§2.9對(duì)數(shù)函數(shù)分值：90分一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共30分)1.函數(shù)y=1-xlgx的定義域?yàn)锳.(0，1] B.(0，1)C.(1，+∞) D.(0，1)∪(1，+∞)2.設(shè)a=log0.20.3，b=log23，c=log34，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.a>b>c B.c>b>aC.b>a>c D.b>c>a3.已知函數(shù)f(x)=loga(x-b)(a>0，且a≠1，a，b為常數(shù))的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的是()A.a>0，b<-1B.a>0，-1<b<0C.0<a<1，b<-1D.0<a<1，-1<b<04.若函數(shù)f(x)=log3ax(a>0，且a≠1)在[-1，2]上的值域?yàn)閇m，2]，則m的值為()A.-4或-1 B.0或-2C.-2或-1 D.-4或-25.(2024·新鄉(xiāng)模擬)已知函數(shù)f(x)=loga(3-x)+loga(x+1)(0<a<1)，若f(x)的最小值為-2，則a等于()A.13 B.33 C.16.若不等式(x-1)2<logax(a>0且a≠1)在x∈(1，2]內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.(1，2] B.(1，2)C.(1，2] D.(2，二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)7.已知函數(shù)y=logax與y=logb(-x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)y=ax與y=logbx的大致圖象可能是()ABCD8.已知函數(shù)f(x)=lg(x2-5x+4)，則下列結(jié)論正確的是()A.函數(shù)f(x)的定義域是RB.函數(shù)f(x)的值域是RC.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(4，+∞)D.不等式f(x)<1的解集是(-1，6)三、填空題(每小題5分，共10分)9.(2025·榆林模擬)函數(shù)f(x)=loga(2x-1)(a>0，且a≠1)恒過的定點(diǎn)是.

10.已知函數(shù)y=f(x)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x，使得f(-x)=-f(x)，則稱函數(shù)y=f(x)為定義域上的局部奇函數(shù).若函數(shù)f(x)=log3(x+m)是[-2，2]上的局部奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

四、解答題(共27分)11.(13分)已知函數(shù)f(x)=logax(a>0，且a≠1)，且函數(shù)的圖象過點(diǎn)(4，2).(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(6分)(2)若f(m2+m)<1成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.(7分)12.(14分)已知函數(shù)f(x)=log2(ax2+2x-1)，a∈R.(1)若f(x)過定點(diǎn)(1，2)，求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(6分)(2)若f(x)值域?yàn)镽，求a的取值范圍.(8分)13題5分，14題6分，共11分13.函數(shù)f(x)=x1-lnx，x∈(1，e)的最大值為()A.e2 B.e C.e1214.(多選)已知函數(shù)f(x)=ln(x2-2x+e2+1)，則下列結(jié)論正確的是()A.f(x)的最小值為2 B.?x∈R，f(e)+f(x)=4C.f(lg2)>f85 D.f(443-1)<f(答案精析1.B2.D3.D4.A[因?yàn)楹瘮?shù)y=log3x在(0，+∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)y=ax在[-1，2]上的值域?yàn)閇3m，9]，當(dāng)0<a<1時(shí)，y=ax在[-1，2]上單調(diào)遞減，則a-1=9，解得a=19則3m=a2=181，得m=-4當(dāng)a>1時(shí)，y=ax在[-1，2]上單調(diào)遞增，則a2=9，解得a=3或a=-3(舍去)，則3m=a-1=13，得m=-1綜上，m=-4或m=-1.]5.C[由3-x>0，x+1>0所以函數(shù)f(x)=loga(3-x)+loga(x+1)(0<a<1)的定義域?yàn)?-1，3)，因?yàn)閥=loga(3-x)+loga(x+1)=loga[(3-x)(x+1)]由外層函數(shù)y=logat(0<a<1)和內(nèi)層函數(shù)t=(3-x)(x+1)復(fù)合而成，當(dāng)-1<x<1時(shí)，內(nèi)層函數(shù)單調(diào)遞增，外層函數(shù)單調(diào)遞減，所以f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)1<x<3時(shí)，內(nèi)層函數(shù)單調(diào)遞減，外層函數(shù)單調(diào)遞減，所以f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)min=f(1)=loga4=-2，又因?yàn)?