2025年河南數學魔鬼題目及答案

一、單項選擇題1.若集合\(A=\{x|x^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x|0<x<6,x\inN\}\)，則\(A\capB\)的元素個數為（）A.1B.2C.3D.4答案：B2.函數\(y=\log_2(x^2-1)\)的定義域為（）A.\((-1,1)\)B.\((-1,1]\)C.\((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)D.\((-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\)答案：C3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(m,-1)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(m\)的值為（）A.\(-\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.-2D.2答案：A4.等差數列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_5=9\)，則\(a_7\)的值為（）A.11B.12C.13D.14答案：C5.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)答案：B6.拋物線\(y^2=8x\)的焦點坐標是（）A.\((2,0)\)B.\((-2,0)\)C.\((0,2)\)D.\((0,-2)\)答案：A7.函數\(y=2\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(\frac{\pi}{4}\)答案：A8.若直線\(l_1:ax+2y+6=0\)與直線\(l_2:x+(a-1)y+a^2-1=0\)平行，則\(a\)的值為（）A.2或-1B.2C.-1D.\(\frac{2}{3}\)答案：C9.已知\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\geqslant1\\x-y\leqslant1\\y\leqslant1\end{cases}\)，則\(z=3x-y\)的最大值為（）A.1B.2C.3D.4答案：C10.已知函數\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數，當\(x\geqslant0\)時，\(f(x)=x^2+2x\)，則\(f(-1)\)的值為（）A.-3B.-1C.1D.3答案：A二、多項選擇題1.下列函數中，在\((0,+\infty)\)上單調遞增的是（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\sqrt{x}\)C.\(y=\frac{1}{x}\)D.\(y=2^x\)答案：ABD2.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)為實數，下列說法正確的是（）A.若\(a>b\)，則\(ac^2>bc^2\)B.若\(a>b\)，\(c>d\)，則\(a-c>b-d\)C.若\(a>b\)，則\(a^3>b^3\)D.若\(a>b\)，\(ab>0\)，則\(\frac{1}{a}<\frac{1}\)答案：CD3.一個正方體的頂點都在球面上，已知球的體積為\(\frac{32\pi}{3}\)，則正方體的棱長為（）A.\(2\)B.\(\frac{4\sqrt{3}}{3}\)C.\(4\)D.\(2\sqrt{2}\)答案：AB（注：本題答案不唯一，因題干有一定模糊性）4.下列關于直線與圓的位置關系的說法正確的是（）A.直線\(x+y-1=0\)與圓\(x^2+y^2=1\)相交B.直線\(x-y+1=0\)與圓\((x-1)^2+y^2=1\)相切C.直線\(2x+y-4=0\)與圓\(x^2+y^2=5\)相離D.直線\(x=3\)與圓\((x-2)^2+y^2=1\)相切答案：ABD5.已知\(\{a_n\}\)是等比數列，公比為\(q\)，則下列說法正確的是（）A.若\(q>1\)，則\(\{a_n\}\)是遞增數列B.若\(a_1>0\)，\(0<q<1\)，則\(\{a_n\}\)是遞減數列C.若\(a_1<0\)，\(0<q<1\)，則\(\{a_n\}\)是遞增數列D.若\(q<0\)，則\(\{a_n\}\)是擺動數列答案：BCD6.對于函數\(y=\cosx\)，下列說法正確的是（）A.它是偶函數B.它的最小正周期是\(2\pi\)C.它在\([0,\pi]\)上單調遞減D.它的值域是\([-1,1]\)答案：ABCD7.已知\(m\)，\(n\)是兩條不同直線，\(\alpha\)，\(\beta\)是兩個不同平面，則下列說法正確的是（）A.若\(m\parallel\alpha\)，\(n\parallel\alpha\)，則\(m\paralleln\)B.若\(m\perp\alpha\)，\(m\parallel\beta\)，則\(\alpha\perp\beta\)C.若\(m\subset\alpha\)，\(\alpha\cap\beta=n\)，\(m\paralleln\)，則\(m\parallel\beta\)D.若\(m\perp\alpha\)，\(n\perp\beta\)，\(m\perpn\)，則\(\alpha\perp\beta\)答案：BCD8.已知\(A(1,2)\)，\(B(3,4)\)，\(C(5,0)\)，則下列說法正確的是（）A.\(\overrightarrow{AB}=(2,2)\)B.\(\overrightarrow{AC}=(4,-2)\)C.\(\triangleABC\)是直角三角形D.\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\)答案：ABD9.已知函數\(f(x)=\begin{cases}x+1,x\leqslant0\\x^2,x>0\end{cases}\)，則下列說法正確的是（）A.\(f(-1)=0\)B.\(f(1)=1\)C.若\(f(x)=1\)，則\(x=1\)D.函數\(f(x)\)的值域是\([0,+\infty)\)答案：AB10.已知橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的左、右焦點分別為\(F_1,F_2\)，\(P\)是橢圓上一點，若\(\angleF_1PF_2=60^{\circ}\)，則下列說法正確的是（）A.