情況有()2．如圖，BC是ΘO的直徑，點(diǎn)A在ΘO上，將沿AB翻折交BC于點(diǎn)D，連接AD，若上ABD=20°,則DADB的度數(shù)是()A．150°意圖如圖所示．該摩天輪高128m（即最高點(diǎn)離水面平臺(tái)MN的距離圓心O到MN的距4．小穎在數(shù)學(xué)實(shí)踐課上進(jìn)行折紙操作，將圓形紙片連續(xù)對(duì)折兩分，其四等分點(diǎn)分別記為M1，M2，M3，如圖1所示虛線為折痕）(1)如圖2，若折疊后點(diǎn)A恰好與點(diǎn)M1重合，折痕為CD，順次連接M1，C，A，D，(2)如圖3，若折疊后點(diǎn)A恰好與點(diǎn)M2重合，折痕仍記為CD，連接M3C．請(qǐng)判斷直線一M3C與CM2D所在圓的位置關(guān)系，并簡(jiǎn)述理由．母線AC去，則螞蟻行走的最短路線長(zhǎng)為cm12cm，高為8cm的圓柱糧倉(cāng)模型．如圖一圈彩色裝飾帶，使裝飾帶經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)（接頭不計(jì)則裝飾帶的長(zhǎng)度最短為()7．如圖，圓錐底面圓直徑BC長(zhǎng)是6cm，母線AC長(zhǎng)是6cm，一只螞蟻在圓錐表面從B點(diǎn)爬到AC的中點(diǎn)D，最短路徑長(zhǎng)是cm． 3，則這個(gè)三角形內(nèi)切圓的半徑是()幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即若三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記【數(shù)學(xué)理解】【拓展探索】“婆羅摩笈多定理”的拓展與思考今天，我在一本數(shù)學(xué)雜志上看到一篇介紹印度數(shù)學(xué)家“婆羅摩笈多婆羅摩笈多在算術(shù)、不定方程、幾何等內(nèi)容上的偉大成就，其婆羅摩笈多定理：若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則垂直直線將平分對(duì)邊．即在如圖1所示的圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AC^BD，垂足為P，過(guò)點(diǎn)P作PH丄CD，垂足為H．延長(zhǎng)HP與AB交于點(diǎn)G，則AG=BG．:上DPC=上PHC=90°.:AG=BG．如圖2，若弦AC與BD所在直線互相垂直，且相交于ΘO外一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PH丄CD，垂足為H，與AB相交于點(diǎn)G，則AG與BG仍然相等．(3)如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上，過(guò)點(diǎn)P作PM丄AB，垂足為M．延長(zhǎng)MP交CD于點(diǎn)N．連接證明：如圖1所示內(nèi)接于圓的四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD互相垂直，垂足為點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G的直線垂直于AD，垂足為點(diǎn)E，與邊BC交于點(diǎn)F，由垂直關(guān)系得【思考】命題“若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則平分對(duì)邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線垂直過(guò)點(diǎn)G的直線垂直于AD，垂足為點(diǎn)E，與邊BC交于點(diǎn)F．證明：點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)；的中點(diǎn)，連接FG交AD于點(diǎn)E，若GF=2，求AD的長(zhǎng)．交CD于F，求證：MF=DF:AF=MF:上FMD=上FDM:MF=DF，即F是AD中點(diǎn)．并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，求證：ME丄BC如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于ΘO，對(duì)角線AC^BD，垂足為M，如果直線ME丄BC，垂:AF=②.…(1)材料中①處缺少的條件為_(kāi)_____，②處缺少的條件為_(kāi)_____；接AD，BE交于點(diǎn)P．過(guò)點(diǎn)P作MNⅡBC，分別交DE，AB于點(diǎn)M，N．若AD丄BE，求線段PM、MA組成折線段PMA，點(diǎn)B在折線段PMA上，若PB=BM+MA，則稱點(diǎn)B是折線段PMA的中點(diǎn)．【理解應(yīng)用】（1）如圖2，ΘM的半徑為2，PA是的切線，A為切點(diǎn)，點(diǎn)B是折線段PMA【定理證明】證明：如圖3，在BC上截取CG=AB，連接MC、MG、MB、MA，一:MA=MC，:MA=MC．