2025年放縮法經典題庫及答案

一、單項選擇題1.用放縮法證明不等式：若\(a=\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}\)，則\(a\)與\(1\)的大小關系是（）A.\(a>1\)B.\(a<1\)C.\(a=1\)D.無法確定答案：B2.已知\(S_n=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}\)，對\(S_n\)進行放縮，下列正確的是（）A.\(S_n<1\)B.\(S_n>1\)C.\(S_n<\frac{3}{4}\)D.\(S_n>\frac{3}{4}\)答案：A3.設\(a_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}\)，則\(a_{n+1}-a_n\)等于（）A.\(\frac{1}{2n+1}\)B.\(\frac{1}{2n+2}\)C.\(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}\)D.\(\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{2n+1}\)答案：C4.已知\(b_n=\frac{1}{3^n}\)，\(T_n=b_1+b_2+\cdots+b_n\)，對\(T_n\)放縮可得（）A.\(T_n<\frac{1}{2}\)B.\(T_n<\frac{1}{3}\)C.\(T_n>\frac{1}{2}\)D.\(T_n>\frac{1}{3}\)答案：A5.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_n=\frac{1}{n^2+n}\)，\(S_n\)是其前\(n\)項和，用放縮法可得\(S_n\)的范圍是（）A.\(S_n<1\)B.\(S_n>1\)C.\(S_n<\frac{3}{4}\)D.\(S_n>\frac{3}{4}\)答案：A6.若\(x>0\)，\(y>0\)，\(x+y=1\)，則\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值用放縮法可證明為（）A.\(2\)B.\(4\)C.\(6\)D.\(8\)答案：B7.用放縮法證明\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2^n}<1\)，這里放縮的依據(jù)是（）A.每項都小于\(1\)B.等比數(shù)列求和公式C.每項都小于\(\frac{1}{2}\)D.等差數(shù)列求和公式答案：B8.已知\(c_n=\frac{n}{2^n}\)，\(R_n=c_1+c_2+\cdots+c_n\)，對\(R_n\)放縮正確的是（）A.\(R_n<2\)B.\(R_n>2\)C.\(R_n<3\)D.\(R_n>3\)答案：A9.數(shù)列\(zhòng)(\{d_n\}\)中，\(d_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)，\(D_n\)是其前\(n\)項和，用放縮法可得\(D_n\)滿足（）A.\(D_n<\sqrt{n+1}\)B.\(D_n>\sqrt{n+1}\)C.\(D_n<\sqrt{n}\)D.\(D_n>\sqrt{n}\)答案：A10.用放縮法證明不等式\(\frac{1}{1\times3}+\frac{1}{3\times5}+\cdots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}<\frac{1}{2}\)，其放縮思路是（）A.將每一項放大B.將每一項縮小C.部分項放大D.部分項縮小答案：B二、多項選擇題1.以下關于放縮法證明不等式的說法正確的有（）A.可以通過將式子中的某些項放大或縮小來達到證明目的B.放縮時要保證不等號方向正確C.放縮的依據(jù)可以是不等式的性質D.放縮法只能用于數(shù)列相關不等式證明答案：ABC2.對于數(shù)列\(zhòng)(a_n=\frac{1}{n^2}\)，在放縮過程中可以采用的方法有（）A.\(a_n<\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}(n\geq2)\)B.\(a_n<\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)C.\(a_n>\frac{1}{(n+1)^2}\)D.\(a_n>\frac{1}{(n-1)^2}(n\geq2)\)答案：ABC3.用放縮法證明\(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}<\frac{7}{4}\)，可以進行的放縮操作有（）A.當\(n=1\)時，\(1<\frac{7}{4}\)成立B.當\(n\geq2\)時，\(\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)C.當\(n\geq2\)時，\(\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n^2-1}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1})\)D.直接將每一項\(\frac{1}{n^2}\)都放大為\(\frac{1}{(n-1)^2}\)答案：ABC4.設\(b_n=\frac{1}{n^3}\)，以下對\(b_n\)放縮正確的有（）A.\(b_n<\frac{1}{n(n^2-1)}=\frac{1}{(n-1)n(n+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{(n-1)n}-\frac{1}{n(n+1)})\)B.\(b_n<\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}(n\geq2)\)C.\(b_n<\frac{1}{n^2}\)D.\(b_n>\frac{1}{(n+1)^3}\)答案：ACD5.