蘇教版高一暑假作業(yè)7：立體幾何初步學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.(2024·江蘇省徐州市·月考試卷)已知一個水平放置的四邊形ABCD，用斜二測畫法畫出它的直觀圖是一個底角為45°，上底長為1，下底長為2的等腰梯形A′B′C′D′，則四邊形ABCD的面積為(

)

A.322 B.3242.(2024·浙江省湖州市·單元測試)正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為(

)A.81π4 B.16π C.9π D.3.(2024·上海市市轄區(qū)·期末考試)向高為H的水瓶中注水，注滿為止．如果注水量V與水深?的函數(shù)關(guān)系如圖，那么水瓶的形狀是圖中的(

)A.B.

C.D.4.(2024·河北省·期中考試)如圖，BD是正方形ABCD的對角線，BD?的圓心是A，半徑為AB，正方形ABCD以AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，則圖中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積之比是(

)

A.1:1:1 B.1:2:3 C.2:1:2 D.2:2:15.(2024·廣東省·單元測試)攢尖是中國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為撮尖，清代稱攢尖．通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分．多見于亭閣式建筑，園林建筑．如圖所示的建筑屋頂是圓形攢尖，可近似看作一個圓錐，已知其軸截面(過圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面)是底邊長為6?m，頂角為2π3的等腰三角形，則該屋頂?shù)膫?cè)面積約為(

)

A.6πm2 B.63πm6.(2024·廣東省·單元測試)如圖，P

為平行四邊形ABCD

所在平面外一點，E

為AD

的中點，F(xiàn)

為PC

上一點，當PA

//平面EBF

時，PFFC=(

)

A.23 B.14 C.137.(2023·北京市市轄區(qū)·同步練習)一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論：

①AB⊥EF；

②AB與CM所成的角為60°；

③EF與MN是異面直線；

④MN//CD．

以上四個命題中，正確命題的序號是(

)A.②③ B.①②③ C.①③ D.①③④8.(2024·湖北省·聯(lián)考題)《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在如圖所示的鱉臑A?BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，過EF的截面α與AC交于點G，與BD交于點H，AB=1，若AB//截面α，且CD//截面α，四邊形GEHF是正方形，則CD=(

)

A.12 B.1 C.32 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.(2024·湖北省·模擬題)設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的有(

)A.若m//n，m⊥α，則n⊥α B.若m⊥n，m//α，則n⊥α

C.若α//β，m⊥α，則m⊥β D.若α⊥β，m⊥α，則m//β10.(2024·江蘇省宿遷市·月考試卷)如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，O為AC、BD的交點，直線A1A.C1、O、A、M四點共面 B.直線C1O與直線A1C為異面直線

C.直線A1A與直線OM相交 D.D11.(2024·山東省濟南市·期末考試)在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，截面BDE與直線PC平行，與PA交于點E，則下列判斷正確的是(

)A.E為PA的中點B.PB與CD所成的角為π3

C.BD⊥平面PACD.三棱錐C?BDE與四棱錐P?ABCD的體積之比等于三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(2023·廣東省·模擬題)圓臺的上、下底面半徑分別是10?cm和20?cm，它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角是180°(如圖)，那么圓臺的體積是

．

13.(2024·江蘇省南通市·單元測試)已知棱長為4的正四面體A?BCD的四個頂點都在同一球面上，過棱AB的中點M的一個平面截此球所得截面面積為kπ(k∈N?)，請寫出一個符合條件的k的值：

14.(2023·四川省·模擬題)在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E、F分別是棱BC，CC1的中點，P是側(cè)面四邊形BCC1B1內(nèi)(不含邊界)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(2023·四川省·階段測試)(本小題13分)如圖所示，在三棱錐P?ABC中，PA⊥面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，點D，E分別為棱PB，PC的中點．(1)求證：面PBC⊥面PAC；(2)當PA=2時，求點P到平面AED的距離．16.(2024·廣東省廣州市·單元測試)(本小題15分)

如圖，在邊長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為DD1中點，

(1)證明：BD117.(2024·浙江省·單元測試)(本小題17分)

