2022-2023學(xué)年江蘇省無錫市錫山區(qū)錫東片九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試題及答案一、選擇題（每小題3分，共30分）1.下列方程為一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個(gè)判斷即可．只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．【詳解】解：A．方程，當(dāng)，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；B．是代數(shù)式，故本選項(xiàng)不符合題意；C．是一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意；D．含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關(guān)鍵．2.如圖，不能說明的一組條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的判定逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，，∴，故選項(xiàng)A不符合題意；∵，，∴，故選項(xiàng)B不符合題意；∵，∴，∵，∴，故選項(xiàng)C不符合題意；不是已知的比例線段的夾角，故不能判定，故選項(xiàng)D符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．3.如圖，中，，則以A為圓心，3為半徑的與的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相切 C.相交 D.不確定【答案】B【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求出的長度，再根據(jù)圓心到直線的距離與圓的半徑之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：，∴，∴圓心到直線的距離為：，等于圓的半徑，∴與相切．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系．熟練掌握根據(jù)圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系確定直線與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4.如圖，，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，得出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．5.如果圓錐的母線長為5cm，底面半徑為3cm，那么圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式：進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的側(cè)面積．熟練掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積公式是解題的關(guān)鍵．6.如圖，等邊三角形內(nèi)接于，將的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則的度數(shù)為（）A.100° B.105° C.125° D.120°【答案】D【解析】【分析】利用圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)可直接得解．【詳解】解：∵的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴也是等邊三角形，∴，在的內(nèi)接四邊形中，，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．7.下列說法：①圓中弦的垂直平分線一定經(jīng)過圓心；②與半徑垂直的直線是圓的切線；③相等的圓心角所對(duì)的弦也相等；④圓內(nèi)接四邊形有且只有一個(gè)．其中不正確的個(gè)數(shù)是（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓的相關(guān)概念和性質(zhì)，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①圓中弦的垂直平分線一定經(jīng)過圓心，說法正確，不符合題意；②過半徑的末端，且與半徑垂直的直線是圓的切線，原說法錯(cuò)誤，符合題意；③在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦也相等，原說法錯(cuò)誤，符合題意；④圓內(nèi)接四邊形有無數(shù)個(gè)，原說法錯(cuò)誤，符合題意；綜上，②③④說法不正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，切線的定義，等角對(duì)等弦，圓內(nèi)接四邊形．熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．8.如圖，在中，為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，將劣弧沿弦翻折交于點(diǎn)D（不與O重合），連接．