【變式探究】阿基米德，偉大的數(shù)學(xué)家之一，其與牛頓、高斯并成為三大數(shù)學(xué)王子．在《阿基米德全集》的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D向BC作DM丄BC交BC于點(diǎn)M，則M就是折弦ABC的中點(diǎn)，即CM=AB+BM．(1)下面是用“截長(zhǎng)法”證明CM=AB+BM的部分過(guò)程．證明：如圖2，在BC上截取CE=AB一一:AD=CD．:AD=CD．線段PM、MA組成折線段PMA，點(diǎn)B在折線段PMA上，若PB=BM+MA，則稱點(diǎn)B是折線段PMA的中點(diǎn)．【概念應(yīng)用】（1）如圖2，ΘM的半徑為2，PA是ΘM的切線，A為切點(diǎn)，點(diǎn)B是折線段PMA的中【認(rèn)識(shí)定理】愛(ài)動(dòng)腦筋的小亮發(fā)現(xiàn)將折線段PMA放在圓中，且P、M、A三點(diǎn)都在圓上時(shí)，就有數(shù)學(xué)中著名的阿基米德折弦定理：如圖3，PM和MA是ΘO的兩條弦（即折線段PMA是圓的一條折弦）PM>AM，C是的中點(diǎn)，CB丄PM，垂足為B，則【證明定理】證明：如圖3，在PB上截取PQ=AM，連接CP，CQ，CA和CM．:CP=CA:CP=CA…【靈活運(yùn)用】（3）如圖4，已知等邊三角形ABC內(nèi)接于eO，D為弧AC上一點(diǎn)，CE丄BD于點(diǎn)E，連接個(gè)引理：如圖1，AB是eO的弦，點(diǎn)P在eO上，PC丄AB于點(diǎn)C，點(diǎn)D在弦AB上且AC=CD，在上取一點(diǎn)Q，=，連接BQ，則BQ=BD．(1)如圖2，小亮嘗試說(shuō)明BQ=BD，于是他連接了PA，PD，PQ，DQ．請(qǐng)你幫助他完成②求證：BQ=BD．(2)如圖3，將材料中的“弦AB”改為“直徑AB”，作直線l與ΘO相切于點(diǎn)Q．過(guò)點(diǎn)P作PG丄21．閱讀資料：我們把頂點(diǎn)在圓上，并且一邊和圓相交、另一邊和圓相切的角叫做弦切角，如圖1，DABC所示，同學(xué)們研究發(fā)現(xiàn)：P為圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)弦AC經(jīng)過(guò)圓心O時(shí)，且AB 如圖4，AD是△ABC中DBAC的平分線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的ΘO與BC切于點(diǎn)D，與AB、AC分別相交于E、F．求證：EFⅡBC．圓上，一邊與圓相交，另一邊與圓相切的角；如圖，直線IJ與ΘO相切于點(diǎn)I，HI是ΘO的(1)尺規(guī)作圖：已知AB是ΘO的直徑，延長(zhǎng)AB，過(guò)點(diǎn)B作ΘO的切線MNM在點(diǎn)B左側(cè)，N在點(diǎn)B右側(cè)．保留作圖痕跡，不寫(xiě)證明：連接AD．:∠ADB=①.:②.:DDBN=DA又QDA和DC是弧所對(duì)的圓周角:DDBN=DC．圓上，一邊與圓相交，另一邊與圓相切的角；如圖，直線IJ與ΘO相切于點(diǎn)I，HI是ΘO的(1)尺規(guī)作圖：已知AB是ΘO的直徑，延長(zhǎng)AB，過(guò)點(diǎn)B作ΘO的切線MN（M在點(diǎn)B左側(cè)，N在點(diǎn)B右側(cè)．保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）證明：連接AD．:①.又∵DA和DC是所對(duì)的圓周角:③.:④.由此，我們可以得到弦切角的結(jié)論：弦切角等于⑤.已知：點(diǎn)A、B、C在eO上，CD是eO的切線，延長(zhǎng)AB交CD于點(diǎn)D，連接CA、CB，【應(yīng)用】（3）如圖3，四邊形ABCE是eO的內(nèi)接四邊形，CD是eO的切線，交AB延長(zhǎng)線:△DBC∽△一一即上CBM=上ABD，:△ABD∽△MBC．::②.(1)①的依據(jù)是_____，②中所填的關(guān)系式為_(kāi)____；定理求BD的長(zhǎng)．托勒密定理實(shí)出自依巴谷（Hipparchus如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于eO，求證：AB.CD+BC.AD=AC.BD:△ABE∽△ACD（依據(jù)2:，:AB.CD=AC.BE，:=，線交eO于點(diǎn)D，連接AD，BD，若AB=4，求CD的長(zhǎng)．①如圖A，在△ABC所在平面上存在一點(diǎn)P，若它到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱@如圖B，若四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則有AB.CD+BC(2)知識(shí)應(yīng)用：今年以來(lái)某市持續(xù)干旱，許多村莊出現(xiàn)了人、畜飲水對(duì)邊乘積的和不小于兩條對(duì)角線的乘積，當(dāng)且僅當(dāng)四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓時(shí)，等號(hào)成立．