第1頁（共1頁）第一章三角形單元測試（培優(yōu)卷）一．選擇題（共10小題）1．一個直角三角形的兩個銳角，如果一個銳角是另一個銳角的2倍，那么較小的銳角是（）A．20° B．60° C．30° D．45°2．如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，點(diǎn)E在邊AB上，且BE＝BD，則圖中等腰三角形的個數(shù)有（）A．3 B．4 C．5 D．63．如圖，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E．△ABC的面積為12，AB＝7，DE＝2，則BC的長為（）A．7 B．6 C．5 D．44．如圖，AD是△ABC的中線，DH⊥AB于點(diǎn)H，DG⊥AC于點(diǎn)G，AB＝7cm，AC＝6cm，DH＝3cm，則DG的長是（）A．4cm B．3cm C．72cm 5．如圖，將一個等邊三角形剪去一個角后，∠1+∠2等于（）A．240° B．120° C．170° D．360°6．如圖，已知∠CAE＝∠BAD，AC＝AD，增加下列條件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的條件有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．如圖，AD是△ABC的角平分線，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E，BF是△ABC的外角平分線，交AD的延長線于點(diǎn)F，且BF∥AC，連接CF．下列結(jié)論錯誤的是（）A．∠EBF＝90° B．∠BCF＝∠BFC C．若CF∥AB，則AE＝BD D．若AF⊥BC，則CF＝BC8．如圖，AC＝AD，BC＝BD，下列結(jié)論一定正確的是（）A．CD平分∠ACB B．CD垂直平分AB C．AB垂直平分CD D．AB與CD互相垂直平分9．如圖，在△ABP中，C、D分別是PA、PB上任意一點(diǎn)，連接AC、BD，M、N分別是AC、BD的中點(diǎn)，若S四邊形ABCD＝2024，則S△PMN＝（）A．20243 B．506 C．2024510．如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，CE⊥AB，BD與CE交于點(diǎn)O，且BE＝CD．下列說法錯誤的是（）A．BD的垂直平分線一定與AB相交于點(diǎn)E B．∠BDC＝3∠ABD C．當(dāng)E為AB中點(diǎn)時，△ABC是等邊三角形 D．當(dāng)E為AB中點(diǎn)時，S二．填空題（共5小題）11．等腰三角形的兩邊a、b滿足|a﹣2|+（b﹣5）2＝0，那么這個三角形的周長是．12．如圖，DE是AB的垂直平分線，AB＝6，△ABC的周長是16，則△ADC的周長是．13．如圖，等腰△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在AD的延長線上，若∠CFE＝60°，AE＝2，則EF的長為．14．如圖，△ABC的兩條外角平分線BP，CP相交于點(diǎn)P．PE⊥AC交AC的延長線于點(diǎn)E．若△ABC的周長為9，PE＝2，S△BPC＝2，則S△ABC＝．15．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，直線l經(jīng)過點(diǎn)C且與邊AB相交．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿A→C→B路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動；動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿B→C→A路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動．點(diǎn)P和點(diǎn)Q的速度分別為1cm/s和2cm/s，兩點(diǎn)同時出發(fā)并開始計時，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)B時計時結(jié)束．在某時刻分別過點(diǎn)P和點(diǎn)Q作PE⊥l于點(diǎn)E，QF⊥l于點(diǎn)F，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，則當(dāng)t＝秒時，△PEC與△QFC全等．三．解答題（共7小題）16．如圖，點(diǎn)A，D，C，F(xiàn)在同一直線上，∠B＝∠E，AB∥DE，AD＝CF．求證：△ABC≌△DEF．17．如圖，在△ABC中，BD是高，點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊的延長線上，ED的延長線交AB于點(diǎn)F，且EF⊥AB，若∠E＝30°．