若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】連接，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角求出，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出，再根據(jù)翻折的性質(zhì)得到所對(duì)的圓周角為，所對(duì)的圓周角為，，最后由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接，∵是直徑，∴，∵，∴．根據(jù)翻折的性質(zhì)，所對(duì)的圓周角為，所對(duì)的圓周角為，∴，∵，∴，∴故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是直徑所對(duì)的圓周角是直角和翻折變換等知識(shí)，掌握相關(guān)定理是解答此題的關(guān)鍵．9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心的圓過點(diǎn)，直線與交于B、C兩點(diǎn)，則弦的長的最小值為（）A.22 B.24 C.10.5 D.12.5【答案】B【解析】【分析】對(duì)于直線，無論為何值時(shí)，恒經(jīng)過點(diǎn)，記為點(diǎn),即過圓內(nèi)定點(diǎn)的所有弦中，與垂直的弦最短，過點(diǎn)作于點(diǎn),即可求出，再根據(jù)垂徑定理及勾股定理即可求出答案．【詳解】對(duì)于直線，無論為何值時(shí)，恒經(jīng)過點(diǎn)，記為點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則有，，即，由于過圓內(nèi)定點(diǎn)的所有弦中，與垂直的弦最短，如圖所示，∴當(dāng)時(shí)，取最小值，∵過點(diǎn)，∴∴，∵當(dāng)時(shí)，有過圓內(nèi)定點(diǎn)的弦最短，∴根據(jù)垂徑定理及勾股定理可得：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，一次函數(shù)以及勾股定理等知識(shí)，得出直線在無論為何值時(shí)，恒經(jīng)過點(diǎn)，是解答本題的關(guān)鍵．10.如圖，把某矩形紙片沿，折疊（點(diǎn)E、H在邊上，點(diǎn)F，G在邊上），使點(diǎn)B和點(diǎn)C落在邊上同一點(diǎn)P處，A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為、D點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，若，的面積為8，的面積為2，則矩形的長為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，因?yàn)椤鰽′EP的面積為4，△D′PH的面積為1，推出D′H＝x，由S△D′PH=D′P·D′H=A′P·D′H，可解得x=2，分別求出PE和PH，從而得出AD的長.【詳解】解：∵四邊形ABC是矩形，

∴AB=CD，AD=BC，設(shè)AB=CD=x，

由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，

∵△A′EP的面積為8，△D′PH的面積為2，

又∵，∠A′PF=∠D′PG=90°，∴∠A′PD′=90°，則∠A′PE+∠D′PH=90°，∴∠A′PE=∠D′HP，∴△A′EP∽△D′PH，

∴A′P2：D′H2=8：2，∴A′P：D′H=2：1，∵A′P=x，

∴D′H=x，∵S△D′PH=D′P·D′H=A′P·D′H，即，∴x=2（負(fù)根舍棄），

∴AB=CD=2，D′H=DH=，D′P=A′P=CD=2，A′E=2D′P=4，∴PE=，PH=，∴AD==，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）11.若是一元二次方程的一個(gè)根，則___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義，將代入方程，得出關(guān)于的一元一次方程，解方程即可求解．一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為一元二次方程的解．【詳解】解：∵是一元二次方程的一個(gè)根，∴，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的定義，掌握一元二次方程根的定義是解題的關(guān)鍵．12.已知，相似比為，則與的周長比為___________．【答案】【解析】【分析】相似三角形的周長比等于相似比，根據(jù)性質(zhì)直接可得答案．【詳解】解：∵，相似比為，∴與的周長比等于相似比．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握“相似三角形的周長之比等于相似比”是解本題的關(guān)鍵．13.如圖，中，已知，則=___________°．【答案】50【解析】【分析】根據(jù)內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知，即可求解．【詳解】∵在的內(nèi)接四邊形中，有，又∵，∴，故答案為：50．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，是解答本題的關(guān)鍵．14.2022年10月16日上午，舉世矚目的中共二十大召開．非凡十年、滄桑巨變．我國人均從約萬元增加到萬元（新華網(wǎng)）．假如每一個(gè)年里人均增長率不變，則這個(gè)人均增長率約為多少？答：___________．【答案】【解析】【分析】設(shè)每一個(gè)年里人均增長率為，根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可求解．