第二章

一元二次函數(shù)、方程和不等式§2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)§2.2基本不等式§2.3二次函數(shù)與一元二次方程、

不等式

在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，大量存在著相等關(guān)系和不等關(guān)系。限速問題1.等式與不等式客車核載問題購物節(jié)滿減問題

類似于這樣的問題，反映在數(shù)量關(guān)系上，就是相等與不等，相等用等式表示，不等用不等式表示。常見的文字語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換文字語言等于，相等，相同大于，高于，超過小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超過符號語言=><≥≤

在描述一種不等現(xiàn)象或者不等式的時(shí)候，通常用數(shù)學(xué)符號連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示不等關(guān)系?！疽?】用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關(guān)系。（1）某路段限速40km/h；（2）某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%；（3）三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊；（4）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。對于（1），設(shè)在該路段行駛的汽車的速度為vkm/h，“限速40km/h”就是v的大小不能超過40，于是0<v≤40。對于（2），由題意，得

f≥2.5%，

p≥2.3%對于（3），設(shè)?ABC的三條邊為a，b，c，則a+b>c，a-b<c對于（4），如圖，設(shè)C是直線AB外的任意一點(diǎn)，CD垂直于AB，垂足為D，E是直線AB上不同于D的任意一點(diǎn)，則CD<CE?！疽?】某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷售，可以售出8萬本。據(jù)市場調(diào)查，雜志的單價(jià)每提高0.1元，銷售量就可能減少2000本。如何定價(jià)才能使提價(jià)后的銷售總收入不低于20萬元？設(shè)提價(jià)后每本雜志的定價(jià)為x元，則銷售總收入為于是，不等關(guān)系“銷售總收入不低于20萬元”可以用不等式表示為求出不等式的解集，就能知道滿足條件的雜志的定價(jià)范圍。

如何解前面的不等式呢？與解方程要用等式的性質(zhì)一樣，解不等式要用不等式的性質(zhì)。為此，我們需要先研究不等式的性質(zhì)。

實(shí)際上，在初中我們已經(jīng)通過具體實(shí)例歸納出了一些不等式的性質(zhì)。那么，這些性質(zhì)為什么是正確的？還有其他不等式的性質(zhì)嗎？回答這些問題要用到關(guān)于兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)。

由于數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對應(yīng)，所以可以利用數(shù)軸上點(diǎn)的位置關(guān)系來規(guī)定實(shí)數(shù)的大小關(guān)系：如圖，設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，它們在數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)分別是A，B。那么，當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊時(shí)，a<b；當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊時(shí)，a>b。關(guān)于實(shí)數(shù)a，b大小的比較，有以下基本事實(shí)：

如果a-b是正數(shù)，那么a>b；如果a-b等于0，那么a=b；如果a-b是負(fù)數(shù)那么a<b。反過來也對。這個(gè)基本事實(shí)可以表示為從上述基本事實(shí)可知，要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小?！纠?】比較(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小。

中國古代數(shù)學(xué)家趙爽在三國時(shí)期（約222年）發(fā)明的一種幾何圖形——弦圖，主要用于證明勾股定理。

其核心是通過切割重組圖形，保持面積不變，將直角三角形邊長的代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何形式?！咎骄浚褐匾坏仁健肯聢D是在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國人民熱情好客，你能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎？將圖中的“風(fēng)車”抽象成下圖。在正方形ABCD中有4個(gè)全等的直角三角形。設(shè)直角三角形的兩條直角邊的長為a，b(a≠b)，那么正方形的邊長為這樣，4個(gè)直角三角形的面積和為2ab，正方形的面積為a2+b2。由于正方形ABCD的面積大于4個(gè)直角三角形的面積和，我們就得到了一個(gè)不等式

當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時(shí)，正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有一般地，?a，b∈R，有當(dāng)且僅當(dāng)

a=b

時(shí)，等號成立?！纠?】已知a>0，b>0，利用重要不等式證明a3＋b3≥ab2＋a2b重要不等式a2＋b2≥2ab兩邊同乘(a+b)

不等式與等式一樣，都是對大小關(guān)系的刻畫，所以我們可以從等式的性質(zhì)及其研究方法中獲得啟發(fā)。等式的性質(zhì)①

如果a=b，那么b=a；②

如果a=b，b=c，那么a=c；③

如果a=b，那么a±c=b±c；④

如果a=b，那么ac=bc；⑤

如果a=b，c≠0，那么2.不等式的性質(zhì)

類比等式的基本性質(zhì)，猜想不等式的基本性質(zhì)。性質(zhì)1對稱性如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b。即a>b<=>b<a性質(zhì)2傳遞性如果a>b，b>c，那么a>c。即a>b，b>c?a>c性質(zhì)3可加性如果a>b，那么a+c>b+c如圖，把數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)A與B同時(shí)沿相同方向移動(dòng)相等的距離，得到另兩個(gè)點(diǎn)A1與B1，A與B和A1與B1的左右位置關(guān)系不會(huì)改變。用不等式的語言表示，就是上述性質(zhì)3。性質(zhì)4可乘性如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc這就是說，不等式兩邊同乘一個(gè)正數(shù)，所得不等式與原不等式同向；不等式兩邊同乘一個(gè)負(fù)數(shù)，所得不等式與原不等式反向。利用這些基本性質(zhì)，我們還可以推導(dǎo)出其他一些常用的不等式的性質(zhì)，例如，利用性質(zhì)2，3可以推出：性質(zhì)5同向可加性如果a>b，c>d，那么a+c>b+d利用性質(zhì)4和性質(zhì)2可以推出：性質(zhì)6同向同正可乘性如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd性質(zhì)7可乘方性如果a>b>0，那么an>bn（n∈N，n≥2）實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)和不等式的性質(zhì)是解決不等式問題的基本依據(jù)。重要提醒：（1）性質(zhì)3（可加性）是移項(xiàng)法則“不等式中任何一項(xiàng)的符號變成相反的符號后，可以把它從一邊移到另一邊”的依據(jù)。（2）性質(zhì)4（可乘性）在使用中要特別注意研究“乘數(shù)的符號”。（3）性質(zhì)5（同向可加性），即“同向不等式只能相加，不等號方向不變，不能相減”?？偨Y(jié)：不等式性質(zhì)【例3】(多選)若

，則下面四個(gè)不等式成立的有(

)A.|a|>|b| B.a<b