余式定理真題及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.多項(xiàng)式$f(x)$除以$x-2$的余式是（）A.$f(0)$B.$f(1)$C.$f(2)$D.$f(-2)$答案：C2.已知多項(xiàng)式$f(x)$除以$x+3$余$5$，則$f(-3)$的值為（）A.$3$B.$5$C.$-3$D.$-5$答案：B3.多項(xiàng)式$f(x)$被$2x-1$除的余式是（）A.$f\left(\frac{1}{2}\right)$B.$f\left(-\frac{1}{2}\right)$C.$f(2)$D.$f(-2)$答案：A4.若多項(xiàng)式$f(x)$除以$x^2-1$的余式為$3x+1$，當(dāng)$x=1$時，$f(1)$的值是（）A.$4$B.$3$C.$2$D.$1$答案：A5.多項(xiàng)式$f(x)$除以$x-a$的余式為$r$，則$f(a)$等于（）A.$0$B.$a$C.$r$D.$-r$答案：C6.已知$f(x)$除以$x-3$的余式為$7$，那么$f(x)$可以表示為（）A.$(x-3)g(x)+7$B.$(x-3)g(x)-7$C.$(x+3)g(x)+7$D.$(x+3)g(x)-7$答案：A7.多項(xiàng)式$f(x)$除以$3x-2$的余式為（）A.$f\left(\frac{2}{3}\right)$B.$f\left(-\frac{2}{3}\right)$C.$f(3)$D.$f(-3)$答案：A8.若多項(xiàng)式$f(x)$除以$x^2-4$的余式為$2x-1$，當(dāng)$x=2$時，$f(2)$的值是（）A.$3$B.$2$C.$1$D.$0$答案：A9.多項(xiàng)式$f(x)$除以$x+5$的余式為$-3$，則$f(-5)$的值為（）A.$-3$B.$3$C.$5$D.$-5$答案：A10.已知多項(xiàng)式$f(x)$除以$4x-3$的余式是$5$，則$f\left(\frac{3}{4}\right)$等于（）A.$5$B.$4$C.$3$D.$-5$答案：A二、多項(xiàng)選擇題1.關(guān)于余式定理，以下說法正確的是（）A.多項(xiàng)式$f(x)$除以$x-a$的余式是$f(a)$B.多項(xiàng)式$f(x)$除以$ax-b$的余式是$f\left(\frac{a}\right)$C.若$f(a)=0$，則多項(xiàng)式$f(x)$能被$x-a$整除D.多項(xiàng)式$f(x)$除以$x^2-a^2$的余式一定是一次多項(xiàng)式答案：ABC2.已知多項(xiàng)式$f(x)$除以$x-1$余$2$，除以$x+1$余$4$，則（）A.$f(1)=2$B.$f(-1)=4$C.可以設(shè)$f(x)=(x-1)(x+1)g(x)+ax+b$D.通過條件可求出$a=-1$，$b=3$答案：ABCD3.對于多項(xiàng)式$f(x)$，下列結(jié)論正確的是（）A.若$f(x)$除以$x+2$的余式為$0$，則$f(-2)=0$B.若$f(x)$被$3x-1$整除，則$f\left(\frac{1}{3}\right)=0$C.多項(xiàng)式$f(x)$除以$x^2-3x+2$的余式次數(shù)不超過$1$D.若$f(x)$除以$x-a$與$x-b$（$a\neqb$）的余式相同，則$f(a)=f(b)$答案：ABCD4.已知多項(xiàng)式$f(x)$除以$x^2-4$的余式為$mx+n$，則（）A.可以利用$f(2)$和$f(-2)$的值來確定$m$和$n$B.當(dāng)$x=2$和$x=-2$時，$f(x)$的值分別為$2m+n$和$-2m+n$C.若已知$f(2)=5$，$f(-2)=1$，則可求出$m=1$，$n=3$D.余式$mx+n$的系數(shù)$m$，$n$與$f(x)$的次數(shù)無關(guān)答案：ABCD5.下列關(guān)于余式定理應(yīng)用的說法正確的是（）A.可以通過余式定理求多項(xiàng)式在某一點(diǎn)的值B.利用余式定理可以判斷多項(xiàng)式是否能被某個一次式整除C.