§5.4平面向量中的綜合問題分值：52分一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.(2025·昆明模擬)設x>0，向量AB=(x2，2x)在向量AC=(1，2)上的投影向量為λAC(λ∈R)，則實數(shù)λ的最小值為()A.45 B.C.15 D.2.已知點P是邊長為2的正方形ABCD所在平面內(nèi)一點，若|APABAD|=1，則|AP|的最大值是()A.221 B.22C.22+1 D.22+23.已知非零向量AB與AC滿足AB|AB|+AC|AC|·BC=0且AB|AB|·A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形4.在△ABC中，AC=9，∠A=60°，點D滿足CD=2DB，AD=37，則BC的長為()A.37 B.36C.33 D.65.在平行四邊形ABCD中，點P在對角線AC上(包含端點)，且AC=2，則(PB+PD)·PA有()A.最大值為12，B.最小值為12，C.最小值為12，最大值為D.最小值為4，最大值為16.(2024·呼和浩特模擬)在△ABC中，D為線段AC的一個三等分點，AD=2DC.連接BD，在線段BD上任取一點E，連接AE，若AE=aAC+bAB(a，b∈R)，則a2+b2的最小值為()A.134 B.C.413 D.二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.設點D是△ABC所在平面內(nèi)一點，則下列說法正確的有()A.若AD=12(AB+AC)，則點DB.若AD=13AB|AB|cosBC.若AD=2ABAC，則點D在邊BC的延長線上D.若AD=xAB+yAC，且x+y=12，則△BCD是△ABC8.已知△ABC的面積為3，在△ABC所在的平面內(nèi)有兩點P，Q，滿足PA+2PC=0，QA=2QB，記△APQ的面積為S，則下列說法正確的是()A.PB∥CQB.=BP13BAC.PA·PC<0D.S=4三、填空題(每小題5分，共10分)9.已知向量a=(3，2)，b=(2，1)，則|a+tb|(t∈R)的最小值為，此時t的值為.

10.(2025·長沙模擬)在Rt△ABC中，AB⊥AC，AC=3，AB=1，平面ABC內(nèi)動點P滿足CP=1，則AP·BP的最小值為.

答案精析1.A2.C3.C[由AB|AB|+AC|AC|所以AB=AC，設AB，CA的夾角為而AB|AB|·CA|AC又θ∈[0，π]，所以θ=π3，∠A=ππ3=2π3，故4.A[因為CD=2DB所以AD=AB+BD=AB+1=AB+13(=23AB設AB=x，x>0，則|AD|2=2得37=49x2+49×x×9cos60°+19×即2x2+9x126=0，解得x=6(舍負)，即AB=6，所以|BC|=|ACAB|==62+925.C[設AC與BD的交點為O，則PB+PD=2PO，所以(PB+PD)·PA=2PO·如圖(1)，當點P在AO上，設|PO|=a∈[0，1]，(PB+PD)·PA=2PO·PA=2a(1a)，當a=12時，有最小值為1如圖(2)，當點P在CO上，設|PO|=a∈[0，1]，(PB+PD)·PA=2PO·PA=2a(1+a)，當a=1時，有最大值為4.綜上，(PB+PD)·PA有最小值為12，最大值為46.C[設BE=λBD，λ∈[0，1]因為AD=2DC，所以AE=AB+BE=AB+λBD=AB+λ(BA+AD)=2λ3AC+(1所以a=2λ3，b所以a2+b2=49λ2+(1λ)=139λ22λ+1當λ=-22×139=913時，a2+b7.ABD[對于A，∵AD=12(AB+即12AD12AB=12即點D是邊BC的中點，故A正確；對于B，AD·=1=13(|BC|+|BC|)=0即AD⊥BC，故直線AD過△ABC的垂心，故B正確；對于C，∵AD=2ABAC，即ADAB=ABAC，即BD即點D在邊CB的延長線上，故C錯誤；對于D，∵AD=xAB+yAC，且x+y=12，設則AM=2AD=2xAB+2yAC，且2x+2y=1，故M，B，C三點共線，且|AM|=2|AD|即△BCD是△ABC面積的一半，故D正確.]8.BCD[由PA+2PC=0，QA=2QB可知點P為AC的靠近點C的三等分點，點Q為AB延長線上的點，且B為AQ的中點，如圖所示，對于A，點P為AC的靠近點C的三等分點，點B為AQ的中點，所以PB與CQ不平行，故A錯誤；對于B，BP=BA+AP=BA+23AC=BA+23(BCBA)=對于C，PA·PC=|PA||PC|cosπ=|PA||PC|<0，故C對于D，設△ABC的高為h，S△ABC=12|AB|h=3，即|AB|h=6，則△APQ的面積S=12|AQ|·23h=12·2|AB|·23h=23×9.755解析因為a=(3，2)，b=(2，1)，所以a+tb=(3，2)+t(2，1)=(3+2t，2+t)，所以|a+tb|=(-3+2=5t2≥495=7當且僅當t=45即|a+tb|的最小值為755，此時t10.413解析平面ABC內(nèi)動點P滿足CP=1，所以點P的軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，因為AB⊥AC，AC=3，AB=1由勾股定理可得BC2=AB2+AC2=4，所以BC=2，且cosC=ACBC=所以C=30°，所以AC·BC=|AC|·|BC|cos30°=3，因為AP=AC+CP，BP=BC所以AP·BP=(AC+CP)·(BC+CP)=AC·BC+CP·(AC+BC)+CP因為|CP|=1，