（1）求證：△ABC是等邊三角形；（2）請判斷線段AD與CE的大小關(guān)系，并說明理由．18．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，且BD＝DE，連接AE．（1）求證：AB＝EC；（2）若△ABC的周長為32cm，AC＝12cm，求DC的長．19．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一點(diǎn)，DE⊥AB于E，且DE＝DC．（1）求證：BD平分∠ABC；（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度數(shù)．20．如圖，在△ABC中，CE平分∠ACB，交AB于點(diǎn)E，EG∥BC，交AC于點(diǎn)G（1）求證：EG＝CG；（2）延長EG交CF于點(diǎn)H，若點(diǎn)G是EH的中點(diǎn)，求證：CF平分∠ACD．21．如圖所示，在△ABC中，D是邊AB上一點(diǎn)，AD＝AC，過點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)F是BC上一點(diǎn)，連接DF，CD，AF，且DC平分∠EDF，求證：AF垂直平分CD．22．綜合與實(shí)踐，問題情境：活動課上，同學(xué)們以等腰三角形為背景展開有關(guān)圖形旋轉(zhuǎn)的探究活動，如圖1，已知△ABC中AB＝AC，∠B＝30°．將△ABC從圖1的位置開始繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△ADE（點(diǎn)D，E分別是點(diǎn)B，C的對應(yīng)點(diǎn)），旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜100°，設(shè)線段AD與BC相交于點(diǎn)M，線段DE分別交BC，AC于點(diǎn)O，N．特例分析：（1）如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到AD⊥BC時，求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為；探究規(guī)律：（2）如圖3，在△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)過程中，“求真”小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)線段AM始終等于線段AN，請你證明這一結(jié)論．拓展延伸：（3）①直接寫出當(dāng)△DOM是等腰三角形時旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．②在圖3中，作直線BD，CE交于點(diǎn)P，直接寫出當(dāng)△PDE是直角三角形時旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．第一章三角形單元測試（培優(yōu)卷）答案一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案CBCCACCCBD1．設(shè)較小的銳角為x°，則較大的銳角為2x°，根據(jù)題意，兩角之和等于直角，所以根據(jù)題意列一元一次方程得：x+2x＝90，整理得，3x＝90，解得x＝30，故選：C．2．解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB=180°?36°∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=1∴∠ABE＝∠A，∠BEC＝180°﹣∠CBE﹣∠ACB＝72°＝∠BCE，∴BE＝AE，BC＝BD，∴△ABE，△CBD均為等腰三角形，∵BE＝BD，∴BE＝BC（等量代換），∴△BCE為等腰三角形，綜上所述，圖中等腰三角形的個數(shù)有4個，所以只有選項(xiàng)B正確，符合題意，故選：B．3．解：作DF⊥BC于F，∵BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE＝2，∴12×AB×DE+12∴12∴BC＝5，故選：C．4．解：因?yàn)锳D是△ABC的中線，DH⊥AB于點(diǎn)H，DG⊥AC于點(diǎn)G，所以三角形ABD與三角形ADC的面積相等．即：12所以12所以DG=72故選：C．5．解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵∠1+∠2+∠B+∠C＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠B﹣∠C＝240°；故選：A．6．解：①由∠CAE＝∠BAD，得∠CAB＝∠DAE．增加AB＝AE，那么AB＝AE，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，推斷出△ABC≌△AED，故①符合題意．