2025九年級中考面積(陰影部分)問題的求解策略中學數(shù)學競賽交流群(340744678)江湖美一.有百樂,就有千里馬.初次到這個班上課的千老師想試一下水.他一連出了2道題,期望在10分鐘以內(nèi)就有人解出:【例1】圖中黃色正三角形面積為675,則綠色正三角形面積是?【例2】2024.貴州.如圖，扇形OAB的半徑為10cm，∠AOB=90゜，分別以O(shè)A，OB為直徑作半圓，兩半圓交于點M，則圖中陰影部分的面積是千老師也沒有閑著.他在全班巡視,去觀察學生們解題的動態(tài).沒有想到:僅過了不到1分鐘,就有人先后報出答案.老師驚異,正在埋頭苦算的所有學生更驚異.于是,千老師讓他們直接上講臺給大家演示.小e同學展示了他對第一題的解法:如圖,設(shè)黃色正三角形邊長為x,則綠色正三角形的邊長為所以其相似比為.由于相似形的面積比等于其相似比的平方,.所以綠色正三角形的面積是675×3=2025.”小π同學接著演示了第2題:“如解圖,設(shè)兩半圓交于M，連OM,以點M為旋轉(zhuǎn)中心,將弓形①移到③處,弓形②移到④處如圖所示.那么:千老師贊賞道:“這兩位同學其實都沒有動手.但為了給大家匯報,才作了如上的演示.這種在分秒之內(nèi)即能搞定試題的能力,可以稱之為‘秒殺’”全班同學都用羨慕的眼光看向小e和小π.. 千老師想,可能是題目過于簡單,讓這兩個小子這么快就破解了.于是他又隨手亮出另外兩道:【例3】兩張全等的矩形紙片與兩張全等的正方形紙片圍成如圖的矩形ABCD.如果原來的矩形與正方形的周長相等,則一定能夠求出的是()A.正方形紙片的面積;B.矩形紙片的面積;C.△BEF的面積;D.△AEH的面積.【例4】如圖的凸六邊形ABCDEF的3組對邊兩兩平行.請比較△ACE與△BDF面積的大小.果然,這兩題好難.有同學問道:“老師.這兩題都沒有可供計算的數(shù)據(jù)嗎?”“沒有.”千老師肯定地回答.沒有想到.還是那兩個小子,都要分別給出了正確的答案.小e說:“第3題選C.”小π說:“第4題的兩個三角形一定等積..”千老師也讓他們各自講明理由.小e說:“老師,我是用排除法做的:【解析1】雖然原正方形與矩形周長相等,但具體周長仍然可變.所以其面積都不能確定,排除A,B;再來考查選項D.設(shè)正方形邊長為a,矩形兩鄰邊之長分別為x,y(x>y).既然a,x可變,則EH=xa亦可變,y也是變量,所以△AEH的面積也不能確定,再排除D.因此,唯一正確的選項為C.千老師大加贊賞:“小e同學沒有做任何計算就找到了正確答案.這也叫做‘秒殺’.可是,這題可以直接證明選項C的正確性嗎?”小π同學是數(shù)學科代表,他說:“可以！”并立即走上講臺演示:【解析2】設(shè)正方形邊長為a,矩形兩鄰邊之長分別為x,y(x>y).由條件知x+y=2a.則有這說明四邊形SFGN一定是正方形.只要a,x.y確定.則此正方形的邊長也跟著確定.故△BEF的面積必定可求,故選C.千老師乘機問他:“你說第4題兩個三角形一定等積.你能證明嗎?”小π說:“這題既然沒有任何數(shù)據(jù),說明其面積大小與連接方式無關(guān),所以必定等積.”千老師看到問題了,于是似表揚似批評地評價:“如果這是一道填空或選擇題,那么恭喜:你作對了,可以獲得滿分.但現(xiàn)在時一道證明題,你沒有說出任何理由支持你的結(jié)論是成立的,那就只能給0分.