如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC/?/AD，BE//FA，且BC=12AD，BE=12FA，G，H分別為FA，(1)求證：四邊形BCHG是平行四邊形;(2)C，D，F(xiàn)，E四點是否共面?為什么?18.(2023·江西省·期末考試)(本小題15分)如圖，已知ABCD是邊長為2的正方形，AF⊥平面ABCD，CE//AF．(Ⅰ)證明：BD⊥EF；(Ⅱ)若AF=1，CE=2，求直線EF與平面BDF所成角的正弦值．19.(2023·江蘇省·期末考試)(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，點E為側(cè)棱PA的中點，過C、D、E三點的平面交側(cè)棱PB于點F．

(Ⅰ)求證：AB//平面CDEF；

(Ⅱ)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求證：PA⊥CF．

條件①：PD=AD；

條件②：DE⊥平面PAB．

注：如果選擇條件①、條件②分別解答，按第一個解答計分．

1.【答案】A

【解析】【分析】本題主要考查了平面圖形的直觀圖，屬于基礎題．

根據(jù)斜二測畫法可知，原圖形為直角梯形，其中上底為1，下底為2，高為2【解答】

解：根據(jù)斜二測畫法可知，原圖形為直角梯形，其中上底為1，下底為2，高為2，

所以四邊形ABCD的面積為12×(1+2)×22.【答案】A

【解析】【分析】本題主要考查四棱錐外接球的表面積，屬于基礎題．

利用正四棱錐的底面邊長和高求出外接球的半徑，進而可得表面積．【解答】

解：由題可知正四棱錐P?ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，記為O，

設球的半徑為R，

∵棱錐的高為4，底面邊長為2，

∴R2=(4?R)2+(2)2，

3.【答案】B

【解析】【分析】本題主要考查知識點：旋轉(zhuǎn)體(圓柱、圓錐、圓臺)等簡單幾何體和函數(shù)的圖象，屬于基礎題．本題還可從注水一半時的狀況進行分析求解．

本題利用排除法解．從所給函數(shù)的圖象看出，V不是?的正比例函數(shù)，由體積公式可排除一些選項；從函數(shù)圖象的單調(diào)性及切線的斜率的變化情況看，又可排除一些選項，從而得出正確選項．【解答】

解：如果水瓶形狀是圓柱，V=πr2?，r不變，V是?的正比例函數(shù)，

其圖象應該是過原點的直線，與已知圖象不符．故D錯；

由已知函數(shù)圖可以看出，隨著高度?的增加V也增加，但隨?變大，每單位高度的增加，體積V的增加量變小，圖象上升趨勢變緩，

其原因只能是瓶子平行與底的截面的半徑由底到頂逐漸變小．故A、C錯．

4.【答案】A

【解析】【分析】本題考查了圓錐、圓柱和球的體積計算，屬于中檔題．

利用圓錐、圓柱和球的體積公式即可求解．【解答】

解：設正方形ABCD的邊長為1，可得

VⅠ=13π×AD2×AB=π3;

VⅡ=12×435.【答案】B

【解析】【分析】本題主要考查錐體的幾何性質(zhì)以及側(cè)面積求法，空間想象能力等知識，屬于基礎題．

由題意分別求得錐體的底面圓的半徑和母線，然后計算其側(cè)面積即可．【解答】

解：作出該圓錐截面如圖，由已知可知，該圓形攢尖的底面圓半徑r=3m，母線l=rsinπ3=26.【答案】D

【解析】【分析】本題考查了根據(jù)線面平行求線段比，解題關(guān)鍵是掌握線面平行性質(zhì)定理，考查了分析能力和空間想象能力，屬于中檔題．連接

AC

交

BE

于

G

，連接

FG

，因為

PA

//平面

EBF

，

PA

?

平面

PAC

，平面

PAC∩

平面

BEF=FG

，可得

PA

//

FG

，結(jié)合已知條件，即可求得答案．【解答】解：連接

AC

交

BE

于

G

，連接

FG

，∵

PA

//平面

EBF

，

PA

?

平面

PAC，平面

PAC∩

平面

BEF=FG

，∴

PA

//

FG

，故：

PFFC=又

∵

AD

//

BC

，

E

為

AD

的中點，∴AGGC由①②可得：

PF故選：D．7.【答案】C

【解析】【分析】本題考查了空間中直線與直線的位置關(guān)系，異面直線及異面直線所成的角，屬于中檔題．

先把正方體的平面展開圖還原成原來的正方體，再根據(jù)所給結(jié)論進行逐一判定即可．【解答】

解：把正方體的平面展開圖還原成原來的正方體如圖所示，

則AB⊥EF，EF與MN為異面直線，AB//CM，MN⊥CD，

只有①③正確．

故選C．8.【答案】B

【解析】【分析】本題考查了空間幾何體的截面問題，是基礎題．

由題意可得G，H分別為AC，BD的中點，易得四邊形GEHF是正方形，可得CD．【解答】

解：由題意可得G，H分別為AC，BD的中點，

AB//GE，GF//CD，AB=2GE，CD=2GF，

因為四邊形GEHF是正方形，所以GE=GF，所以CD=AB=1．

9.【答案】AC

【解析】【分析】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定，考查空間想象能力與思維能力，屬于基礎題．

