第3章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析3.1正弦量3.2正弦量的相量表示3.3電路基本定律的相量形式3.4復阻抗與復導納3.5正弦交流電路的相量分析法3.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率3.1正弦量正弦量：按正弦規(guī)律變化的電壓和電流。用小寫的u和i表示，代表電壓、電流的瞬時值。在電路圖上所標的方向是指它們的參考方向。正弦量瞬時值為正，表明其實際方向與參考方向一致；瞬時值為負，表明其實際方向與所選定的參考方向相反。3.1.1正弦量的三要素(1)幅值(振幅、最大值)Im(2)角頻率ω(3)初相位ψ單位：弧度/秒(rad/s)反映正弦量變化幅度的大小。相位變化的速度，反映正弦量變化快慢。t=0時的相位,反映正弦量的計時起點。i(t)=Imsin(wt+ψ

)同一個正弦量，計時起點不同，初相位不同。一般規(guī)定：|

ψ|。ψ=0ψ

=60

ψ=－60ψ>0，表示波形起點超前坐標原點。ψ<0，表示波形起點滯后坐標原點。例3-1已知工頻交流電流的最大值為12A，初相為45o，寫出它的解析式，求t=0.01s時電流的瞬時值。t=0.01s時，解：工頻交流電的角頻率為314rad/s，電流的解析式為例3-2在選定的參考方向下，已知正弦電壓和電流的解析式為試求兩個正弦量的三要素。電壓的振幅值Um=200V，角頻率ω=1000rad/s，初相ψ=-150?電流的振幅值Im=5A，角頻率ω=314rad/s，初相ψ=-120?。解：(1)

(2)

例3-3在選定參考方向下正弦量的波形如圖3-3所示，已知正弦量的頻率f=1000Hz，試寫出正弦量的解析式。解：正弦量的角頻率為由波形圖可得3.1.2同頻率正弦量的相位差等于初相位之差規(guī)定：|

φ|(180

)i1與i2的相位差為如果

=ψ1-ψ2>0則稱電流i1超前i2（或稱為電流i2滯后i1）如果

=ψ1-ψ2=π/2則稱電流i1與i2正交如果

=ψ1-ψ2=0則稱電流i1與i2同相位如果

=ψ1-ψ2=π則稱電流i1與i2反相例

求下列幾組正弦量的相位差，并說明超前、滯后關系。（3）（1）

（2）（1）

解：

（1）不在規(guī)定取值范圍，利用

2π進行調整，調整后相位差為

=120?電壓u1超前u2120?，或u2滯后u1120?。

（2）電流i滯后電壓u40?。i1的角頻率是ω，i2的角頻率是3ω，i1與i2不是同頻率正弦量，其相位差隨時間變化，求相位差沒有實際意義。（3）兩個正弦量進行相位比較時應滿足同頻率、同函數(shù)、同符號，且在主值范圍比較。3.1.3正弦量的有效值周期電流、電壓有效值定義R直流IR交流i電流有效值定義為有效值也稱均方根值物理意義設正弦電流表達式為代入上式得正弦電流有效值為說明，正弦電流的有效值等于最大值的同理，可得正弦電壓的有效值引入有效值后，正弦電流表達式也可寫為若一交流電壓有效值為U=220V，則其最大值為:Um

311V；U=380V，Um

537V。（1）工程上說的正弦電壓、電流一般指有效值，如設備銘牌額定值、電網的電壓等級等。但絕緣水平、耐壓值指的是最大值。因此，在考慮電器設備的耐壓水平時應按最大值考慮。（2）測量中，電磁式交流電壓、電流表讀數(shù)均為有效值。（3）區(qū)分電壓、電流的瞬時值、最大值、有效值的符號。注i、Im、I

例3-5一正弦電壓的初相為60°，最大值為311V，角頻率=314rad/s，試求它的有效值、解析式，并求t=0.003s時的瞬時值。解：Um=311V，有效值為則電壓的解析式為將t=0.003s代入，得小結1.正弦量的三要素2.同頻率正弦量的相位差3.周期性電流的有效值i=Imsin(wt+ψ)tiOψ/

TIm(1)幅值Im(2)角頻率w

(3)初相位

ψ等于初相位之差，規(guī)定：|

|

了解相位的超前滯后關系

3.2正弦量的相量表示3.2.1復數(shù)及運算規(guī)律復數(shù)A的表示形式代數(shù)形式：極坐標形式：式中a、b是復數(shù)A的實部和虛部；r、ψ是復數(shù)A的模和輻角；j是虛數(shù)單位，j2=1，或復數(shù)A的兩種表示形式可以通過以下計算相互轉換復數(shù)的運算(1)加減運算——采用代數(shù)形式A1A2ReIm0A1+A2圖解法兩復數(shù)相乘，將模相乘、輻角相加；復數(shù)相除，將模相除、輻角相減。(2)乘除運算——采用極坐標形式例

已知兩復數(shù)求（1）A+B，A-B；（2）AB，A/B。（2）將復數(shù)A、B變換成極坐標形式解：（1）3.2.2正弦量的相量表示在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，如果所有激勵都是同頻率的正弦量，則電路中的響應與激勵也是同頻率正弦量，此時電路中的響應只需確定兩個要素——幅值和初相位?！行е迪嗔肯嗔康哪１硎菊伊康挠行е迪嗔康姆潜硎菊伊康某跸辔弧畲笾迪嗔糠迪嗔亢陀行е迪嗔康年P系為相量和復數(shù)一樣，可以在復平面上用矢量表示，畫在復平面上表示相量的圖形稱為相量圖。必須注意只有相同頻率的正弦量才能畫在同一相量圖上，不同頻率的正弦量一般不能畫在一個相量圖上。另外，用復數(shù)表示正弦量時，復數(shù)與正弦量之間只是對應關系，不是相等關系。例3-8