二.一馬當先,是為了萬馬奔騰.一堂課就這么基本結(jié)束了.千老師做出最后的總結(jié):“解數(shù)學題,一要求正確,二要求花盡可能少的時間.這種可以稱為‘秒’的本領(lǐng),你們也想擁有嗎?”同學們異口同聲的回答;“想!”千老師說:“好!但是冰凍三尺,非一日之寒.你們必須踏實穩(wěn)定,一步一個腳印的前行.我這里精選了10道問題供你們?nèi)ヌ接懷芯?希望你們能夠把最好的解法找出來.特別最后一道題,就是今天的例題4.需要用嚴謹?shù)臄?shù)學方法給于證明,希望你們能夠突破.千老師把全班同學分為10個小組,每組45人.自然,小e小π,都擔任了研發(fā)小組的組長召集人第2天,幾乎每位同學都交出了一份高質(zhì)量的答案(見下)但可惜的是:最后一題仍然不盡人意.千老師另行作答給于補充.練習題1.2024,甘肅武威.17題如圖,在直徑為4dm的圓內(nèi)作一個最大的直角扇形,則它的面積是2.2024.重慶如圖,在矩形ABCD中,分別以A和C為圓心,AD長為半徑畫弧,兩弧有且僅有一個公共點,若AD=4,則圖中陰影部分面積為()3.2023.湖北鄂州23題直角三角形ABC中∠ABC=90o,∠ACB=30o.AB=4.O為BC中點.以O(shè)為圓心,OB長為半徑作半圓交AC于D,則圖中陰影部分的面積是()4.2023.山東濱州.7O題.如圖,半徑為1cm的3個等圓彼此相交,每一個都經(jīng)過另兩個圓的圓心,則圖中3個陰影部分面積之和為()cm25.2023.山東煙臺.8題.如圖在正方形中,陰影部分是以正方形的頂點及其對稱中心為圓心,以正方形邊長之半為半徑作弧所組成的封閉圖形.將一個小球在該正方形內(nèi)自由滾動.小球隨機地停在正方形內(nèi)的某一點上,若小球停在陰影部分的概率為P1,停在空白區(qū)域內(nèi)的概率為P2,則P1與P2的大小關(guān)系為()P1<P2B..P1=P2C..P1>P2D.無法判斷.6..2024.黑龍江.大慶.16題如圖所示的曲邊三角形也稱作“萊諾三角形”.其作法是:作等邊三角形ABC.分別以A,B,C為圓心,以AB長為半徑的三段弧所圍成的圖形就是一個曲邊三角形,該“萊諾三角形”的周長為3π,則其面積為7.如圖的等腰直角三角形ABC,AC=BC.E為BC上一點,以A為圓心,AE為半徑的圓弧交AB于D,交AC的延長線于F,若所得圖中兩陰影部分等積,則AD:DB=8.2024.廣東佛山.15題.如圖,菱形ABCD面積為24.E為AB中點,F在BC上且△BEF面積為4.則△CDF面積是9,2024.黑龍江.7題如圖,四邊形ABCD中AC⊥BD,且AC+BD=8.分別以四邊形ABCD的四條邊為邊向形外作正方形AEFB,BGHC,CIJD.則圖中各陰影部分面積和的最大值為()10.如圖的凸六邊形ABCDEF的3組對邊兩兩平行.請比較△ACE與△BDF面積的大小.參考解答1.2024,甘肅武威.17題如圖,在直徑為4dm的圓內(nèi)作一個最大的直角扇形,則它的面積是1.2π.此題無需割補.如解圖,連接AB.則△ACB為等腰直角三角形且斜邊AB=4.故2.2924.重慶如圖,在矩形ABCD中,分別以A和C為圓心,AD長為半徑畫弧,兩弧有且僅有一個公共點,若AD=4,則圖中陰影部分面積為()2.D.兩弧相切時,其切點E必在兩弧所在圓的連心線上,即A,E,C必共線,∴AC=4+4=8.