容元件和電感元件由于其伏安關系為微分關系或積分關系，因而其電壓或電流并不像電阻元件那樣取決于同一時刻激勵的電流或電壓值，而與其激勵的全過程有關，故電容和電感元件常被稱為動態(tài)元件或記憶元件。又由于這兩種元件在電路中有儲存能量的作用，故也常被稱為儲能元件。含有動態(tài)元件的電路,稱為動態(tài)電路。3.1引言

動態(tài)電路的分析像直流電路一樣，也是將由基爾霍夫定律建立的結構約束和由元件伏安關系建立的元件約束組成聯(lián)立方程來求解。只不過動態(tài)元件的伏安關系為微分或積分關系，因此，動態(tài)電路的方程常需用微分方程來描述。我們把用一階微分方程來描述的電路稱為一階動態(tài)電路。一階動態(tài)電路為僅含有一種儲能元件的電路，即電路要么僅含有電容元件，要么僅含有電感元件。圖3.1(a)、(b)所示為常見的充電電路和線圈勵磁電路，即最簡單的RC和RL一階動態(tài)電路。

圖3.1簡單的一階動態(tài)電路3.1.2零輸入、零狀態(tài)、全響應

在討論電阻電路時，由于電阻不是儲能元件，故不涉及儲能問題。而在動態(tài)電路中，常遇到電容或電感的儲能問題，即在電路開關閉合前，電容元件(電感元件)已經(jīng)儲有初始電壓(電流)，如圖3.2所示。

圖3.2電路的初始儲能

S1閉合前，電容C已有電壓uC(0)＝U0，S2閉合前，電感元件中已有電流iL(0)＝I0流過。為便于分析，稱電路狀態(tài)改變或參數(shù)改變?yōu)閾Q路。換路時刻用t＝0表示，換路前一瞬間用t＝0－表示，換路后一瞬間用t＝0＋表示。將換路前一瞬間的電容電壓和電感電流值稱為初始值，用uC(0－)和iL(0－)表示。那么，圖3.2中，uC(0－)就表示電容元件在換路前一瞬間的電壓值，而iL(0－)表示電感元件換路前一瞬間的電流值。

儲能元件初始值為零的電路稱為零狀態(tài)電路。在零狀態(tài)電路中，各支路或元件的響應稱為零狀態(tài)響應。圖3.2中，若uC(0－)＝0，此時電容C從零開始充電，電路就是一個零狀態(tài)電路。若iL(0－)＝0，該電路也稱為零狀態(tài)電路。

動態(tài)電路中，若外加激勵源uS和iS的值都是零，此時電路沒有外部激勵，只有儲能元件所儲能量產生的電壓和電流，這種電路稱為零輸入電路。零輸入電路中各支路或元件的響應稱為零輸入響應。如電容器的放電電路、電磁鐵的消磁電路等，都是零輸入電路。

有外加激勵且儲能元件的初始值不為0時，此時各元件或支路的響應稱為全響應。顯然，零輸入響應、零狀態(tài)響應僅是全響應的一種特例，故本章的分析應以全響應為主。

3.2.1電容

電容是電路中最常見的基本元件之一。兩塊金屬板之間用介質隔開，就構成了最簡單的電容元件，若在其兩端加上電壓，兩個極板間就會建立電場，儲存電能。

3.2電容與電感

電容元件用C來表示，C也表示電容元件儲存電荷的能力，在數(shù)值上等于單位電壓加在電容元件兩端時，儲存電荷的電量值。在國際單位制中，電容的單位為法拉，簡稱法，用字母F表示，也可用微法(μF)、皮法(pF)表示。它們的關系是

1F＝106μF＝1012pF

若參考正方向一致，電容儲存的電荷量q與其極板電壓u(t)呈線性關系，如圖3.3(b)所示。

q(t)＝Cu(t) (3.1)

圖3.3電容元件及其－伏庫性其伏安關系為

(3.2)

式(3.2)說明，電容元件的伏安關系為微分關系，通過電容元件的電流與該時刻電壓的變化率成正比。顯然，電壓變化率越大，通過的電流就越大，如果加上直流電壓，則i＝0，這就是電容的一個明顯特征：通高頻，阻低頻；通交流，阻直流。

