全國卷3真題及答案

一、單項選擇題1.設(shè)集合\(A=\{x|x^2-4\leqslant0\}\)，\(B=\{x|2x+a\leqslant0\}\)，且\(A\capB=\{x|-2\leqslantx\leqslant1\}\)，則\(a=\)（）A.\(-4\)B.\(-2\)C.\(2\)D.\(4\)答案：B2.若\(z(1+i)=2i\)，則\(z=\)（）A.\(-1-i\)B.\(-1+i\)C.\(1-i\)D.\(1+i\)答案：D3.某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖。根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是（）A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相對7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)答案：A4.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(2,-2)\)，\(\overrightarrow{c}=(1,\lambda)\)。若\(\overrightarrow{c}\parallel(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow)\)，則\(\lambda=\)（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{2}{3}\)C.\(1\)D.\(2\)答案：A5.已知雙曲線\(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的一條漸近線方程為\(y=\frac{\sqrt{5}}{2}x\)，且與橢圓\(\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1\)有公共焦點，則\(C\)的方程為（）A.\(\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{10}=1\)B.\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1\)C.\(\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1\)D.\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1\)答案：B6.函數(shù)\(f(x)=\frac{\sinx+\cosx}{\sinx-\cosx}\)的最小正周期為（）A.\(\frac{\pi}{4}\)B.\(\frac{\pi}{2}\)C.\(\pi\)D.\(2\pi\)答案：C7.執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的\(a=-1\)，則輸出的\(S=\)（）A.\(2\)B.\(3\)C.\(4\)D.\(5\)答案：B8.已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（）A.\(\pi\)B.\(\frac{3\pi}{4}\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(\frac{\pi}{4}\)答案：B9.已知\(\sin\alpha-\cos\alpha=\frac{4}{3}\)，則\(\sin2\alpha=\)（）A.\(-\frac{7}{9}\)B.\(-\frac{2}{9}\)C.\(\frac{2}{9}\)D.\(\frac{7}{9}\)答案：A10.已知函數(shù)\(f(x)=x^2-2x+a(e^{x-1}+e^{-x+1})\)有唯一零點，則\(a=\)（）A.\(-\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(1\)答案：C二、多項選擇題1.下列函數(shù)中，在區(qū)間\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增的是（）A.\(y=x^{\frac{1}{2}}\)B.\(y=2^x\)C.\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)D.\(y=\frac{1}{x}\)答案：AB2.已知曲線\(C:mx^2+ny^2=1\)（）A.若\(m\gtn\gt0\)，則\(C\)是橢圓，其焦點在\(y\)軸上B.若\(m=n\gt0\)，則\(C\)是圓，其半徑為\(\sqrt{n}\)C.若\(mn\lt0\)，則\(C\)是雙曲線，其漸近線方程為\(y=\pm\sqrt{-\frac{m}{n}}x\)D.若\(m=0\)，\(n\gt0\)，則\(C\)是兩條直線答案：ACD3.設(shè)函數(shù)\(f(x)=\cos(x+\frac{\pi}{3})\)，則下列結(jié)論正確的是（）A.\(f(x)\)的一個周期為\(-2\pi\)B.\(y=f(x)\)的圖象關(guān)于直線\(x=\frac{8\pi}{3}\)對稱C.\(f(x+\pi)\)的一個零點為\(x=\frac{\pi}{6}\)D.\(f(x)\)在\((\frac{\pi}{2},\pi)\)單調(diào)遞減答案：ABC4.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)是三個不同的直線，\(\alpha\)，\(\beta\)是兩個不同的平面，下列命題正確的是（）A.若\(a\parallel\alpha\)，\(b\parallel\alpha\)，則\(a\parallelb\)B.若\(a\perp\alpha\)，\(b\perp\alpha\)，則\(a\parallelb\)C.若\(a\perp\alpha\)，\(a\perp\beta\)，則\(\alpha\parallel\beta\)D.若\(a\subset\alpha\)，\(\alpha\parallel\beta\)，則\(a\parallel\beta\)答案：BCD5.設(shè)等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公比為\(q\)，其前\(n\)項和為\(S_n\)，前\(n\)項積為\(T_n\)，并且滿足條件\(a_1\gt1\)，\(a_{7}a_{8}\gt1\)，\(\frac{a_{7}-1}{a_{8}-1}\lt0\)。則下列結(jié)論正確的是（）A.\(0\ltq\lt1\)B.\(a_7a_9\gt1\)C.\(T_n\)的最大值為\(T_7\)D.\(S_n\)的最大值為\(S_7\)答案：AC6.下列關(guān)于基本不等式的說法正確的是（）A.對任意\(a,b\inR\)，都有\(zhòng)(a+b\geqslant2\sqrt{ab}\)B.若\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，則\(\frac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}\)C.