【詳解】解：設(shè)每一個(gè)年里人均增長率為，根據(jù)題意得，，解得（舍去），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．15.對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，定義一種運(yùn)算：，若，則x的值為___________．【答案】3或##或3【解析】【分析】根據(jù)，由，可得：，據(jù)此求出的值為多少即可．【詳解】解：，，，解得．故答案為：3或．【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)的新定義運(yùn)算，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是要熟練掌握利用因式分解法求解一元二次方程．16.如圖，在中，，，．以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)，，則圖中陰影部分的面積為__________（結(jié)果保留）．【答案】【解析】【分析】連接，由扇形面積﹣三角形面積求解．【詳解】解：連接，∵，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，，∴，∵，∴陰影部分的面積為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積與等邊三角形的性質(zhì)與判定，解題關(guān)鍵是判斷出三角形CBE為等邊三角形與扇形面積的計(jì)算．17.P是邊上的任一點(diǎn)（P不與A、B、C重合），過點(diǎn)P的一條直線截，如果截得的三角形與相似，我們稱這條直線為過點(diǎn)P的△ABC的“相似線”．中，，，當(dāng)點(diǎn)P是邊上一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)（），過點(diǎn)P的的“相似線”最多有___________條．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)相似線的定義，可知截得的三角形與有一個(gè)公共角，分①公共角為時(shí)；②公共角為時(shí)；③公共角為時(shí)；三種情況進(jìn)行討論，即可得出答案．【詳解】解：①當(dāng)公共角為時(shí)，不存在；②公共角為時(shí)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)D，如圖所示：∵，，∴；過點(diǎn)P作于點(diǎn)D，如圖所示：∵，，∴；③公共角為時(shí)，連接，如圖所示：∵，∴，設(shè)，則，，∵點(diǎn)P是邊上一個(gè)三等分點(diǎn)，，∴，∴，，∴，∵，∴；過點(diǎn)P作，交于點(diǎn)D，如圖所示：∵，∴，，∴；綜上分析可知，過點(diǎn)P的的“相似線”最多有4條．故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，平行線的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法．18.如圖，在△ABC中，AC：BC：AB=5：12：13,⊙O在△ABC內(nèi)自由移動(dòng)，若⊙O的半徑為1，且圓心O在△ABC內(nèi)所能到達(dá)的區(qū)域的面積為，則△ABC的周長為______.【答案】25【解析】【分析】如圖，可知圓心O在△ABC內(nèi)所能到達(dá)的區(qū)域?yàn)椤鱀EF的邊以及其內(nèi)部，其中點(diǎn)D在∠BAC的角平分線上，且到AB、AC邊的距離為1，點(diǎn)E在∠ACB的角平分線上，且到CA、CB邊的距離為1，點(diǎn)F在∠ABC的角平分線上，且到BA、BC邊的距離為1，DH、EP分別垂直于AC，EM、FQ分別垂直于BC，DK、FN分別垂直于AB，則有AH=AK，CP=CM=EM=1，BN=BQ，四邊形EDPH、EFQM、DFNK是矩形，△DEF是直角三角形且△DEF∽△ACB，繼而根據(jù)已知可分別求出DE、EF、DF的長，再設(shè)AH=AK=x，BN=BQ=y，則有AC=x+，BC=5+y，AB=x+y+，再根據(jù)AC：BC：AB=5：12：13列方程組可求出x、y的值，繼而根據(jù)三角形的周長公式進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖，可知圓心O在△ABC內(nèi)所能到達(dá)的區(qū)域?yàn)椤鱀EF的邊以及其內(nèi)部，其中點(diǎn)D在∠BAC的角平分線上，且到AB、AC邊的距離為1，點(diǎn)E在∠ACB的角平分線上，且到CA、CB邊的距離為1，點(diǎn)F在∠ABC的角平分線上，且到BA、BC邊的距離為1，DH、EP分別垂直于AC，EM、FQ分別垂直于BC，DK、FN分別垂直于AB，則有AH=AK，CP=CM=EM=1，BN=BQ，四邊形EDPH、EFQM、DFNK是矩形，△DEF是直角三角形且△DEF∽△ACB，又∵AC：BC：AB=5：12：13，∴DE：EF：DF=5：12：13，又∵S△DEF=DE?EF=，∴DE=，EF=4，∴DF=，∴PH=DE=，MQ=EF=4，NK=DF=，設(shè)AH=AK=x，BN=BQ=y，則有AC=AH+HP+CP=x+，BC=CM+MQ+BQ=5+y，AB=AK+NK+BN=x+y+，又∵AC：BC：AB=5：12：13，∴，解得：，∴AC=+，BC=10，AB=++5，∴AC+BC+AB=++10+++5=7+3+10+5=25，故答案為25.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，切線長定理，三角形的面積等知識(shí)，難度很大，正確畫出圖形確定出點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)區(qū)域是解題的關(guān)鍵.