若多項(xiàng)式$f(x)$除以$x-k$的余式為非零常數(shù)，則$f(x)$不能被$x-k$整除D.已知多項(xiàng)式$f(x)$除以$x-a$的余式和除以$x-b$的余式，能確定$f(x)$的表達(dá)式答案：ABC6.若多項(xiàng)式$f(x)$除以$x-3$余$5$，除以$x+2$余$-3$，則（）A.$f(3)=5$B.$f(-2)=-3$C.設(shè)$f(x)=(x-3)(x+2)g(x)+ax+b$，可根據(jù)條件求出$a$，$b$的值D.能確定$f(x)$被$(x-3)(x+2)$除的余式答案：ABCD7.關(guān)于多項(xiàng)式$f(x)$除以$ax+b$（$a\neq0$）的余式，以下說法正確的是（）A.余式為$f\left(-\frac{a}\right)$B.若$f\left(-\frac{a}\right)=0$，則$f(x)$能被$ax+b$整除C.可以通過將$x=-\frac{a}$代入$f(x)$來計算余式D.余式是一個常數(shù)答案：ABCD8.已知多項(xiàng)式$f(x)$除以$x^2-9$的余式為$px+q$，則（）A.當(dāng)$x=3$和$x=-3$時，可得到關(guān)于$p$，$q$的兩個方程B.利用這兩個方程能求出$p$，$q$的值（若已知$f(3)$和$f(-3)$的值）C.余式$px+q$滿足$f(x)=(x^2-9)g(x)+px+q$D.無論$f(x)$的次數(shù)是多少，余式$px+q$的次數(shù)都不超過$1$答案：ABCD9.下列哪些情況可以運(yùn)用余式定理來分析（）A.求多項(xiàng)式除以一個一次多項(xiàng)式后的余數(shù)B.確定多項(xiàng)式中未知系數(shù)的值C.判斷兩個多項(xiàng)式是否有相同的因式D.研究多項(xiàng)式在某區(qū)間上的單調(diào)性答案：ABC10.若多項(xiàng)式$f(x)$除以$x-a$的余式為$r_1$，除以$x-b$（$a\neqb$）的余式為$r_2$，則（）A.可以設(shè)$f(x)=(x-a)(x-b)g(x)+mx+n$B.通過$f(a)=r_1$和$f(b)=r_2$可求出$m$和$n$的值C.能進(jìn)一步確定$f(x)$的具體表達(dá)式（若已知$g(x)$的一些信息）D.余式$mx+n$是唯一確定的答案：ABCD三、判斷題1.多項(xiàng)式$f(x)$除以$x-a$的余式一定是常數(shù)。（√）2.若$f(a)=0$，則多項(xiàng)式$f(x)$不能被$x-a$整除。（×）3.多項(xiàng)式$f(x)$除以$2x+3$的余式是$f\left(-\frac{3}{2}\right)$。（√）4.多項(xiàng)式$f(x)$除以$x^2+1$的余式次數(shù)一定小于$2$。（√）5.已知多項(xiàng)式$f(x)$除以$x-1$的余式為$3$，則$f(1)=3$。（√）6.若多項(xiàng)式$f(x)$除以$x-k$的余式不為零，則$f(x)$不能被$x-k$整除。（√）7.多項(xiàng)式$f(x)$除以$ax-b$（$a\neq0$）的余式是$f\left(\frac{a}\right)$。（√）8.多項(xiàng)式$f(x)$被$x^2-4$除的余式一定是二次多項(xiàng)式。（×）9.利用余式定理可以求出多項(xiàng)式在任意一點(diǎn)的值。（√）10.若多項(xiàng)式$f(x)$除以$x-a$和$x-b$（$a\neqb$）的余式相同，那么這個余式是一個常數(shù)。（√）四、簡答題1.簡述余式定理的內(nèi)容。余式定理是指多項(xiàng)式$f(x)$除以$x-a$，所得的余式等于$f(a)$。即$f(x)=(x-a)g(x)+r$，其中$g(x)$是商式，$r$是余式，當(dāng)$x=a$時，$f(a)=r$。對于多項(xiàng)式$f(x)$除以$ax-b$（$a\neq0$），余式為$f\left(\frac{a}\right)$。利用余式定理可方便求多項(xiàng)式在某點(diǎn)的值及判斷多項(xiàng)式能否被某一次式整除等。2.已知多項(xiàng)式$f(x)$除以$x-2$余$3$，除以$x+1$余$-1$，設(shè)$f(x)=(x-2)(x+1)g(x)+ax+b$，求$a$，$b$的值。