培優(yōu)點2著名的不等式題型一柯西不等式1.二維形式的柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(a，b，c，d∈R，當且僅當ad=bc時，等號成立).2.二維形式的柯西不等式的變式(1)a2+b2·c2+d2≥|ac+bd|(a，b，c，d∈(2)a2+b2·c2+d2≥|ac|+|bd|(a，b，c，d∈(3)(a+b)(c+d)≥(ac+bd)2(a，b，c，d≥0，當且僅當ad3.一般形式的柯西不等式設a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實數，則(a12+a22+…+an2)(b12(a1b1+a2b2+…+anbn)2，當且僅當bi=0(i=1，2，…，n)或存在一個實數k，使得ai=kbi(i=1，2，…，n)時，等號成立.4.二維形式的柯西不等式的向量形式|α·β|≤|α||β|(當且僅當β是零向量，或存在實數k，使α=kβ時，等號成立).例1已知x，y∈R，3x2+2y2≤6，求2x+y的最值.思維升華掌握柯西不等式及其變式的結構，常用巧拆常數、重新安排某些項的次序、改變結構、添項等方法.跟蹤訓練1設a=(1，-2)，b=(x，y)，若x2+y2=16，則a·b的最大值為.

題型二排序不等式和切比雪夫不等式1.排序不等式給定兩組實數a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn.如果a1≤a2≤…≤an；b1≤b2≤…≤bn.那么a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1bi1+a2bi2+…(反序和)(亂序和)≤a1b1+a2b2+…+anbn.(同序和)其中i1，i2，…，in是1，2，…，n的一個排列.該不等式所表達的意義是和式nΣj=1ajb2.切比雪夫不等式對于兩個實數數列{an}，{bn}，若有a1≥a2≥…≥an，b1≥b2≥…≥bn，則有1nnΣi=1aib類似地，若有a1≥a2≥…≥an，b1≤b2≤…≤bn，則有1nnΣi=1aib切比雪夫不等式證明：因為有a1≥a2≥…≥an，b1≥b2≥…≥bn，所以由排序不等式易知，最大的和為同序和，即a1b1+a2b2+…+anbn，于是有以下一系列共n個式子：a1b1+a2b2+…+anbn=a1b1+a2b2+…+anbn，a1b1+a2b2+…+anbn≥a1b2+a2b3+…+anb1，a1b1+a2b2+…+anbn≥a1b3+a2b4+…+anb2，…，a1b1+a2b2+…+anbn≥a1bn+a2b1+…+anbn-1，將這n個式子分別相加，同時對右式進行因式分解，整理可得1nnΣi=1aib反向情況可由最小的和為逆序和推得，得證.例2已知銳角三角形ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且A≥B≥C.設P=a+b+c2，Q=acosC+bcosB+ccosA，則P，A.P≥Q B.P=QC.P≤Q D.不能確定思維升華在比較兩組數積的和及兩組數的線性和的積的大小時，對于沒有給出大小關系的情況，要根據各字母在不等式中地位的對稱性，限定一種大小關系.跟蹤訓練2若A=x12+x22+…+xn2，B=x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正數，則AA.A>B B.A<B C.A≥B D.A≤B題型三權方和不等式1.二維形式：已知x，y，a，b均為正數，則有ax+by≥(a+b)2x+y(當且僅當2.一般形式：設ai，bi均為正數(i=1，2，…，n)，實數m>0，則nΣi=1aim+1bim≥(nΣi=1例3(1)若x>0，y>0，12x+y+3x+y=2，則(2)已知正數x，y，z滿足x+y+z=1，則x2y+2z+y2思維升華(1)權方和不等式的結構始終要求分子的次數比分母的次數多1，出現定值是解題的關鍵.(2)關于齊次分式，將分子變?yōu)槠椒绞?，再用權方和不等?(3)關于帶根號的式子，將分子變?yōu)?2次，分母為12跟蹤訓練3(1)已知正數x，y滿足x+y=1，則1x2+8y(2)已知a+b+c=1，且a，b，c>0，則2a+b+2b+cA.1 B.3 C.6 D.9題型四琴生不等式1.凹(凸)函數的定義設連續(xù)函數f(x)的定義域為[a，b]，對于區(qū)間[a，b]內任意兩點x1，x2，都有f