由直線與平面垂直的性質(zhì)判斷A與C；由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系分析B與D．【解答】

解：若m//n，m⊥α，由直線與平面垂直的性質(zhì)可得n⊥α，故A正確；

若m⊥n，m//α，則n//α或n?α或n與α相交，相交也不一定垂直，故B錯誤；

若α//β，m⊥α，由直線與平面垂直的性質(zhì)可得m⊥β，故C正確；

若α⊥β，m⊥α，則m//β或m?β，故D錯誤．

故選：AC．10.【答案】AC

【解析】【分析】本題考查平面的基本性質(zhì)，屬于基礎題．

根據(jù)平面的基本性質(zhì)進行求解即可．【解答】

解：在題圖中，連接A1C1，

∴點C1，M，O，A，均在平面ACC1A1上，A正確；

點C1，M，O，即在平面C1BD上，也在平面ACC1A1上，

所以直線C1O為平面C1BD與平面ACC1A1的交線，

又直線A1C交平面C1BD于點M，所以直線C1O與直線A1C相交，交點為M，B錯誤；

直線A1A與直線OM都在平面ACC1A1內(nèi)，OM與A1A不平行，

所以直線A1A與直線OM相交，C正確；11.【答案】ACD

【解析】【分析】本題考查棱錐及其結(jié)構(gòu)特征，考查空間中直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系，異面直線所成角的求法，線面垂直的判定，棱錐體積的求法，屬于中檔題．

連接AC，交BD于點O，可知O為BD，AC的中點，連接OE，根據(jù)線面平行的判定定理判定A；根據(jù)PB與CD所成的角即PB與AB所成的角，判定B;根據(jù)線面垂直的判定定理判定C；根據(jù)三棱錐和四棱錐的體積計算公式分別求出其體積判定D．【解答】

解：連接AC，交BD于點O，則O為BD，AC的中點，連接OE，

因為截面BDE與直線PC平行，PC?平面PAC，平面PAC∩平面BDE=EO，

∴PC//EO，O為AC中點，即E為PA的中點，故A正確；

因為底面ABCD是正方形，所以AB//CD，

所以PB與CD所成的角即PB與AB所成的角，

又因為PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB，而PA=AB，

所以PB與AB所成的角為π4，即PB與CD所成的角為π4，故B錯誤；

因為PA⊥底面ABCD，BD?面ABCD，所以PA⊥BD，

又因為底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，

而AC∩PA=A，AC，PA?平面PAC，所以BD⊥平面PAC，故C正確；

設PA=AB=2，由題可知EA的距離即為三棱錐C?BDE的高，

則三棱錐C?BDE的體積為VC?BDE=VE?BDC=13×12×2×2×1=23，

而四棱錐P?ABCD的體積VP?ABCD12.【答案】7?000π33

【解析】【分析】本題考查了圓臺的體積公式，屬于中檔題．解答本題可把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，即先在展開圖內(nèi)求母線的長，再進一步代入體積公式求出圓臺體積，進而求出答案．【解答】解：由題意得，設圓臺的母線為l，高為?，

因為圓臺的上、下底面半徑分別是10?cm和20?cm，它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角是180°

所以180°=20?10l×360°，∴?=103cm，

∴圓臺的體積為V=13π(r113.【答案】4(4,5,6中寫對一個即可，答案不唯一)．

【解析】【分析】本題著重考查了正方體的性質(zhì)、球內(nèi)接多面體和球的截面圓性質(zhì)等知識，屬于中檔題．

根據(jù)題意，將四面體ABCD放置于如圖所示的正方體中，則正方體的外接球就是四面體ABCD的外接球．利用題中數(shù)據(jù)算出外接球半徑R以及過M點的截面到球心的最大距離，再利用球的截面圓性質(zhì)可算出截面面積的最小值，當截面過球心時截面面積最大．【解答】