三、解答題（本大題共10小題，共96分．）19解方程（1）（2）【答案】（1），；（2），．【解析】【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用直接開平方法求解即可．【小問1詳解】解：因式分解得：，∴或，∴，；【小問2詳解】解：兩邊直接開平方得：或，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，能夠根據(jù)方程特點(diǎn)靈活選用不同的解法是解題的關(guān)鍵．20.在等腰△ABC中，三邊分別為a、b、c，其中，若關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求△ABC的周長．【答案】10【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程和三角形的性質(zhì)，計(jì)算得，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系和等腰三角形的性質(zhì)分析，即可得到答案.【詳解】∵關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根∴∴∴∴或（舍去）∵∴根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，的周長當(dāng)時(shí)，得∴不成立∴的周長.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程、三角形三邊關(guān)系、等腰三角形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程、等腰三角形的性質(zhì)，從而完成求解.21.如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，，垂足為．（1）求證：；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，．再根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”可得，再由垂直的定義可得．從而得出，再根據(jù)“有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”可得出結(jié)論；根據(jù)中點(diǎn)的定義可求出BE=2，然后根據(jù)勾股定理求出AE=.再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可.【詳解】證明：（1）∵四邊形是矩形，∴，．∴，∵，∴．∴，∴．解：（2）∵，∴．∵，是的中點(diǎn)，∴．∴在中，．又∵，∴，∴．【點(diǎn)晴】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.22.如圖，已知是銳角三角形．（1）請(qǐng)?jiān)趫D1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖；作直線，使上的各點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離相等；設(shè)直線與、分別交于點(diǎn)、，作一個(gè)圓，使得圓心在線段上，且與邊、相切；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）條件下，若，，則的半徑為________．【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）由題意知直線為線段BC的垂直平分線，若圓心在線段上，且與邊、相切，則再作出的角平分線，與MN的交點(diǎn)即為圓心O；（2）過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)即可求解．【詳解】解：（1）①先作的垂直平分線：分別以B，C為圓心，大于的長為半徑畫弧，連接兩個(gè)交點(diǎn)即為直線l，分別交、于、；②再作的角平分線：以點(diǎn)B為圓心，任意長為半徑作圓弧，與的兩條邊分別有一個(gè)交點(diǎn)，再以這兩個(gè)交點(diǎn)為圓心，相同長度為半徑作弧，連接這兩條弧的交點(diǎn)與點(diǎn)B，即為的角平分線，這條角平分線與線段MN的交點(diǎn)即為；③以為圓心，為半徑畫圓，圓即為所求；（2）過點(diǎn)作，垂足為，設(shè)∵，，∴，∴根據(jù)面積法，∴∴，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，切線的性質(zhì)等內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線、角平分線的尺規(guī)作圖．23.閱讀下面的例題：分解因式：．解：令得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程．∵，∴．解得，；∴．這種因式分解的方法叫求根法，請(qǐng)你利用這種方法完成下面問題：（1）已知代數(shù)式對(duì)應(yīng)的方程解為和5，則代數(shù)式分解后為___________；（2）將代數(shù)式分解因式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)材料所給公式進(jìn)行分解即可；（2）利用求根法進(jìn)行因式分解．【小問1詳解】∵代數(shù)式對(duì)應(yīng)的方程解為和5，∴；故答案為：；【小問2詳解】解：令：，，∴，解得，；∴．【點(diǎn)睛】本題考查求根法因式分解．