若\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，\(a+b=1\)，則\(\frac{1}{a}+\frac{1}\geqslant4\)D.若\(x\gt0\)，則\(x+\frac{1}{x+1}\geqslant1\)答案：BCD7.已知函數(shù)\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)，下列結(jié)論正確的是（）A.\(\existsx_0\inR\)，\(f(x_0)=0\)B.若\(x_0\)是\(f(x)\)的極值點，則\(f^\prime(x_0)=0\)C.若\(x_0\)是\(f(x)\)的極小值點，則\(f(x)\)在區(qū)間\((-\infty,x_0)\)單調(diào)遞減D.函數(shù)\(y=f(x)\)的圖象是中心對稱圖形答案：ABD8.已知拋物線\(C:y^2=4x\)的焦點為\(F\)，準線為\(l\)，過點\(F\)的直線與拋物線交于\(P(x_1,y_1)\)，\(Q(x_2,y_2)\)兩點，\(P\)在\(l\)上的射影為\(P_1\)，則（）A.若\(x_1+x_2=6\)，則\(|PQ|=8\)B.以\(PQ\)為直徑的圓與準線\(l\)相切C.設(shè)\(M(0,1)\)，則\(|PM|+|PP_1|\geqslant\sqrt{2}\)D.過點\(M(0,1)\)與拋物線\(C\)有且只有一個公共點的直線至多有2條答案：ABC9.下列關(guān)于三角函數(shù)的說法正確的是（）A.\(y=\sinx\)與\(y=\cosx\)的圖象的對稱軸完全相同B.\(y=\tanx\)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)C.\(y=\sin^2x\)的最小正周期為\(\pi\)D.函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的圖象關(guān)于點\((\frac{\pi}{3},0)\)對稱答案：CD10.已知\(A\)，\(B\)，\(C\)是圓\(O\)上的三點，若\(\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\)，則\(\overrightarrow{AB}\)與\(\overrightarrow{AC}\)的夾角為（）A.\(90^{\circ}\)B.若\(|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|\)，則\(\triangleABC\)是等邊三角形C.\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|\)D.\(|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=2|\overrightarrow{AO}|\)答案：BD三、判斷題1.若直線\(l_1:ax+y+1=0\)與\(l_2:x+ay+2=0\)平行，則\(a=1\)。（）答案：錯誤2.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，則\(\alpha=\frac{\pi}{6}\)。（）答案：錯誤3.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2\)，則\(a_n=2n-1\)。（）答案：正確4.函數(shù)\(y=\log_2(x^2+1)\)的值域是\([0,+\infty)\)。（）答案：正確5.若向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(2,m)\)，且\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(m=4\)。（）答案：正確6.雙曲線\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)的漸近線方程為\(y=\pm\frac{3}{4}x\)。（）答案：錯誤7.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(x+y=1\)，則\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geqslant4\)。（）答案：正確8.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)有零點，則\(f(a)f(b)\lt0\)。（）答案：錯誤9.正方體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為\(\sqrt{3}:1\)。（）答案：正確10.若\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，則\(f(0)=0\)。（）答案：正確四、簡答題1.求函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的單調(diào)遞增區(qū)間。答案：令\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leqslant2x+\frac{\pi}{3}\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{2}\)，\(k\inZ\)。解這個不等式：先移項得\(2k\pi-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\leqslant2x\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\)，即\(2k\pi-\frac{5\pi}{6}\leqslant2x\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{6}\)，再兩邊同時除以2，得到\(k\pi-\frac{5\pi}{12}\leqslantx\leqslantk\pi+\frac{\pi}{12}\)，\(k\inZ\)。所以函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的單調(diào)遞增區(qū)間是\([k\pi-\frac{5\pi}{12},k\pi+\frac{\pi}{12}]\)，\(k\inZ\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n\)，\(a_3=5\)，\(S_6=36\)，求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式。答案：設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公差為\(d\)。因為\(a_3=5\)，所以\(a_1+2d=5\)。又\(S_6=36\)，根據(jù)等差數(shù)列求和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)