\(\triangleF_1PF_2\)的面積為\(\frac{\sqrt{3}}{3}b^2\)B.\(|PF_1|^2+|PF_2|^2=4a^2-2b^2\)C.\(|PF_1|\cdot|PF_2|=\frac{2b^2}{3}\)D.橢圓的離心率\(e\geqslant\frac{1}{2}\)答案：ABCD三、判斷題1.空集是任何集合的真子集。（×）2.若\(a>b\)，則\(a^2>b^2\)。（×）3.函數\(y=\sinx\)的對稱軸方程是\(x=k\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)。（√）4.若直線\(l\)的斜率不存在，則直線\(l\)的傾斜角為\(90^{\circ}\)。（√）5.等差數列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和公式為\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)。（√）6.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)，則\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)或\(\overrightarrow=\overrightarrow{0}\)。（×）7.圓\((x-1)^2+(y+2)^2=4\)的圓心坐標是\((1,-2)\)，半徑是\(2\)。（√）8.函數\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)在\((0,+\infty)\)上單調遞增。（×）9.若\(a\)，\(b\)，\(c\)成等比數列，則\(b^2=ac\)。（√）10.空間中，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行。（×）四、簡答題1.求函數\(y=3\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)的單調遞增區(qū)間。答案：令\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leqslant2x+\frac{\pi}{6}\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)。解不等式\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leqslant2x+\frac{\pi}{6}\)得\(k\pi-\frac{\pi}{3}\leqslantx\)；解不等式\(2x+\frac{\pi}{6}\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{2}\)得\(x\leqslantk\pi+\frac{\pi}{6}\)。所以函數的單調遞增區(qū)間是\([k\pi-\frac{\pi}{3},k\pi+\frac{\pi}{6}],k\inZ\)。2.已知等差數列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，求數列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式及前\(n\)項和公式。答案：設等差數列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公差為\(d\)，由\(a_3=a_1+2d\)，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，可得\(5=1+2d\)，解得\(d=2\)。通項公式\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。前\(n\)項和公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(1+2n-1)}{2}=n^2\)。3.已知圓\(C\)的圓心在直線\(y=x\)上，且過點\((1,0)\)和\((0,1)\)，求圓\(C\)的方程。答案：設圓\(C\)的圓心坐標為\((a,a)\)，半徑為\(r\)。圓的標準方程為\((x-a)^2+(y-a)^2=r^2\)。因為圓過點\((1,0)\)和\((0,1)\)，則\((1-a)^2+a^2=r^2\)，\(a^2+(1-a)^2=r^2\)，解這個方程組得\(a=\frac{1}{2}\)，\(r^2=\frac{1}{2}\)。所以圓\(C\)的方程為\((x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2}\)。4.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(-3,4)\)，求\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow\)以及\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)夾角的余弦值。答案：\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=1\times(-3)+2\times4=5\)。設\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)夾角為\(\theta\)，\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\)，\(\vert\overrightarrow\vert=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5\)。根據向量點積公式\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow\vert\cos\theta\)，可得\(\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow}{\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow\vert}=\frac{5}{\sqrt{5}\times5}=\frac{\sqrt{5}}{5}\)。五、討論題1.在解析幾何中，直線