<a<1，所以a=12.6.B[若0<a<1，此時(shí)x∈(1，2]，logax<0，而(x-1)2>0，故(x-1)2<logax無解；若a>1，此時(shí)x∈(1，2]，logax>0，而(x-1)2>0，令f(x)=logax，g(x)=(x-1)2，畫出函數(shù)f(x)與g(x)的圖象，如圖，若不等式(x-1)2<logax在x∈(1，2]內(nèi)恒成立，則loga2>1，解得a∈(1，2).]7.AC[在函數(shù)y=logax的圖象上任取點(diǎn)(x，y)，則點(diǎn)(-x，-y)在y=logb(-x)的圖象上，即y=logax，-y=logbx，于是logbx=-loga當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)y=ax是R上的減函數(shù)，b>1，則y=logbx是(0，+∞)上的增函數(shù)，C符合，D不符合；當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y=ax是R上的增函數(shù)，0<b<1，則y=logbx是(0，+∞)上的減函數(shù)，A符合，B不符合.]8.BC[選項(xiàng)A，令x2-5x+4>0，解得x>4或x<1，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞，1)∪(4，+∞)，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，因?yàn)檎鏀?shù)x2-5x+4能取遍所有的正實(shí)數(shù)，所以函數(shù)f(x)的值域是R，故B正確；選項(xiàng)C，由A項(xiàng)可知，函數(shù)u=x2-5x+4在(4，+∞)上單調(diào)遞增，在(-∞，1)上單調(diào)遞減，y=lgu在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(4，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞，1)，故C正確；選項(xiàng)D，由f(x)=lg(x2-5x+4)<1=lg10，且y=lgu在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以0<x2-5x+4<10，解得-1<x<1或4<x<6，所以不等式f(x)<1的解集是(-1，1)∪(4，6)，故D錯(cuò)誤.]9.(1，0)10.(2，5]解析因?yàn)閒(x)=log3(x+m)是[-2，2]上的局部奇函數(shù)，所以x+m>0在[-2，2]上恒成立，所以m-2>0，即m>2，由局部奇函數(shù)的定義，存在x∈[-2，2]，使得log3(-x+m)=-log3(x+m)，即log3(-x+m)+log3(x+m)=log3(m2-x2)=0，所以存在x∈[-2，2]，使得m2-x2=1，即m2=x2+1，又因?yàn)閤∈[-2，2]，所以x2+1∈[1，5]，所以m2∈[1，5]，即m∈[-5，-1]∪[1，5]，綜上，m的取值范圍是(2，5].11.解(1)∵函數(shù)f(x)=logax的圖象過點(diǎn)(4，2)，∴l(xiāng)oga4=2，∴a2=4，∵a>0且a≠1，∴a=2，∴f(x)=log2x.(2)由(1)知f(x)=log2x，f(m2+m)<1?f(m2+m)<f(2)，∵f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，∴0<m2+m<2，∴-2<m<-1或0<m<1.∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|-2<m<-1或0<m<1}.12.解(1)由函數(shù)f(x)=log2(ax2+2x-1)過定點(diǎn)(1，2)，可得log2(a+1)=2，可得a+1=4，解得a=3，所以f(x)=log2(3x2+2x-1)，令3x2+2x-1>0，解得x<-1或x>13，即函數(shù)的定義域?yàn)?-∞，-1)∪1設(shè)g(x)=3x2+2x-1，則函數(shù)g(x)在(-∞，-1)上單調(diào)遞減，又由函數(shù)y=log2x在定義域上為增函數(shù)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)f(x)在(-∞，-1)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞，-1).(2)由函數(shù)f(x)=log2(ax2+2x-1)的值域?yàn)镽，即(0，+∞)為函數(shù)h(x)=ax2+2x-1值域的子集，當(dāng)a=0時(shí)，可得h(x)=2x-1，此時(shí)函數(shù)h(x)的值域?yàn)镽，符合題意；當(dāng)a>0時(shí)，則滿足Δ=22+4a≥0，解得a≥-1，所以a>0；當(dāng)a<0時(shí)，此時(shí)函數(shù)h(x)=ax2+2x-1的圖象開口向下，顯然不滿足題意，綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0，+∞).13.D[設(shè)y=f(x)=x1-lnx，x∈(1，e)，故lny=(1-lnx)lnx，x∈(1，e)，令t=lnx，x∈(1，e)，∴t∈(0，1)，則lny=-t2+t=-t-122+14，t∈(當(dāng)t=12時(shí)，lny=-t-122故y的最大值為e1即函數(shù)f(x)=x1-lnx，x∈(1，e)的最大值為e1414.AC[y=x2-2x+e2+1=(x-1)2+e2≥e2>0，其在(-∞，1)上單調(diào)遞減，在(1，+∞)上單調(diào)遞增，故f(x)=ln(x2-2x+e2+1)在(-