八年級數(shù)學(xué)平行四邊形知識點詳解與練習(xí)平行四邊形是初中幾何的核心內(nèi)容之一，它的性質(zhì)與判定貫穿后續(xù)矩形、菱形、正方形的學(xué)習(xí)。本文將從定義、性質(zhì)、判定、應(yīng)用等角度系統(tǒng)梳理，結(jié)合典型練習(xí)幫助同學(xué)們深化理解。一、知識梳理：平行四邊形的定義與表示定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。符號表示：用“□”表示平行四邊形，頂點按順序標(biāo)注（體現(xiàn)對邊平行關(guān)系）。例如，頂點為A、B、C、D的平行四邊形記作$\boldsymbol{□ABCD}$，其中$AB\parallelCD$，$AD\parallelBC$。二、性質(zhì)探究：平行四邊形的核心特征平行四邊形的性質(zhì)可從邊、角、對角線、對稱性四個維度分析，結(jié)合圖形與邏輯推導(dǎo)更易理解：1.邊的性質(zhì)：對邊平行且相等若$□ABCD$中，$AB\parallelCD$，$AD\parallelBC$，則$AB=CD$，$AD=BC$。證明思路：連接對角線$AC$，由$AB\parallelCD$得$\angleBAC=\angleDCA$，由$AD\parallelBC$得$\angleBCA=\angleDAC$。結(jié)合$AC$為公共邊，可證$\triangleABC\cong\triangleCDA$（ASA），因此$AB=CD$，$AD=BC$。2.角的性質(zhì)：對角相等，鄰角互補平行四邊形中，$\angleA=\angleC$，$\angleB=\angleD$（對角相等）；$\angleA+\angleB=180^\circ$，$\angleB+\angleC=180^\circ$（鄰角互補）。推導(dǎo)：由$AB\parallelCD$，同旁內(nèi)角$\angleA+\angleD=180^\circ$；結(jié)合$\triangleABC\cong\triangleCDA$得$\angleB=\angleD$，因此$\angleA+\angleB=180^\circ$，對角相等同理可證。3.對角線的性質(zhì)：互相平分平行四邊形的對角線$AC$與$BD$交于點$O$，則$AO=OC$，$BO=OD$（對角線互相平分）。證明：由$AB\parallelCD$得$\angleOAB=\angleOCD$，結(jié)合$AB=CD$（對邊相等）、$\angleAOB=\angleCOD$（對頂角相等），可證$\triangleAOB\cong\triangleCOD$（SAS），因此$AO=OC$，$BO=OD$。4.對稱性：中心對稱圖形平行四邊形繞對角線交點$O$旋轉(zhuǎn)$180^\circ$后與自身重合，因此是中心對稱圖形，對稱中心為$O$。三、判定方法：如何證明一個四邊形是平行四邊形？判定需結(jié)合邊、角、對角線的特征，核心是“滿足定義（兩組對邊平行）”或“推導(dǎo)對邊平行且相等”。1.邊的判定（三種思路）①兩組對邊分別平行（定義判定）：若$AB\parallelCD$且$AD\parallelBC$，則四邊形$ABCD$是平行四邊形。②兩組對邊分別相等：若$AB=CD$且$AD=BC$，則四邊形$ABCD$是平行四邊形（可通過SSS證三角形全等，推導(dǎo)對邊平行）。③一組對邊平行且相等：若$AB\parallelCD$且$AB=CD$，則四邊形$ABCD$是平行四邊形（通過SAS證三角形全等，推導(dǎo)另一組對邊平行）。2.角的判定兩組對角分別相等：若$\angleA=\angleC$且$\angleB=\angleD$，則四邊形$ABCD$是平行四邊形（由內(nèi)角和$360^\circ$得$\angleA+\angleB=180^\circ$，推導(dǎo)對邊平行）。3.對角線的判定對角線互相平分：若對角線$AC$、$BD$交于$O$，且$AO=OC$、$BO=OD$，則四邊形$ABCD$是平行四邊形（通過SAS證三角形全等，推導(dǎo)對邊平行且相等）。四、相關(guān)定理與應(yīng)用拓展1.平行線間的距離夾在兩條平行線間的平行線段長度相等（由平行四邊形對邊相等推導(dǎo)）。2.平行四邊形的面積面積公式：$\boldsymbol{面積=底\times高}$（底為任意一邊，高為該邊到對邊的垂直距離，需注意“底”與“高”的對應(yīng)關(guān)系）。五、綜合應(yīng)用：典型例題解析例1：在$□ABCD$中，$\angleA=50^\circ$，求其余三個角的度數(shù)。分析：利用“對角相等，鄰角互補”，$\angleC=\angleA=50^\circ$；$\angleB=\angleD=180^\circ-50^\circ=130^\circ$。例2：已知四邊形$ABCD$的對角線$AC$、$BD$交于$O$，且$AO=OC$，$BO=OD$，求證$ABCD$是平行四邊形。分析：連接$AC$，證$\triangleAOB\cong\triangleCOD$（SAS），得$AB=CD$且$\angleOAB=\angleOCD$，故$AB\parallelCD$。結(jié)合“一組對邊平行且相等”，判定為平行四邊形。例3：平行四邊形的底為$6$，對應(yīng)的高為$4$，求面積。分析：直接應(yīng)用公式，面積$=6\times4=24$。六、針對性練習(xí)：鞏固與提升（一）基礎(chǔ)鞏固1.平行四邊形的對邊____且____，對角____。（填“平行”“相等”等）2.若$□ABCD$的周長為$20$，且$AB=4$，則$BC=$____。3.下列能判定四邊形是平行四邊形的是（）A.一組對邊平行，另一組對邊相等B.對角線互相垂直C.對角線互相平分D.一組對邊平行，一組鄰角相等（二）能力提升1.如圖，在$□ABCD$中，$E$、$F$分別是$AB$、$CD$的中點，求證：四邊形$AECF$是平行四邊形。（提示：結(jié)合“一組對邊平行且相等”）2.平行四邊形的一個內(nèi)角平分線將其一邊分為$3$和$5$兩段，求平行四邊形的周長。答案與解析基礎(chǔ)鞏固1.平行；相等；相等（對邊平行且相等，對角相等）。2.周長$=2(AB+BC)=20$，$AB=4$，故$BC=\frac{20}{2}-4=6$。3.選$\boldsymbol{C}$。A可能為等腰梯形，B無法判定，D中“一組鄰角相等”僅能推出直角，無法判定平行；C是對角線判定的核心條件。能力提升1.證明：$\because□ABCD$中，$AB\parallelCD$且$AB=CD$（平行四邊形對邊平行且相等）。$\becauseE$、$F$為$AB$、$CD$中點，$\thereforeAE=\frac{1}{2}AB$，$CF=\frac{1}{2}CD$，故$AE=CF$。又$AE\parallelCF$（$AB\parallelCD$），$\therefore$四邊形$AECF$滿足“一組對邊平行且相等”，故為平行四邊形。2.分析：設(shè)內(nèi)角平分線交$BC$于$E$，$\angleBAE=\angleDAE$。$\becauseAD\parallelBC$，$\therefore\angleDAE=\angleAEB$，故$\angleBAE=\angleAEB$，$\thereforeAB=BE$。若$BE=3$，則$AB=3$，$BC=3+5=8$，周長$=2(3+8)=22$；若$BE=5$，則$A