§6.1數(shù)列的概念課標要求1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).1.數(shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列按照確定的順序排列的一列數(shù)數(shù)列的項數(shù)列中的

通項公式如果數(shù)列{an}的第n項an與它的之間的對應關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式

遞推公式如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式數(shù)列{an}的前n項和把數(shù)列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數(shù)列{an}的前n項和，記作Sn，即Sn=

2.數(shù)列的分類分類標準類型滿足條件項數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)

無窮數(shù)列項數(shù)

項與項間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an+1an

其中n∈N*遞減數(shù)列an+1an

常數(shù)列an+1=an擺動數(shù)列從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列3.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到實數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號n，對應的函數(shù)值是數(shù)列的第n項an，記為an=f(n).1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)數(shù)列1，2，3與3，2，1是兩個不同的數(shù)列.()(2)數(shù)列1，0，1，0，1，0，…的通項公式只能是an=1+(-1)n+12(3)任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列.()(4)若數(shù)列用圖象表示，則從圖象上看是一群孤立的點.()2.傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家用小石子來研究數(shù).如圖中的數(shù)1，5，12，22，…稱為五邊形數(shù)，則第8個五邊形數(shù)是.3.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an=n+an-1(n≥2，n∈N*)，則an=.4.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=n2-4n+1，則an=.1.靈活應用兩個常用結(jié)論(1)若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則an=S(2)在數(shù)列{an}中，若an最大，則an≥an-1,an≥an+1;若2.掌握數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)由于數(shù)列可以看作一個關(guān)于n(n∈N*)的函數(shù)，因此它具備函數(shù)的某些性質(zhì)：(1)單調(diào)性——若an+1>an，則{an}為遞增數(shù)列；若an+1<an，則{an}為遞減數(shù)列，否則為擺動數(shù)列或常數(shù)列(an+1=an).(2)周期性——若an+k=an(k為非零常數(shù))，則{an}為周期數(shù)列，k為{an}的一個周期.題型一由an與Sn的關(guān)系求通項公式例1(1)(2025·漳州模擬)已知各項均不為0的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若3Sn=an+1，則a8a7等于A.-12 B.-13 C.12(2)已知數(shù)列{an}滿足nΣk=1ak2k-1=nA.2025 B.2024 C.4049 D.4050思維升華an與Sn的關(guān)系問題的求解思路(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn-1的關(guān)系式，再求解.(2)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an-1的關(guān)系式，再求解.跟蹤訓練1(1)(多選)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=12(3n-1)，則下列說法正確的是(A.a1=1B.數(shù)列{an}為遞增數(shù)列C.數(shù)列{an}是等比數(shù)列D.an=2×3n-1(2)(2024·廣州模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+n，當Sn+9an取得最小值時，題型二由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式命題點1累加法例2(2025·常德模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an-an+1=2nanan+1，則an=.命題點2累乘法例3若數(shù)列{an}滿足a1=12，a1+2a2+3a3+…+nan=n2an，則a2025=.思維升華(1)形如an+1-an=f(n)的數(shù)列，利用累加法，即可求數(shù)列{an}的通項公式.(2)形如an+1an=f(n)的數(shù)列，利用累乘法，即可求數(shù)列{a跟蹤訓練2(1)已知數(shù)列{an}中，a1=1，nan+1=2(a1+a2+…+an)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式為.