如果知道電流，可求出電容兩端的電壓

(3.3)

上式中將積分變量t換為ξ，以區(qū)別積分上限t。此式表明，電容兩端的電壓與電流的全過程有關，也就是說，電容元件是記憶元件，有記憶電流的作用。

在實際計算中，電路常從某一時刻(如t＝0)算起，即從某一初始電壓u(0)開始，則

(3.4)

U(0)表示從負無窮大到t＝0時刻電容所積累的電壓值，即初始值。這也從數(shù)學上解釋了初始值的含義。

電容元件的功率為

(3.5)

電容元件t時刻的儲能為

在t＝＋∞時刻，電容儲能為零，故

(3.6)

上式表明，電容元件的儲能，不論電壓是正是負，始終是大于或等于0的。3.2.2電感

把導線繞在一根鐵芯上，就構成一個簡單的電感元件。接通電源后，線圈四周就建立了磁場，儲存了磁場能量，故電感是儲存磁場能量的元件。

電感元件用L表示，L也表示電感元件中通過電流時產生磁鏈的能力，在數(shù)值上等于單位電流通過電感元件時產生磁鏈的絕對值。在國際單位制中，L的單位為亨利，用H表示，也可用毫亨(mH)、微亨(μH)表示。它們的關系為

1H＝103mH＝106μH

在圖3.4所示的關聯(lián)參考方向下，電感的磁鏈與電流呈線性關系：（3.7）

j(t)＝Li(t) (3.7)

式中,L既表示電感元件，也表示電感元件的參數(shù)。

電感元件的伏安關系為

(3.8)

上式表明，電感元件的伏安關系為微分關系，元件兩端的電壓與該時刻電流的變化率成正比。顯然，電流的變化率越高，則U越大。而在直流電路中，UL＝0，電感相當于短路。

圖3.4電感元件及其磁鏈電流特性如果已知電壓，則可求出對應的電流：

(3.9)

上式表明電感元件也是記憶元件，有記憶電壓的作用。

仿照對電容的分析方法，則從t＝0時刻算起的電流為

(3.10)

電感元件的功率關系為

(3.11)

電感元件的儲能為

(3.12)

3.2.3電容、電感的串、并聯(lián)

1.電容串聯(lián)

C1，C2，…，Cn個電容串聯(lián)，可以等效為一個電容C。等效電容的倒數(shù)等于各個串聯(lián)電容的倒數(shù)之和，即

(3.13)

圖3.5電容串聯(lián)

2.電容并聯(lián)

C1，C2，…，Cn個電容并聯(lián)，可以等效為一個電容C，如圖3.6所示。等效電容C等于各個并聯(lián)電容之和，即

C＝C1＋C2＋…＋Cn (3.14)

圖3.6電容并聯(lián)

3．電感串聯(lián)

L1，L2，…，Ln串聯(lián)，可以等效為一個電感L，如圖3.7所示。等效電感L等于各個串聯(lián)電感之和，即

L＝L1＋L2＋…＋Ln (3.15)

4．電感并聯(lián)

若L1，L2，…，Ln并聯(lián)，則可以等效為一個電感L，如圖3.8所示。等效電感的倒數(shù)等于各個并聯(lián)電感的倒數(shù)之和，即

(3.16)

圖3.7電感串聯(lián)

圖3.8電感并聯(lián)

3.3.1換路定則

在求解動態(tài)電路的微分方程時，積分常數(shù)是由變量的初始值決定的。也就是說，在求解動態(tài)電路之前，應先求出電路中各未知量的初始值。3.3電路初始值的計算

圖3.9RC電路的換路示例如圖3.9所示電路，t＝0時，S閉合，S閉合前uC(0－)＝U。

由電容的伏安關系可得，當t＝(0＋)時，電容電壓為

(3.17)

上式中，若iC為有限值，不發(fā)生突變，則在無窮小區(qū)間t(0－)到t(0＋)內，積分項

(3.18)

因此，從t(0＋)到t(0＋)時刻有

uC(0＋)＝uC(0－) (3.19)上式表明，電容兩端的電壓在電容電流為有限值的情況下，在換路時刻是不會突變的。

同理，由電感的伏安關系知，在換路時刻，電感電流為

(3.20)