而AD=4.故由勾股定理:亦有3.2023.湖北鄂州23題直角三角形ABC中∠ABC=90o,∠ACB=30o.AB=4.O為BC中點.以O(shè)為圓心,OB長為半徑作半圓交AC于D,則圖中陰影部分的面積是()3..C.連AD,OD.由切割線定理及勾股定理得:BD=2,CD=6,半圓半徑故4.2023.山東濱州.7O題.如圖,半徑為1cm的3個等圓彼此相交,每一個都經(jīng)過另兩個圓的圓心,則圖中3個陰影部分面積之和為()cm24.C.割補過程如下圖所示:第一步.連結(jié)AB,O1O2,并將①翻折后移到②處;第2步,③翻折,④不翻折一起移到③+④處.得一半徑為1的半圓.故其面積為5.2023.山東煙臺.8題.如圖在正方形中,陰影部分是以正方形的頂點及其對稱中心為圓心,以正方形邊長之半為半徑作弧所組成的封閉圖形.將一個小球在該正方形內(nèi)自由滾動.小球隨機地停在正方形內(nèi)的某一點上,若小球停在陰影部分的概率為P1,停在空白區(qū)域內(nèi)的概率為P2,則P1與P2的大小關(guān)系為P1<P2B..P1=P2C..P1>P2D.無法判斷.5..B.,如解圖,E,F,GH分別是正方形ABCD各邊的中點.將左圖中的弓形①與③分別移到有圖中的②與④處.得正方形EFGH.其面積與原陰影部分面積相等,但又等于正方形ABCD面積之半.6..2024.黑龍江.大慶.16題如圖所示的曲邊三角形也稱作“萊諾三角形”.其作法是:作等邊三角形ABC.分別以A,B,C為圓心,以AB長為半徑的三段弧所圍成的圖形就是一個曲邊三角形,該“萊諾三角形”的周長為3π,則其面積為6..這個“萊諾三角形”實際是將3個圓心角為60o的扇形用3種不同的方式重疊在一起,其中每個弓形都只出現(xiàn)1次,而中間正三角形卻出現(xiàn)了3次.所以這個解題的思維過程就是一個半圓減去兩個全等的正三角形.因為此萊諾三角形”的周長為3π,則每段圓弧長為π,而其所對圓心角為60o.設(shè)圓半徑為r,由設(shè)所求“萊諾三角形”的面積為S,則7.如圖的等腰直角三角形ABC,AC=BC.E為BC上一點,以A為圓心,AE為半徑的圓弧交AB于D,交AC的延長線于F,若所得圖中兩陰影部分等積,則AD:DB=8.由題意知:不妨設(shè)AC=BC=1,則設(shè)AD=AF=r得:8.2024.廣東佛山.15題.如圖,菱形ABCD面積為24.E為AB中點,F在BC上且△BEF面積為4.則△CDF面積是

8.10.如解圖設(shè)菱形邊長為6m(m>0).E為BC中點,∴AE=BE=3m.已知菱形ABCD面積為24,又知且且AE=BE..從而CF=2m,故△CDF面積是24(6+4+4)=10.9,2024.黑龍江.7題如圖,四邊形ABCD中AC⊥BD,且AC+BD=8.分別以四邊形ABCD的四條邊為邊向形外作正方形AEFB,BGHC,CIJD.則圖中各陰影部分面積和的最大值為()9.8.注意到:∠ADC+∠KDJ=180o且DA=DK,DC=DJ.∴△ADC與△KDJ等積;同理:△FBG與△ABC等積.故同理:故:設(shè)AC=x,則BD=8x.于是:當且僅當AC=BD=4時,所求陰影部分面積的最大值為810.如圖的凸六邊形ABCDEF的3組對邊兩兩平行.請比較△ACE與△BDF面積的大小.10.如解圖1,作AP∥EF;CR∥DE,EQ∥CD,其兩兩