根據(jù)余式定理，當(dāng)$x=2$時，$f(2)=3$，代入$f(x)=(x-2)(x+1)g(x)+ax+b$得$2a+b=3$；當(dāng)$x=-1$時，$f(-1)=-1$，代入得$-a+b=-1$。聯(lián)立方程組$\begin{cases}2a+b=3\\-a+b=-1\end{cases}$，用第一個方程減去第二個方程得$3a=4$，解得$a=\frac{4}{3}$，把$a=\frac{4}{3}$代入$-a+b=-1$，可得$b=\frac{1}{3}$。3.說明如何利用余式定理判斷多項(xiàng)式$f(x)$能否被$x-k$整除。根據(jù)余式定理，多項(xiàng)式$f(x)$除以$x-k$的余式為$f(k)$。若$f(k)=0$，那么$f(x)$除以$x-k$的余式為$0$，即$f(x)=(x-k)g(x)+0$，此時$f(x)$能被$x-k$整除；若$f(k)\neq0$，則$f(x)$除以$x-k$的余式不為$0$，即$f(x)=(x-k)g(x)+r$（$r\neq0$），那么$f(x)$不能被$x-k$整除。4.已知多項(xiàng)式$f(x)$除以$x^2-1$的余式為$2x+1$，求$f(1)$與$f(-1)$的值。因?yàn)槎囗?xiàng)式$f(x)$除以$x^2-1=(x-1)(x+1)$的余式為$2x+1$，根據(jù)余式定理，當(dāng)$x=1$時，$f(1)$的值就等于余式$2x+1$在$x=1$時的值，將$x=1$代入$2x+1$得$f(1)=2\times1+1=3$；當(dāng)$x=-1$時，$f(-1)$的值等于余式$2x+1$在$x=-1$時的值，將$x=-1$代入$2x+1$得$f(-1)=2\times(-1)+1=-1$。五、討論題1.在多項(xiàng)式的除法運(yùn)算中，余式定理有哪些重要的應(yīng)用場景？請舉例說明。余式定理在多項(xiàng)式運(yùn)算中有諸多應(yīng)用場景。比如求多項(xiàng)式在某點(diǎn)的值，若已知$f(x)$，求$f(a)$，直接根據(jù)余式定理，$f(a)$就是$f(x)$除以$x-a$的余式。例如$f(x)=x^3-2x^2+3x-1$，求$f(2)$，根據(jù)余式定理，$f(2)$就是$f(x)$除以$x-2$的余式，將$x=2$代入$f(x)$得$f(2)=2^3-2\times2^2+3\times2-1=6-1=5$。還可用于判斷多項(xiàng)式能否被某一次式整除，如判斷$f(x)$能否被$x-k$整除，只需看$f(k)$是否為$0$。2.當(dāng)多項(xiàng)式$f(x)$除以不同的一次式$x-a$和$x-b$（$a\neqb$）時，得到不同的余式，如何綜合這些信息來進(jìn)一步研究多項(xiàng)式$f(x)$？可以設(shè)$f(x)=(x-a)(x-b)g(x)+mx+n$。因?yàn)?f(x)$除以$x-a$的余式為$f(a)$，除以$x-b$的余式為$f(b)$，所以由$f(a)=ma+n$，$f(b)=mb+n$，可得到一個關(guān)于$m$，$n$的方程組。通過解方程組求出$m$，$n$的值，就能確定余式$mx+n$。如果還知道一些關(guān)于$g(x)$的信息，比如$g(x)$的次數(shù)、某些特殊點(diǎn)的值等，就可以更深入地研究$f(x)$的性質(zhì)，如因式分解、根的情況等。3.余式定理與多項(xiàng)式的因式分解有怎樣的聯(lián)系？余式定理為多項(xiàng)式因式分解提供了重要依據(jù)。若$f(a)=0$，根據(jù)余式定理，多項(xiàng)式$f(x)$除以$x-a$的余式為$0$，即$f(x)=(x-a)g(x)$，這表明$x-a$是$f(x)$的一個因式。例如對于多項(xiàng)式$f(x)=x^3-3x^2+2x$，當(dāng)$x=1$時，$f(1)=1^3-3\times1^2+2\times1=0$，那么$x-1$就是$f(x)$的一個因式，通過多項(xiàng)式除法可得$f(x)=(x-1)(x^2-2x)$，進(jìn)一步可繼續(xù)分解因式。利用余式定理找到