理解并掌握題目中的求根法因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．24.如圖，過的圓心O，交于點(diǎn)A、B，與相切于點(diǎn)C，已知，．（1）求證：；（2）求的周長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）求得，再用證明三角形相似即可；（2）分別求出三邊長再相加即可【小問1詳解】解：∵是切線∴，又∵，∴．又∵OB=OC∴∵∴；【小問2詳解】在中，，，∴；∴，∴，又∵，∴的周長．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，含30度的直角三角形的性質(zhì)，掌握這些定理是解題的關(guān)鍵．25.國慶期間，某水果超市調(diào)查某種水果的銷售情況，圖中反映的是調(diào)查員小王與超市老李的對(duì)話：根據(jù)他們的對(duì)話，解決下面所給問題：老李透露：他每天租金、損耗等要開支240元；若超市每天還要獲得3400元的銷售利潤，又要盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則這種水果的售價(jià)應(yīng)定為多少元？【答案】每千克29元【解析】【分析】設(shè)降價(jià)元，根據(jù)題意列出一元二次方程進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)每千克降x元．由題意得：，整理得：，解得：或；∵要盡可能讓顧客得到實(shí)惠，∴；∴售價(jià)為：（元/千克）．答：這種水果的售價(jià)應(yīng)定為每千克元．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用．根據(jù)題意正確的列出方程是解題的關(guān)鍵．26.如圖，為等邊的外接圓，半徑為2，點(diǎn)D在劣弧上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A，B重合），連接，，．（1）求證：是的平分線；（2）設(shè)線段的長為x，請(qǐng)你通過計(jì)算用含x的代數(shù)式表示四邊形的面積S；（3）若點(diǎn)M，N分別在線段，上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到每一個(gè)確定的位置，的周長有最小值，隨著點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)，的周長的最小值也會(huì)發(fā)生變化，則在周長的所有最小值中的最大值為___________．【答案】（1）見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等即可證明；（2）在DA延長線上截取，證明即可求解；（3）作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)E，作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)F，根據(jù)對(duì)稱性可得出當(dāng)點(diǎn)E，點(diǎn)M，點(diǎn)N，點(diǎn)F四點(diǎn)共線時(shí)，的周長有最小值，連接，交于M，交于N，連接，，，，作于P，再證明，，即有，即可得，，進(jìn)而有，則可知為直徑時(shí)，有最大值4，此時(shí)有最大值，問題隨之得解．【小問1詳解】∵在等邊中，有，∴，∴是的平分線；【小問2詳解】在DA延長線上截取，如圖，在等邊中，有，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴是等邊三角形，∵，∴四邊形的面積即是等邊的面積，即，下面推導(dǎo)等邊三角形的面積公式：正的邊長為u，過頂點(diǎn)x作，V為垂足，如圖，在正中，有，，∵，∴，，∴在中，有，∴正的面積為：，∵邊長，∴；【小問3詳解】如圖，作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)E，作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)F，∵點(diǎn)D，點(diǎn)E關(guān)于直線對(duì)稱，∴，同理，∴的周長：，∴當(dāng)點(diǎn)E，點(diǎn)M，點(diǎn)N，點(diǎn)F四點(diǎn)共線時(shí)，的周長有最小值，則連接，交于M，交于N，連接，，，，作于P，即的周長最小值為，∵點(diǎn)D，點(diǎn)E關(guān)于直線對(duì)稱，∴，，∵點(diǎn)D，點(diǎn)F關(guān)于直線對(duì)稱，∴，，∴，，∵，，，∴，，∴，，∴，∴當(dāng)有最大值時(shí)，有最大值，∵為的弦，半徑為2，∴為直徑時(shí)，有最大值4，∴最大值為．即周長的所有最小值中的最大值為．【點(diǎn)睛】點(diǎn)評(píng)：本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識(shí)，等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．27.已知：如圖，在中，，P是斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，交邊于點(diǎn)D（點(diǎn)D與點(diǎn)A、C都不重合），E是射線上一點(diǎn)，且．設(shè)A、P兩點(diǎn)的距離為x，的面積為y．（1）求證：；（2）y關(guān)于x的函數(shù)解析式___________；（3）當(dāng)與相似時(shí)，求的面積．【答案】（1）見解析（2）（3）或【解析】【分析】（1）證