即：【嘗試證明】如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于ΘO，求證：AB.CD+B【直接應(yīng)用】【靈活運(yùn)用】（3）如圖3，在等腰三角形ABC中，AB=一點(diǎn)P，給出如下定義：若點(diǎn)P關(guān)于直線ON的對(duì)稱點(diǎn)P￠在圖W上或內(nèi)部，則稱點(diǎn)P是圖W(3)如圖3，已知圖W3：eT，圓心為T(mén)(0,t)，半徑為1．若x軸上存在點(diǎn)P是圖W3的“映射下定義：若直線CA，CB都是ΘO的切線，則稱點(diǎn)C是弦AB的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．如圖，點(diǎn)．@若點(diǎn)C是弦AB2的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，直接寫(xiě)出AC，OC的長(zhǎng)．的弦PQ，使得點(diǎn)T是弦PQ的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，記四邊形OPTQ的面積為S，當(dāng)點(diǎn)T在線段MN上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫(xiě)出S的最小值和最大值，以及相應(yīng)的PQ長(zhǎng)．(2)如圖2，AB是ΘO的弦，作OD丄OA，OC^OB分別交ΘO于D，C兩點(diǎn)，連接CD．分別交AB、OA與點(diǎn)M、點(diǎn)E．求證：AB，CD是ΘO的等垂弦；①DA的度數(shù)為_(kāi)________°;【拓展提升】（2）如圖2，已知四邊形ABCD是圓美四邊形，DBAD是美角，連接CA，若CA平分線AB上一點(diǎn)且在點(diǎn)B的右側(cè)，BQ=8，點(diǎn)P從點(diǎn)Q出發(fā)，沿射線QA方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，以P為圓心，PC為半徑作半圓P；交直線AB分別于點(diǎn)G，H（點(diǎn)G在H的左側(cè)(2)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，求半圓P被矩形ABCD的對(duì)角線AC所截得的弦長(zhǎng)；(3)直接寫(xiě)出當(dāng)t為何值時(shí)，半圓P與四邊形AMCD的邊相切．34．如圖，正方形ABCD中，AB=8cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在AC邊上以每秒cm的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB以每秒1cm的速度向終點(diǎn)B當(dāng)P、Q到達(dá)終點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）(2)以PQ為直徑作ΘO，在點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)ΘO與AC或BC所在直線相切時(shí)，求度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N從B點(diǎn)出發(fā)沿BC以2cm/s的(1)當(dāng)t為何值時(shí)，MN=cm？如圖1，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，連接AC，點(diǎn)P為DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從D點(diǎn)出發(fā)，以每秒4個(gè)單位的速度沿DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P作AC的平行線交AD于點(diǎn)Q，將△PDQ沿PQ對(duì)折，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，連接DE交PQ于點(diǎn)G，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)E恰好落在線段AC上；(3)如圖2，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以PE為直徑作ΘO，當(dāng)t為何值時(shí)，ΘO與矩形的邊相切？37．請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺完成下列題目（不寫(xiě)畫(huà)法，保留畫(huà)圖痕跡．