解：將棱長為4的正四面體ABCD放置于正方體中，如圖所示，

可得正方體的外接球就是正四面體ABCD的外接球，

∵正四面體ABCD的棱長為4，

∴正方體的棱長為22，

體對角線長26，可得外接球半徑R滿足2R=26，即R=6，

M為棱AB的中點，過M作其外接球的截面，當截面到球心O的距離最大時，

截面圓的面積達最小值，此時球心O到截面的距離為OM=2，

可得截面圓的半徑為r=R2?(2)2=6?2=2，

得到截面圓的面積最小值為Smin=πr214.【答案】P在線段MN上(M,N分別為棱BB1,【解析】【分析】本題考查空間中線面平行及軌跡問題，面面平行的判定以及性質(zhì)，屬于中檔題．

分別取棱BB1、B1C1的中點M、N，連接MN，易證平面A1MN//平面AEF，因為P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一點，且A【解答】解：如下圖所示：

分別取棱BB1、B1C1的中點M、N，連接MN，A1M、A1N，連接BC1，

∵M、N、E、F為所在棱的中點，

∴MN//BC1，EF//BC1，

∴MN//EF，

又MN?平面AEF，EF?平面AEF，

∴MN//平面AEF

∵AA1//NE，AA1=NE，

∴四邊形AENA1為平行四邊形，

∴A1N//AE，

又A1N?平面AEF，AE?平面AEF，

∴A1N//平面AEF，

又A1N∩MN=N15.【答案】解：(1)PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，

故PA⊥BC，

又∠BCA=90°，故BC⊥CA．又AC∩AP=A，AC,AP?平面PAC，

故BC⊥平面PAC，

因為BC?平面ABC，

故面PBC⊥平面PAC．(2)點D，E分別為棱PB，PC的中點，故ED//BC，

故ED⊥平面PAC．VD?AEPVP?AED=13S△AED??=

【解析】本題考查了線面垂直，面面垂直的判定、空間中的距離和棱錐的體積，考查了空間想象和邏輯推理能力，屬于基礎題．

(1)由線面垂直的性質(zhì)得PA⊥BC，又BC⊥CA，利用線面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAC，由面面垂直的判定即可得證；

(2)易得ED//BC，結(jié)合(1)又線面垂直的性質(zhì)可得ED⊥平面PAC，由等體積法可得點P到平面AED的距離．16.【答案】解：證明：(1)設AC，BD交于點O，連結(jié)OE，

∵在邊長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為DD1中點，∴O是BD中點，∴OE/?/BD1，

∵OE?平面AEC，BD1?平面【解析】本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬于基礎題．

(1)設AC，BD交于點O，連結(jié)OE，則OE//BD1，從而得到BD1//平面AEC；

(2)17.【答案】解：(1)證明：由題意知，F(xiàn)G=GA，F(xiàn)H=HD，所以GH//AD，GH=1又BC//AD，BC=12AD，

故GH//BC，所以四邊形BCHG是平行四邊形；

(2)C，D，F(xiàn)，E四點共面．

理由如下：

由BE//AF，BE=

12又因為G是FA的中點知，所以BE//GF，BE=GF，

所以四邊形BEFG是平行四邊形，

所以EF//BG，

由(1)知BG//CH，所以EF//CH，故EC，F(xiàn)H共面．

又點D在直線FH上，所以C，D，F(xiàn)，E四點共面．

【解析】本題考查了立體幾何中四點共面問題，考查空間想象能力，幾何邏輯推理能力，以及計算能力，屬于中檔題．

(1)先證得GH//BC，GH=BC，由此能證明四邊形BCHG是平行四邊形；

(2)先得到四邊形BEFG是平行四邊形，進而得EC，F(xiàn)H共面，由此能推導出C，D，F(xiàn)，E四點共面．18.【答案】解：

(Ⅰ)證明：連接AC，交BD于點O．

∵ABCD是正方形，

∴BD⊥AC

∵AF⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，

∴AF⊥BD；

又∵AC∩AF=A，AC，AF?平面ACEF

∴BD⊥平面ACEF，

又∵EF?平面ACEF，

∴BD⊥EF；

(Ⅱ)解：連接OE，OF，由(Ⅰ)知，BD⊥平面ACEF，

∴平面BDF⊥平面ACEF，平面BDF∩平面ACEF=OF

過E作EH⊥OF交于點