②由∠CAE＝∠BAD，得∠CAB＝∠DAE．添加BC＝ED，△ABC與△AED不一定全等，故②不符合題意．③由∠CAE＝∠BAD，得∠CAB＝∠DAE．增加∠C＝∠D，那么∠C＝∠D，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，推斷出△ABC≌△AED，故③符合題意．④由∠CAE＝∠BAD，得∠CAB＝∠DAE．增加∠B＝∠E，那么∠B＝∠E，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，推斷出△ABC≌△AED，故④符合題意．綜上：符合題意的有①③④，共3個．故選：C．7．解：由條件可知∠CBE=12∠ABC∴∠EBF=∠CBE+∠CBF=12∠ABC+∵BF∥AC，BF平分∠CBG，∴∠CBF＝∠ACB＝∠FBG＝∠BAC，∴AB＝BC，由條件可知∠CAF＝∠FAG，∵BF∥AC，∴∠CAF＝∠AFB，∴∠AFB＝∠BAF，∴AB＝BF，∴BC＝BF，∴∠BCF＝∠BFC，選項(xiàng)B正確，不符合題意；由條件可知四邊形ABFC是平行四邊形．∴AB＝CF，AC＝BF，由上面知：AB＝BC＝BF，∴△ABC，△BCF均為等邊三角形，由三線合一知AF⊥BC，∠ABC＝∠BAC＝60°，在Rt△BDE中，由角平分線定義知∠DBE＝∠ABE＝30°，∠BDE＝90°，∴BE＝2DE，易知∠BAE＝∠ABE＝30°，∴AE＝BE＝2DE，選項(xiàng)C錯誤，符合題意；∵AF⊥BC，AF平分∠BAC，結(jié)合AD＝AD易證△ADC≌△ADB（ASA），∴易知AF垂直平分BC，∴CF＝BF，∴CF＝BC，選項(xiàng)D正確，不符合題意；故選：C．8．解：由條件可知點(diǎn)A、B在CD的垂直平分線上，∴AB垂直平分CD，故選：C．9．解：如圖，連接DM，BM，∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，∴S△ADM=12S△ACD，S△ABM=12∴S△ADM+S△ABM=12（S△ACD+S△ABC）=12∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，∴S△BPM＝S△MPC+S△CBM=12S△APC+12S△ABC=∵N是BD的中點(diǎn)，∴S△BPN=12S△BPD，S△BMN=12∴S△PMN＝S△BPM﹣S△BMN﹣S△BPN=12S△ABP?12S△BMD?=12（S△ABP﹣S△BMD﹣S△=12（S△ADM+S△＝506．故選：B．10．解：連接DE，如圖1所示：∵CE⊥AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴DE為Rt△AEC斜邊上的中線，∴DE=AD=CD=1∵BE＝CD，∴BE＝DE，∴點(diǎn)E在線段BD的垂直平分線上，即線段BD的垂直平分線一定與AB相交于點(diǎn)E，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；設(shè)∠ABD＝α，∵BE＝DE，∴∠EDB＝∠ABD＝α，∴∠AED＝∠EDB+∠ABD＝2α，∵DE＝AD，∴∠A＝∠AED＝2α，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝3α，即∠BDC＝3∠ABD，故選B正確，不符合題意；當(dāng)E為AB中點(diǎn)時，則BE=1∵CE⊥AB，∴CE是線段AB的垂直平分線，∴AC＝BC，∵BE=12AB，CD=12∴AB＝AC，∴AC＝BC＝AB，∴△ABC是等邊三角形，故選C正確，不符合題意；連接AO，并延長交BC于F，如圖2所示：當(dāng)E為AB中點(diǎn)時，∵點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，∴根據(jù)三角形三條中線交于一點(diǎn)得：點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，∵當(dāng)E為AB中點(diǎn)時，△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AF⊥BC，AF平分∠OAC，BD平分∠ABC，∴∠OBC＝∠OAC＝30°，∴OA＝OB，在Rt△OBF中，OB＝2OF，∴OA＝OB＝2OF，∴AF＝OA+OF＝3OF，∴S△OBC=1∵E為AB中點(diǎn)，∴S△AEC=12S△ABC=3∴S△OBC故選項(xiàng)D不正確，符合題意．故選：D．二．填空題（共5小題）11．解：因?yàn)閨a﹣2|+（b﹣5）2＝0，所以a＝2，b＝5．又因?yàn)槭堑妊切危匀呴L為5，5，2，2或2，2，5（不滿足三角形構(gòu)造條件，舍去）所以周長為5+5+2＝12．故填12．12．解：∵△ABC的周長是16，AB＝6，∴AB+AC+BC＝16，即6+AC+BC＝16．