(2)(2024·鹽城模擬)凸五邊形有5條對角線，那么凸n+2(n≥2)邊形的對角線條數(shù)為()A.n(n-2)C.(n+2)(n題型三數(shù)列的性質(zhì)命題點1數(shù)列的單調(diào)性例4(2024·阜陽模擬)已知數(shù)列{an}滿足an=2n2+λn(λ∈R)，則“{an}為遞增數(shù)列”是“λ≥0”的()A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件命題點2數(shù)列的周期性例5(2025·孝感模擬)在數(shù)列{an}中，a1=-2，anan+1=an-1，則數(shù)列{an}的前2025項的積為()A.-1 B.-2 C.-3 D.3命題點3數(shù)列的最值例6數(shù)列{bn}滿足bn=3n-72n-1，則當n=時，思維升華(1)解決數(shù)列的周期性問題，先求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.(2)解決數(shù)列的單調(diào)性問題，常用作差比較法，根據(jù)差的符號判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性.跟蹤訓練3(1)(2024·周口模擬)在數(shù)列{an}中，a1=1，a2=5，an+2=an+1-an(n∈N*)，則a2025的值為()A.5 B.-5 C.4 D.-4(2)已知數(shù)列{an}的通項公式為an=kn2-n-2，若{an}為遞增數(shù)列，則k的取值范圍為()A.(1，+∞) B.(0，+∞)C.12，+∞答案精析落實主干知識1.每一個數(shù)序號na1+a2+…+an2.有限無限><自主診斷1.(1)√(2)×(3)×(4)√2.923.n(n+1)2探究核心題型例1(1)A[因為3Sn=an+1，則3Sn+1=an+1+1，兩式相減可得3an+1=an+1-an，即2an+1=-an，令n=7，可得2a8=-a7，且an≠0，所以a8a7=-(2)C[由題意可得a1+a23+a35+…+an2當n=1時，a1=2；當n≥2時，a1+a23+a35+…+an①②兩式相減得an2即an=2n-1.又a1=2不滿足an=2n-1，綜上所述，an=2,所以a2025=4049.]跟蹤訓練1(1)ABC[∵Sn=12(3n-1)，∴a1=S1=12×(3-1)=1，故當n≥2時，Sn-1=12(3n-1-1)∴an=Sn-Sn-1=12(3n-1)-12(3n-1-1)=3n-1，a1∴an=3n-1，故D錯誤；∵an+1an∴數(shù)列{an}是公比為3的等比數(shù)列，故C正確；∵a1=1，公比大于1，∴數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，故B正確.](2)3解析因為Sn=n2+n，則當n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n，又當n=1時，a1=S1=2，滿足an=2n，故an=2n，則Sn+9=12n又y=x+9x在(1，3)上單調(diào)遞減，在(3，+∞)故當n=3時，n+9n取得最小值，即當n=3時，S例21解析若an+1=0，則an-an+1=0，即an=an+1=0，這與a1=1矛盾，所以an+1≠0，由an-an+1=2nanan+1，兩邊同時除以anan+1，得1an+1-1則1an-1an1an-1-1a…1a3-1a1a2-1上面的式子相加可得1an-1a1=2+22+23+…+2n-1=2(1-2n-1)1-2所以an=12n-1(n≥又a1=1符合該式，所以an=12例34解析因為a1+2a2+3a3+…+nan=n2an， ①所以a1+2a2+3a3+…+nan+(n+1)an+1=(n+1)2an+1， ②②-①得，(n+1)an+1=(n+1)2an+1-n2an?an+1所以an=a2a1·a3a2·a4a3·…·=12n(n≥2)又a1=12也符合，所以an=12所以a2025=4675跟蹤訓練2(1)an=n解析∵nan+1=2(a1+a2+…+an)， ①∴當n≥2時，(n-1)an=2(a1+a2+…+an-1)， ②①-②得nan+1-(n-1)an=2an，即nan+1=(n+1)an，∴an+1∴an=a1·a2a1·…·anan-1=1當n=1時，結(jié)論也成立.∴an=n.(2)D[凸四邊形有2條對角線，凸五邊形有5條對角線，則得到在凸n+1(n≥3)邊形的基礎(chǔ)上，多一個頂點，則多n條對角線，設(shè)凸n+2邊形有f(n+2)條對角線，所以f(n+2)-f(n+1)=n，則f(5)-f(4)=3，f(6)-f(5)=4，…，f(n+2)-f(n+1)=n，累加得f(n+2)-f(4)=3+4+…+n，則f(n+2)=2+3+4+…+n=(n-1)(n+2)當n=2時，f(4)=2也滿足此式，所以f(n+2)=(n-1)(n+2)2例4C[由{an}為遞增數(shù)列得，an+1-an=[2(n+1)2+λ(n+1)]-(2n2+λn)=λ+4n+2>0，n∈N*，則λ>-(4n+2)對于n∈N*恒成立，得λ>-6，可得λ≥0?λ>-6，反之不成立.]例5A[因為anan+1=an-1，an≠0，所以an+1=1-1又a1=-2，則a2=32，a3=13，所以數(shù)列{an}的周期為3，且a1a2a3=-1，設(shè)數(shù)列{an}的前n項積為Tn，則T2025=a1a2a3…a2025=(-1)675=-1.]例645解析方法一∵bn+1-bn=3n-42n∴當n≤3時，bn+1>bn，{bn}單調(diào)遞增，當n≥4時，bn+1<bn，{bn}單調(diào)遞減，故當n=4時，(bn)max=b4=58方法二令b即3解得103≤n≤又n∈N*，∴n=4，故當n=4時，(bn)max=b4=58跟蹤訓練3(1)C[因為a1=1，a2=5，an+2=an+1-an(n∈N*)，所以a3=a2