用虛線表示畫(huà)圖過(guò)程，(1)如圖①,點(diǎn)P是YABCD的邊AD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P畫(huà)一條直線把這個(gè)四邊形分成面積相等(2)如圖②,在正五邊形ABCDE中，畫(huà)一條直線把這個(gè)五邊形分成面積相等的兩部分．(3)如圖③,ΘO是△ABC的外接圓，點(diǎn)D是弧BC的中點(diǎn)，畫(huà)出△ABC的中線AE．38．已知A，B，C，D都是ΘO上的點(diǎn)，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺完成畫(huà)圖．(1)在圖1中，AB是eO的直徑，平行四邊形AODE的頂點(diǎn)E在AC上，畫(huà)出弧的中點(diǎn)(2)在圖2中，AB是eO的直徑，平行四邊形AFDE的頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AC，OB上，畫(huà)出弧的中點(diǎn)H．(2)在圖2中，點(diǎn)D為圓上任意一點(diǎn)，在圓上找一點(diǎn)E，使得DE是圓上最長(zhǎng)的弦．(3)在圖3中，點(diǎn)M是圓上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合作一條弦PQ，使得PQ=AM．40．圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作(1)在圖①中，△ABC的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)，在AB邊上找到一點(diǎn)M，連接CM，使(2)在圖②中，點(diǎn)A、B、O均為格點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作eO的切線；(3)在圖③中，點(diǎn)A、B、O均為格點(diǎn)，在AC上找到點(diǎn)M和點(diǎn)N（點(diǎn)M和點(diǎn)N均不與點(diǎn)A重合作7MBN，使7MBN=7A．是正方形，利用性質(zhì)求解；當(dāng)eO與AD，CD相切時(shí)，切點(diǎn)分別為G，H，連接OG，OH，【詳解】解：如圖1，當(dāng)eO與AB，BC相切時(shí)，切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接BO．由題意易得四邊形OEBF是正方形，:上OBC=45o．:點(diǎn)B到eO上的點(diǎn)的距離的最小值為-1．如圖2，當(dāng)eO與AD，CD相切時(shí)，切點(diǎn)分別為G，H，連接OG，OH，:點(diǎn)B，O，D三點(diǎn)共線．:點(diǎn)B到eO上的點(diǎn)的距離的最大值為【分析】本題考查圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形，設(shè)點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，連接【詳解】解：設(shè)點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，連接AC,AE,BE，則：上ADB=上AEB，3．40τ【分析】本題主要考查了弧長(zhǎng)計(jì)算，熟練掌握弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．先求出摩天輪半徑，再求出上AOB=120°,最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵最高點(diǎn)離水面平臺(tái)MN的距離為128m，圓心O到MN的距離為68m，:摩天輪的半徑為128-68=60(m)，:該轎廂所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)度為：故答案為：40τ.4．(1)四邊形M1CAD為菱形，理由見(jiàn)解析一(2)M3C與CM2D所在圓的位置關(guān)系是相交，理由見(jiàn)解6790（1）由折疊得出CD垂直平分AM1，則AB丄CD，AC=M1C，AD=M1D，根據(jù)垂徑定理一（2）由折疊可知，CM2D所在圓的圓心為點(diǎn)A，連接BC，AC，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是一與CM2D所在圓的位置關(guān)系是相交．:CD垂直平分AM1，:AB丄CD，AC=M1C，AD=M1D，:=，:AC=AD，:四邊形M1CAD為菱形；一由折疊可知，CM2D所在圓的圓心為點(diǎn)A，連接BC，AC，:BC與ΘA相切，:M3C與2:底面周長(zhǎng)為4πcm，:上BAC=60°,在Rt△ABD中:螞蟻從B點(diǎn)出發(fā)沿圓錐表面到處覓食，螞蟻?zhàn)哌^(guò)的最短路線長(zhǎng)為3cm【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面展開(kāi)-最短路線問(wèn)題，以及學(xué)生的立體思維能力．解題關(guān)鍵是:AB^AC，且BD為最短路徑．故答案為：3．