在利用放縮法證明與數(shù)列\(zhòng)(c_n=\frac{n}{(n+1)!}\)相關的不等式時，可能用到的放縮方法有（）A.\(c_n=\frac{n}{(n+1)!}<\frac{n+1}{(n+1)!}=\frac{1}{n!}\)B.\(c_n=\frac{n}{(n+1)!}>\frac{n-1}{(n+1)!}\)C.\(c_n=\frac{n}{(n+1)!}<\frac{1}{(n-1)!}\)（\(n\geq2\)）D.\(c_n=\frac{n}{(n+1)!}>\frac{1}{(n+2)!}\)答案：ABC6.用放縮法證明\(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}>\sqrt{n}\)，可以采取的步驟有（）A.當\(k=1\)時，\(1>\sqrt{1}\)成立B.當\(k\geq2\)時，\(\frac{1}{\sqrt{k}}>\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\)C.當\(k\geq2\)時，\(\frac{1}{\sqrt{k}}<\frac{1}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}=\sqrt{k}-\sqrt{k-1}\)D.利用累加法進行求和放縮答案：ABD7.對于數(shù)列\(zhòng)(d_n=\frac{2^n}{(2^n-1)(2^{n+1}-1)}\)，放縮的方法可以是（）A.\(d_n=\frac{2^n}{(2^n-1)(2^{n+1}-1)}<\frac{2^n}{(2^n-1)^2}\)B.\(d_n=\frac{2^n}{(2^n-1)(2^{n+1}-1)}=\frac{1}{2^n-1}-\frac{1}{2^{n+1}-1}\)C.\(d_n=\frac{2^n}{(2^n-1)(2^{n+1}-1)}>\frac{2^n}{(2^{n+1}-1)^2}\)D.\(d_n=\frac{2^n}{(2^n-1)(2^{n+1}-1)}<\frac{1}{2^n}\)答案：ABC8.以下能運用放縮法證明的不等式有（）A.\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}>\ln(n+1)\)B.\(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}<\frac{\pi^2}{6}\)C.\(a^2+b^2\geq2ab\)D.\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}(a,b>0)\)答案：AB9.用放縮法證明數(shù)列不等式時，常見的放縮技巧有（）A.舍掉或添加一些項B.利用函數(shù)的單調性C.利用基本不等式D.將分式的分子分母同時擴大或縮小答案：ABCD10.設數(shù)列\(zhòng)(e_n=\frac{n}{n^2+1}\)，對\(e_n\)進行放縮可以得到（）A.\(e_n<\frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}\)B.\(e_n>\frac{n}{n^2+n}=\frac{1}{n+1}\)C.\(e_n<\frac{n}{n^2-1}=\frac{1}{n-1}(n\geq2)\)D.\(e_n>\frac{n}{(n+1)^2}\)答案：ABD三、判斷題1.放縮法證明不等式時，放縮的方向必須明確且正確。（√）2.對于數(shù)列\(zhòng)(a_n=\frac{1}{n}\)，\(a_1+a_2+\cdots+a_n<n\)可以用放縮法證明。（√）3.用放縮法證明不等式時，只能將式子放大，不能縮小。（×）4.若\(a_n=\frac{1}{n^2+n}\)，放縮為\(a_n<\frac{1}{n^2}\)是合理的。（√）5.放縮法證明數(shù)列不等式時，放縮的“度”很重要，否則可能無法達到證明目的。（√）6.已知\(b_n=\frac{1}{3^n}\)，放縮為\(b_n<\frac{1}{2^n}\)是正確的放縮思路。（×）7.用放縮法證明\(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}<2\)是可行的。（√）8.對于數(shù)列\(zhòng)(c_n=\frac{n}{2^n}\)，放縮為\(c_n<\frac{n}{2^{n-1}}\)一定能幫助證明相關不等式。（×）9.放縮法只能用于數(shù)列不等式，不能用于函數(shù)不等式證明。（×）10.若要證明\(S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+2)}<\frac{3}{4}\)，放縮\(\frac{1}{k(k+2)}<\frac{1}{k^2}\)是合適的方法。（×）四、簡答題1.簡述放縮法證明不等式的一般步驟。首先，觀察要證明的不等式結構特點，分析不等式兩邊式子的形式。其次，確定放縮的方向，明確是放大還是縮小。然后，根據(jù)不等式性質、已知定理、數(shù)列通項特點等選擇合適的放縮方法，對式子中的部分項或整體進行放縮。最后，經過一系列放縮后，將放縮后的式子進行整理、推導，得出與原不等式相關的結論，從而證明原不等式成立。2.用放縮法證明\(\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}<1\)，說明放縮依據(jù)。因為\(\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)，所以原式\(=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=1-\frac{1}{n+1}\)。又因為\(n\)是正整數(shù)，\(\frac{1}{n+1}>0\)，那么\(1-\frac{1}{n+1}<1\)。放縮依據(jù)是將\(\frac{1}{n(n+1)}\)裂項相消，再結合正整數(shù)性質進行判斷。3.對于數(shù)列\(zhòng)(a_n=\frac{1}{n^2}\)，當\(n\geq2\)時，常用的放縮方法有哪些？當\(n\geq2\)時，一種方法是\(a_n=\f