在uL為有限值的情況下，積分項也等于零，故

iL(0＋)＝iL(0－) (3.21)

以上分析表明，在t＝0處，若電容電流和電感電壓為有限值，則電容電壓和電感電流在該處是連續(xù)的，不會發(fā)生突變。我們把式(3.19)和(3.21)稱為換路定理。

需要指出的是，換路定理只有在電容電流和電感電壓為有限值時才成立。電路其它各處的初始值及在沖擊作用下的電容電流、電感電壓均是可以躍變的。

3.3.2初始值的計算

電路中儲能元件的初始值(電容電壓和電感電流)可由換路定理確定，具體步驟如下：

(1)由換路定理求出uC(0＋)和iL(0＋)。

(2)用uS＝uC(0＋)的電壓源、iS＝iL(0＋)的電流源替換電容元件和電感元件，得到t(0＋)

時刻的等效電路。

(3)求解置換后的等效電路，可得到其它電量的初始值。

【例3.1】

如圖3.10所示，t＝0，開關S由1扳向2；t<0時，電路處于穩(wěn)態(tài)。已知R1＝2Ω，R2＝2Ω，R3＝4Ω，L＝1mH，C＝5μF，US＝24V，求換路后的初始值iL(0＋)

、iC(0＋)和uC(0＋)。

解t<0時，電路處于穩(wěn)態(tài)，故

uC(0－)＝UR3＝4×4＝16V

圖3.10例3.1電路圖由換路定理

iL(0＋)＝iL(0－)＝4A

uC(0＋)＝uC(0－)＝16V

t＝0＋時的等效電路如圖3.11所示，且

圖3.11例3.1等效電路圖

3.4.1一階電路分析簡介

一階電路不論是零輸入響應、零狀態(tài)響應還是全響應，均可以利用KVL、KCL和電路的伏安關系加以分析。

如圖3.12所示的RC電路，t＝0時S閉合，閉合前uC(0－)＝U0，求uC(t)。3.4一階電路分析

圖3.12RC電路圖當t＝0＋時，S閉合，由KVL得

US＝uR＋uC

又

利用KVL方程

方程的解為

(3.22)

其中τ＝RC，A為積分常數(shù)。

將t＝0＋代入式(3.22)得到

uC(0＋)＝US＋A＝U0

則 A＝U0－US

最后得到

(3.23)

式中，US為電容的最終充電電壓，即t＝∞時，uC(∞)＝US，該值稱為響應的穩(wěn)態(tài)值，用f(∞)表示；τ＝RC，是由電路參數(shù)決定的常數(shù)，具有時間量綱，稱為時間常數(shù)；U0為響應的初始值，用f(0＋)表示。f(0＋)、f(∞)和τ稱為一階電路的三要素，利用這三要素可以很容易地求出一階電路的全響應，即

(3.24)

這一結論對一階電路普遍適用。3.4.2一階電路的三要素求解法

一階電路可以通過微分方程來求解，也可以直接用三要素來求解，即對任何響應量f(t)，均可以先求出該響應的穩(wěn)態(tài)值f(∞)、初始值f(0＋)和電路的時間常數(shù)τ這三個量，然后代入公式(3.24)，即可得到響應的解。這種分析方法稱為一階電路的三要素分析法。具體的求解過程可歸納如下。

1.計算初始值f(0)

計算初始值f(0)可通過換路定理和等效電路進行。

2.計算穩(wěn)態(tài)值f(∞)

一階動態(tài)電路進入穩(wěn)態(tài)后，電容相當于開路，電感相當于短路，從而可以得到一個不含電容和電感的電路，該電路即為相應的動態(tài)電路進入穩(wěn)態(tài)后的情況。根據(jù)穩(wěn)態(tài)電路可以方便地求出各響應量的穩(wěn)態(tài)值。

3.計算時間常數(shù)τ

一階RC電路的時間常數(shù)τ＝RC，一階RL電路的時間常數(shù)τ＝L/R。其中R為從動態(tài)元件兩端看入，除源后電路的等效電阻。遇到有多個C和L串并聯(lián)的電路，可先除源，然后求出等效的C和L。3.4.3一階電路響應的分析