81）它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為90°2）【分析】（1）設(shè)它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為n°,利用圓錐的側(cè)到B點(diǎn)的最短路徑，然后利用△ABB′為等腰直角三角形得到BB′的長(zhǎng)．:r＝4，:∠BAB′＝90°,:△ABB′為等腰直角三角形，【點(diǎn)睛】切圓的半徑為r，再根據(jù)三角形的內(nèi)切圓的半徑垂直于三角形的三邊，結(jié)合設(shè)這個(gè)三角形內(nèi)切圓的半徑為r，:這個(gè)三角形內(nèi)切圓的半徑為．:a+b=4，:a=4-b，:當(dāng)b=2時(shí)，S有最大值為．121）m≤-1且m≠-22）103）【詳解】解1）由題意，得且解得：m=-1.:x2-6x+9=0.3:I是△ABC的角平分線的交點(diǎn)，:IF=ID=IE【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，一元二次方程根的判別式，等腰三角形的性質(zhì)，（3）取BC的中點(diǎn)E，連接GE，NE，利用三角形中位線的性質(zhì)可推出:依據(jù)1為同弧所對(duì)的圓周角相等；:依據(jù)2為等角對(duì)等邊；:上PDC=上HPC，:上GPA=上GAP，:AG=PG，:AG=BG．（3）解：取BC的中點(diǎn)E，連接GE，NE，如圖，根據(jù)題意可知，AG=BG，:GE為△ABC中位線，QGEⅡAC，AC^BD，:GE丄BD，QNE∥BD，:GE丄NE，:上GEN=90°,在Rt△GEN中（2）過(guò)點(diǎn)C作MH//BG，交GF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，易證ΔGBF三ΔHCF，得到∵AC^BD，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，:BF=GF=FC．:命題“若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則平分對(duì)邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線垂【探究】（1）如下圖，過(guò)點(diǎn)B作BH//GC，交GF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，:BH//GC，:AG=BG．:GD=BH．:GC=BH．:CF=BF．即F是BC的中點(diǎn)．（2）如下圖，過(guò)點(diǎn)C作MH//BG，交GF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，:MH//BG，:ΔGBF三ΔHCF(AAS)．:GB=CH,GF=FH=2．:GB=AG，:AG=CH．°??:AD=GH=4．含30°的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合程度較高，需要學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí).斜邊的一半即可求出PN的長(zhǎng)度．解1）QAC丄BD，:上AMD=90°,:F是AD的中點(diǎn)，:AF=MF=DF，:上FAM=上FMA，:ME丄BC；:上DAC=180°-上ACD-上D=45°,:PA=PC，上APC=90°,:AD丄BC，:由垂徑定理可知：N是CD的中點(diǎn)，:由（1）的證明過(guò)程可知：PM丄BA，:AP=1，:PC=1，:CD=2PC=2，16．(1)①CAD；②MF角形斜邊的性質(zhì)，關(guān)鍵是能熟練應(yīng)用圓的有關(guān)性質(zhì)，掌握:AF=MF．…故答案為：①CAD；②MF；（2）解：Q四邊形ABDE是eO內(nèi)接四邊形，:上BAC+上BDE=180°,:上BDE=90°,即DE丄CB，QNM∥CB，:MN丄DE，:AN=BN，171）32）見(jiàn)解析3）BD=AB+CD，理由見(jiàn)解析（3）在BD上截取BG=AB，連接MC、MA、MB，MG，類(lèi)似（2）探究即可得出結(jié)論。:PA丄AM，:上PAM=90°,:PM=4，:PM+AM=6，:B是折線段PMA的中點(diǎn)，:PB=3，灬一:MA=MC，:MA=MC．灬灬在△MAB和△MCG中，??:MB=MG，:BD=DG，:CD=AB+BD；如圖4，在BD上截取BG=AB，連接MC、MA、MB，MG，一一:AM=CM，:AM=CM，DABM=DMBG，:△MAB≌△MGB(SAS)，:MA=MG，:MC=MG，:CD=DG，:BD=AB+CD.一一:AD=CD，:AD=CD，??:△ABD≌△CED(SAS)，:BD=ED，:BM=EM，:CM=CE+ME=AB+BM．