x1+x22≤f(x1)+f(x反之，若有f

x1+x22≥f(x1)+f(x22.琴生不等式(1)琴生不等式：若f(x)是區(qū)間[a，b]上的凹函數，則對任意的點x1，x2，…，xn∈[a，b]，有f

x1+x2+…+xnn≤1n[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)](當且僅當x1=x2(2)加權琴生不等式：若f(x)在[a，b]上為凹函數，則對任意xi∈[a，b]，λi>0(i=1，2，…，n)，nΣi=1λi=1，有f(nΣi=1λixi)≤nΣi=1λi說明：以上各不等式反向，即得凸函數的琴生不等式.例4半徑為R的圓的內接三角形的面積的最大值是.

思維升華琴生不等式在解決有關函數不等式時要注意構造函數，然后根據函數或函數曲線的凹凸性，利用琴生不等式證明或求最值.跟蹤訓練4設x1，x2，…，x2025>0，且x1+x2+…+x2025=1，則W=x11-x1+x21-x答案精析例1解方法一由柯西不等式得(2x+y)2≤[(3x)2+=(3x2+2y2)43+1當且僅當3x·12=2y·2即x=411于是2x+y的最大值為11，最小值為-11.方法二由柯西不等式得|2x+y|≤(=(3x2當且僅當3x·12=2y·2即x=411于是2x+y的最大值為11，最小值為-11.跟蹤訓練145解析∵a=(1，-2)，b=(x，y)，∴a·b=x-2y.由柯西不等式的向量形式可得[12+(-2)2](x2+y2)≥(x-2y)2，即5×16≥(x-2y)2，∴-45≤x-2y≤45，(*)當且僅當b=ka，即x=(*)式中右邊等號成立，或x=-(*)式中左邊等號成立，∴當x=455，y=-855時，a·b例2C[由題意知π2>A≥B≥C>0則a≥b≥c，cosA≤cosB≤cosC，則由排序不等式有Q=acosC+bcosB+ccosA≥acosB+bcosC+ccosA=R(2sinAcosB+2sinBcosC+2sinCcosA)，Q=acosC+bcosB+ccosA≥bcosA+ccosB+acosC=R(2sinBcosA+2sinCcosB+2sinAcosC)，兩式相加得Q=acosC+bcosB+ccosA≥12R(2sinAcosB+2sinBcosA+2sinBcosC+2sinCcosB2sinCcosA+2sinAcosC)=R[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(A+C)]=R(sinC+sinA+sinB)=a+b+跟蹤訓練2C[依序列{xn}的各項都是正數，不妨設0<x1≤x2≤…≤xn則x2，x3，…，xn，x1為序列{xn}的一個排列.由排序不等式，得x1x1+x2x2+…+xnxn≥x1x2+x2x3+…+xnx1，即x12+x22+…+xn2≥x1x2+x2x3+…+例3(1)132+2解析12x+y+3x+y=≥(1+23)即2≥13+43因為x>0，y>0，則6x+5y≥132+23當且僅當12x+即x=33-44，y=(2)1解析x2y+2z≥(x+y當且僅當xy+2z=y即x=y=z=13時取等號跟蹤訓練3(1)27解析1x2+8y2=13x2+23即x=13，y=23(2)D[∵a+b+c=1，∴2a+b+=21≥2×(當且僅當a=b=c=13時等號成立.例4334解析設☉O的內接三角形為△ABC.顯然當△ABC是銳角或直角三角形時，面積可以取得最大值(因為若△ABC是鈍角三角形，可將鈍角(不妨設為A)所對邊以圓心為對稱中心作中心對稱成為B'C'.因此，S△AB'C'>S△ABC).設∠AOB=2α，∠BOC=2β，∠COA=2γ，α+β+γ=π.則S△ABC=12R2(sin2α+sin2β+sin2γ)由討論知可設0<α，β，γ≤π2而y=sinx在(0，π]上是凸函數.則由琴生不等式知sin2≤