一階電路的響應可表示為

式中為隨時間呈指數(shù)規(guī)律衰減項，該項在t→∞時，衰減到0，稱為暫態(tài)分量；另一部分f(∞)是動態(tài)電路進入穩(wěn)態(tài)后的響應量，稱為穩(wěn)態(tài)分量。

若電路的初始值f(0＋)＝0，則響應為

(3.25)

上式即為一階電路的零狀態(tài)響應。

若電路沒有外加電源，穩(wěn)態(tài)值f(∞)＝0，則電路的零輸入響應為

(3.26)

從式(3.25)和式(3.26)可以看出，一階電路的全響應就是電路的零輸入響應與零狀態(tài)響應的疊加，即

【例3.2】

如圖3.13(a)所示的電容C放電電路，已知uC(0－)＝U0＝12V，C＝1μF，R＝6Ω，求放電過程中的uC(t)及i(t)，并從電壓變化說明時間常數(shù)τ的含義。

解由換路定理

uC(0＋)＝uC(0－)＝12V

t＝0＋時S閉合，初始值等效電路如圖3.13(b)所示，故

電路的時間常數(shù)τ為

τ＝RC＝6×1×10－6＝6×10－6s圖3.13例3.2電路

電路進入穩(wěn)態(tài)后(電容放電結束)

uC(∞)＝0i(∞)＝0

所以

若令t＝τ，2τ，3τ，…，∞，則

u(τ)＝U0e－1＝0.368U0

u(2τ)＝U0e－2＝0.135U0

u(3τ)＝U0e－3＝0.050U0

u(∞)＝0

從上面的式子中可以看出，τ反映了電路過渡過程的快慢，τ越大，過渡過程越慢。對放電過程而言，每經(jīng)過一個時間常數(shù)τ，電容電壓下降0.368倍，顯然，τ越小放電過程越快。

【例3.3】

如圖3.14(a)所示電路，t＝0時開關閉合，S閉合前電路處于穩(wěn)態(tài)，R1＝4Ω，R2＝2Ω，R3＝2Ω，C＝5μF，求t≥0時的uC(t)、iC(t)、i(t)。

解(1)初始值的計算。由換路定則知

uC(0＋)＝uC(0－)＝12V

t＝0＋時的等效電路見圖3.14(b)，所以

(R1＋R3)i(0＋)－R3iC(0＋)＝12

－R3i(0＋)＋(R2＋R3)iC(0＋)＝－12

解得電流初始值為

i(0＋)＝1.2A

iC(0＋)＝－2.4A

圖3.14例3.3電路圖

(2)穩(wěn)態(tài)值的計算。

電路進入穩(wěn)態(tài)時，電容相當于開路，等效電路如圖3.14(c)所示。

iC(∞)＝0A

(3)時間常數(shù)τ的計算。

在圖3.14(c)所示的電路中，將電壓源短路，從電容端看進去可得到等效電阻為

τ＝RC＝3.33×5×10－6＝1.67×10－5s

將以上三要素代入公式，得到

【例3.4】

如圖3.15(a)所示電路，當t＝0時，S閉合，閉合前電路處于穩(wěn)態(tài)，求t≥0時的i(t)及u(t)。

解由三要素法進行分析。

(1)求初始值。

S閉合前電路處于穩(wěn)態(tài)，電感相當于短路，故

t＝0＋時的等效電路如圖3.15(b)所示，有

圖3.15例3.4電路圖

(2)求穩(wěn)態(tài)值。

換路后t＝∞時，電感相當于短路，則

u(∞)＝0V

(3)求τ。

從電感端口看進去的等效電阻為

故

習題3

1.如題圖3.1所示，開關在t=0時動作，試求電路中的動態(tài)元件在t=0+時刻的電壓、電流。

2.如題圖3.2所示，電路原已穩(wěn)定。t=0時開關S斷開，試求斷開后瞬間各支路電流和儲能元件上的電壓。

3.如題圖3.3所示，求開關S斷開后，電容電壓uC（t）和放電電流iC（t）。題圖3.1

2.如題圖3.2所示，電路原已穩(wěn)定。t＝0時開關S斷開，試求斷開后瞬間各支路電流和儲能元件上的電壓。

題圖3.2