（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OF丄DM于點(diǎn)F，OG丄BC于點(diǎn)G，連接DO，CO，MO，:CG=BC=4，:MG=CM-CG=1，:四邊形OFMG是矩形，:OF=MG=1，:△MOD≌△MOC(SSS)，:OG=OF=1，191）32）見(jiàn)解析3）4+2．（2）在PB上截取PQ=AM，連接CP，CQ，CA和CM，可證明∴△CPQ≌△CAM得到:上PAM=90°:CM=4，:B是折線段PMA的中點(diǎn)，（2）證明：如圖3，在PB上截取PQ=AM，連接CP，CQ，CA和CM．灬灬:CP=CA在△CPQ和△CAM中，:上ABC=60°,:AB=BC=2，:△ABD的周長(zhǎng)=BD+AD+AB20．(1)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析弦，再結(jié)合PA=PD，可得上PQD=（2）連接OP、OQ，根據(jù)題中條件證明△APO≌△QPO，可得上PAD=上PQO，再根據(jù)PC丄AB，PG丄QG，切線性質(zhì):PC垂直平分線段AD，:PA=PD，:四邊形ABQP為eO的內(nèi)接四邊形，一一②:PQ=PA一一:PQ=PA，:PD=PQ，:BQ=BD．（2）如圖，連接OP，OQ．:PQ=PA，:PQ=PA，:△PGQ≥△ACP(AAS)，:ΘO的半徑．[知識(shí)運(yùn)用]：連接DF，AD是△ABC中上BAC的平分線，ΘO與BC切于點(diǎn)D，可得證明如下：如圖3，連接AO并延長(zhǎng)交ΘO于點(diǎn)D，連接CD，又QAB切圓于點(diǎn)A，證明：[知識(shí)運(yùn)用]如圖4，連接DF，QeO與BC切于點(diǎn)D，:EFⅡBC．于長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)M、N，作直線MN即可；（2）連接AD，由AB是eO的直徑，得上ADB=90°；又MN是過(guò)點(diǎn)B的切線，則②以G、H為圓心，大于長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)M、N；③作直線MN；:MN即為所求；又∵DA和DC是弧所對(duì)的圓周角，【分析】本題考查了尺規(guī)作圖——作垂線，圓周角定理，同角的余角相等，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)（1）以B為圓心，任意長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)G、H，以G、H為圓心，大于GH長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)M、N，連接MN即可；（2）連接AD，由AB是eO的直徑，得上ADB=90°；又MN是過(guò)點(diǎn)B的切線，則【詳解】（1）解:如圖，①以B為圓心，任意長(zhǎng)度為半徑畫(huà)②以G、H為圓心，大于GH長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)M、N；③連接MN；:MN即為所求；:AB丄MN．又∵DA和DC是所對(duì)的圓周角241）見(jiàn)解析2）見(jiàn)解析3）上ACE=45°.【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理BEⅡCD，據(jù)此求解即可．【詳解】解1）連接OC，（2）作直徑CF，連接BF，（3）連接OC，BE，:BEⅡCD，:△DBC∽△ABM．:BD.AM=AB.CD．一一:△ABD∽△MBC．:AD.BC=MC.BD．:B為的中點(diǎn)，:BC=AB，:BC=AB，“依據(jù)2”為：兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．:△ABE∽△ACD，:AB.CD=AC.BE，:△ABC∽△AED，:AD.BC=AC.ED．:AB.CD+BC.AD=AC.BD；:四邊形ACBD為圓的內(nèi)接四邊形，∵DACB的角平分線交eO于點(diǎn)D，:=，:AD=BD，:△ABD為等腰直角三角形，:AC.BD+AD.BC=AB.CD，即解得27．(1)①見(jiàn)解析；②P￠D，AD(2)最小值為5km將所得等式兩邊都除以等邊三角形的邊長(zhǎng)，即可獲證．②問(wèn)，借用①問(wèn)結(jié)論，及線段的性【詳解】（1）解：①證明：由托勒密定理可知PB.AC+PC.AB=PA.BC:PB+PC=PA；線段AD的長(zhǎng)度即為△ABC的費(fèi)馬距離．（2）如圖，以BC為邊長(zhǎng)在△ABC的外部作等邊△BCD，連接AD，則知線段AD的長(zhǎng)即為:上ABD=90°,:從水井P到三村莊A、B、C所鋪設(shè)的輸水管總長(zhǎng)度的最小值為5km．