AC+BC＝16﹣6＝10．∵DE是AB的垂直平分線，∴DA＝DB，∴△ADC的周長為：DA+DC+AC＝DB+DC+AC＝AC+BC＝10，即△ADC的周長是10．故答案為：10．13．解：如圖，過F點(diǎn)作FM⊥AB于M，F(xiàn)N⊥AC于N，∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，即AF平分∠BAC，∴FM＝FN，且∠FMA＝∠FNA＝90°．又∵四邊形AMFN中∠BAC＝120°，∴∠MFN＝360°﹣∠BAC﹣∠FMA﹣∠FNA＝60°．又∵∠CFE＝60°，∴∠MFN＝∠CFE，∴∠MFN﹣∠EFN＝∠CFE﹣∠EFN，即∠MFE＝∠NFC．又∵∠FME＝∠FNC＝90°，F(xiàn)M＝FN，∴△FME≌△FNC（ASA），∴FE＝FC，∴△EFC是等邊三角形，∴EF＝EC．作EH⊥BC于H，則∠EHB＝∠EHC＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠ACB＝30°．∵AB＝6，AE＝2，∴BE＝AB﹣AE＝4，∴BH=B∵Rt△ABD中AD=1∴BD=A∴BC=2BD=63∴HC=BC?BH=63∴EC=E∴EF=213故答案為：21314．解：過點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，PG⊥AB于點(diǎn)G，連接AP，∵△ABC的兩條外角平分線BP，CP相交于點(diǎn)P，PE⊥AC，PF⊥BC，PG⊥AB，PE＝2，∴PF＝PG＝PE＝2，∵S△BPC＝2，∴12BC解得：BC＝2，∵△ABC的周長為9，∴AC+AB＝9﹣2＝7，∴S△ABC＝S△ACP+S△ABP﹣S△BPC=12AC?PE+12AB?PG﹣S故答案為：5．15．解：由題意得，AP＝t，BQ＝2t，∵AC＝6cm，BC＝8cm，∴CP＝6﹣t，CQ＝8﹣2t，①如圖1，Q在BC上，點(diǎn)P在AC上時，作PE⊥l，QF⊥l，∵∠PEC＝∠CFQ＝∠ACB＝90°，∴∠CPE+∠PCE＝∠PCE+∠FCQ＝90°，∴∠CPE＝∠FCQ，當(dāng)△PEC≌△CFQ時，則PC＝CQ，即6﹣t＝8﹣2t，解得：t＝2；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時，當(dāng)△PEC≌△QFC，則PC＝CQ，∴6﹣t＝2t﹣8．解得：t=14③如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q與A重合時，∠QCF+∠CQF＝∠QCF+∠PCE＝90°，∴∠CQF＝∠PCE，當(dāng)△PEC≌△CFQ，則PC＝CQ，即t﹣6＝6，解得：t＝12；當(dāng)綜上所述：當(dāng)t＝2秒或143秒或12秒時，△PEC與△QFC故答案為：2或143三．解答題（共7小題）16．證明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠EDF，∵AD＝CF，∴AC＝DF，在△ABC和△DEF中，∠B=∠E∠A=∠EDF∴△ABC≌△DEF（AAS）．17．（1）證明：∵BD⊥AC，點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，∴BD垂直平分AC，∴AB＝CB，∵EF⊥AB，∴∠ABC+∠E＝90°，∵∠E＝30°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形；（2）解：AD＝CE，理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∠E＝30°，∴∠CDE＝30°＝∠E，∴CD＝CE，∵點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，∴AD＝CD，∴AD＝CE．18．（1）證明：∵EF垂直平分AC，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得：AE＝EC，∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AB＝AE，∴AB＝EC．（2）解：由題意可得：AB+BC+AC＝32cm，∵AC＝12cm，∴AB+BC＝20cm，∵AB＝EC，BD＝DE，∴DC＝DE+EC=1=1=1=1＝10cm．19．（1）證明：∵DC⊥BC，DE⊥AB，DE＝DC，∴點(diǎn)D在∠ABC的平分線上，∴BD平分∠ABC．（2）解：∵∠C＝90°，∠A＝36°，∴∠ABC＝54°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝27°．20．證明：（1）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB，∵EG∥BC，∴∠GEC＝∠ECB，∴∠GEC＝∠ACE，∴EG＝CG；（2）由（1）知：EG＝