281）見(jiàn)解析（2）連接BD、AF、BF，由圓周角定理結(jié)合勾股定理求得BD=3，AF=2，利用（1）:△ADE∽△BDC，:BC.AD=AE.BD②,:AB.CD+BC.AD=AC.BD；（2）解：連接BD、AF，;:△DAC∽△ABC，:A、B、E、D四點(diǎn)共圓，而P2(:當(dāng)y=x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，b的值最大，:b的最大值2；:180°-2a=a解得：a=60°:TN=1，:OT=2,當(dāng)t減小時(shí)，P關(guān)于W3的“映射點(diǎn)”，在W3即eT的內(nèi)部，符合題意，:t≤2②根據(jù)A(-1,0)，AC2丄OA，點(diǎn)C是弦AB2的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，得到點(diǎn)C一定在直線AC2上，AC，OC的長(zhǎng)即可．當(dāng)OT最大時(shí)，S取得最大值；當(dāng)OT最小時(shí)，S取得最小值；利用切線長(zhǎng)定理，勾股定理計(jì):上C3AO<90°,:C3A不可能是ΘO的切線，故C3設(shè)M(-1,n)，:1+n222:M(-1,)．故C2②根據(jù)A(-1,0)，AC2丄OA，點(diǎn)C是弦AB2的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，:點(diǎn)C一定在直線AC2上，設(shè)C(-1,m)，:OC2=OB22+CB22，:A(-1,0)，:直線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)M，N，:M(2,0)，N(0,2)，:對(duì)于線段MN上一點(diǎn)T，存在ΘO的弦PQ，使得點(diǎn)T是弦PQ的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，:S△OPT=S△OQT，:四邊形OPTQ的面積為S，當(dāng)OT最大時(shí)，S取得最大值；當(dāng)OT最小時(shí)，S取得最小值；:OM<ON，:當(dāng)T與N重合時(shí)，OT最大，此時(shí)OT=2，根據(jù)垂線段最短，得當(dāng)OT丄MN時(shí)，OT最小，此時(shí)設(shè)PQ與OT軸的交點(diǎn)為H，根據(jù)切線長(zhǎng)定理，得到丄OT于點(diǎn)H，AB=AC，根據(jù)垂徑定理，得證明四邊形ADOE是正方形．:四邊形ADOE是矩形，:AB=AC，:四邊形ADOE是正方形．（2）證明：:OD丄OA，OC^:AB=CD；連接AC，設(shè)AB，CD交點(diǎn)為G，:AB，CD是ΘO的等垂弦．:四邊形OEPF是矩形，:AB=CD，:OE=OF，:四邊形OEPF是正方形，:AP=3BP，連接OB，根據(jù)勾股定理，得OB2=OE2+:52=x2+(2x)2，:四邊形OHPG是矩形，:AB=CD，:OH=OG，:四邊形OHPG是正方形，:AP=3BP，連接OA，根據(jù)勾股定理，得OA2=OH2+AH2，:52=(x)22，綜上所述或．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，分類(lèi)思想，正方形的判定和性質(zhì)，運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．△DBM≌△ABC，則AC=DM，進(jìn)一步證明AC=BC+CD，當(dāng)AC是直徑時(shí)，AC取最大【詳解】解1）①∵四邊形ABCD是圓美四邊形，DA是美角，②作圓的直徑DN，連接BN，:DN=10，（2）如圖，延長(zhǎng)DC到點(diǎn)M，使得CM=CB，連接MB，:AC=DM，:AC是ΘO的一條弦，:當(dāng)AC是直徑時(shí)，AC取最大值12，形全等的判定和性質(zhì)，圓周角定理，含30（2）過(guò)點(diǎn)B作BE丄AC于點(diǎn)E，利用面積法可求出BE的長(zhǎng)，在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的長(zhǎng)，再利用垂徑定理可求出半圓P被矩形ABCD的對(duì)角線AC所截得的弦長(zhǎng)；（3）分三種情況討論，當(dāng)半圓P與MC相切時(shí)；當(dāng)半圓P與CD相切時(shí),PC丄CD，則P,B重合，當(dāng)半圓P與AD相切時(shí)，在Rt△BCP中，利用勾股定理可求出PC的長(zhǎng)；設(shè)BP=x，則PC=PA=4-x，利用勾股定理可得出關(guān)于x的方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合:BP=PQ-BQ=2，在Rt△BCE中，BC=3:CE==5:半圓P被矩形ABCD的對(duì)角線AC所截得的弦長(zhǎng)為18×2=36；:△PCM是等腰直角三角形，:PQ=BQ-BP=8-6=2如圖所示，當(dāng)半圓P與CD相切時(shí),PC丄CD，:PQ=BQ=8如圖所示，當(dāng)半圓P與AD，相切時(shí)，設(shè)BP=x，則PC=PA=8-x在Rt△PBC中，PB2+BC2=PC2:x2+62=(8-x)2，綜上所述，t=1或t=4或t=時(shí)，半圓P與四邊形AMCD的邊相切．（2）分ΘO與AC或BC所在直線相切時(shí)，分別畫(huà)出