已知正弦量寫出它們的相量形式，并作相量圖。相位關系為i超前u90?。解：有效值相量為例

已知同頻正弦電流相量為頻率f=50Hz，寫出它們的瞬時值表達式。先將電流相量寫成極坐標形式則瞬時值表達式為解：3.3電路基本定律的相量形式3.3.1基本元件電壓電流關系的相量形式1、電阻元件時域形式：相量關系：設有效值關系相位關系波形圖及相量圖：2、電感元件時域形式：設

有效值關系相位關系有效值關系相位關系感抗的物理意義：(1)表示限制電流的能力(2)感抗和頻率成正比；XL=L=2fL，稱為感抗，單位為(歐姆)感抗和感納:頻率越高，感抗就越大；直流電(f=0)，感抗為零，電感元件相當于短路。

BL=1/L=1/2fL，

感納，單位為S

相量關系：有效值關系相位關系波形圖及相量圖：例3-10已知一電感元件L=3H，接在的電源上，求（1）感抗；（2）電感元件電流i的表達式。（2）電壓相量為：電感電流表達式為：解：（1）電感元件的感抗為3、電容元件時域形式：設有效值關系相位關系有效值關系相位關系容抗和頻率成反比；容抗:頻率越高，容抗就越??；直流電(f=0)，容抗→∞，電容元件相當于開路。

XC=1/wC=1/2f

C，稱為容抗，單位為

(歐姆)相量關系：有效值關系相位關系波形圖及相量圖：或例3-11已知2μF電容兩端的電壓有效值為10V，初相為60

角頻率為1000rad/s。試求流過電容的電流，寫出其表達式。解：電壓的相量形式為：3.3.2基爾霍夫定律的相量形式霍夫電壓定律和電流定律的時域表達式為基爾霍夫電壓、電流定律的相量形式表明：在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，沿任一閉合回路繞行一周，各元件電壓相量的代數(shù)和為零；聯(lián)結在電路任一節(jié)點的各支路電流相量的代數(shù)和為零。例3-12如圖4.15所示各電路中，已知電流表A1、A2、A3的讀數(shù)都是10A，求電路中電流表A的讀數(shù)。解：設端電壓根據R、L、C元件電壓電流的相位關系有由KCL的相量形式，得電流表A的讀數(shù)為由KCL得電流表A的讀數(shù)為10A。端電壓3.4復阻抗和復導納3.4.1R、L、C串聯(lián)電路與復阻抗1、定義復阻抗Z簡稱阻抗，單位是歐姆（Ω）歐姆定律的相量形式阻抗模阻抗角由阻抗的定義和基本元件伏安關系的相量形式，可得單一元件R、L、C的阻抗分別為RLC2、R、L、C串聯(lián)電路的阻抗其中阻抗模阻抗角阻抗阻抗角當X>0時，

Z>0，u比i超前，電路的阻抗性質是電感性的；當X<0時，

Z<0，u比i滯后，電路的阻抗性質是電容性的；當X=0時，

Z=0，u、i同相，電路的阻抗性質是電阻性的。即串聯(lián)電路的等效阻抗等于各串聯(lián)阻抗之和阻抗串聯(lián)的分壓公式3、復阻抗串聯(lián)電路例3-13有一R、L、C串聯(lián)電路，其中R=30Ω，L=382mH，C=39.8μF，外加電壓試求（1）R、L、C串聯(lián)電路的等效阻抗Z，并確定電路的阻抗性質；（2）

并繪出相量圖解：（1）各元件阻抗電路為電感性的（2）例3-14兩個負載Z1=5+j5Ω和Z2=6-j8Ω相串聯(lián)，接在的電源上。試求等效阻抗Z電壓的相量形式為

電流相量為

電流的表達式為：

和電路電流i。解：等效阻抗3.4.2R、L、C并聯(lián)電路的導納1、定義單位：西門子（S）導納模導納角由導納的定義可得單一元件R、L、C的導納分別為RLC阻抗導納2、R、L、C并聯(lián)電路的導納其中導納Y的代數(shù)形式導納的電導分量導納的電納分量導納模導納角當

Y>0，i比u超前，電路的阻抗性質是電容性的；當

Y<0，i比u滯后，電路的阻抗性質是電感性的；當

Y=0，u、i同相，電路的阻抗性質是電阻性的。3、復導納的并聯(lián)并聯(lián)電路的等效導納等于各并聯(lián)導納之和。例3-15R、L、C并聯(lián)電路，已知端電壓R=25Ω，L=2mH，C=5uF，求Y、解：3.4.3復阻抗與復導納的等效變換1、極坐標形式的等效變換則

設2、代數(shù)形式的等效變換設其等效復導納其等效復阻抗設3.5正弦交流電路的相量分析法正弦穩(wěn)態(tài)電路相量分析法的一般步驟為：(1)畫電路的相量模型(2)根據KCL、KVL和元件VCR的相量形(3)根據計算得到的電壓、電流相量，寫各正弦電壓、電流用相量表示，RLC元件用相應的阻抗或導納表示。式，求解得到電壓電流的相量表達式；出相應的瞬時值表達式。例3-17電路如圖3-23所示，用網孔電流法求各支路電流。其中，R=5Ω，XL=5Ω，XC=2Ω。解：列出網孔電流方程其中代入數(shù)據得解方程組得各支路電流為例3-18用節(jié)點電壓法求圖3-23電路各支路電流。解：選擇節(jié)點b為參考節(jié)點其中將Y1、Y2、Y3代入節(jié)點電壓方程可計算出Uab。3.6正弦交流電路中的功率3.6.1瞬時功率瞬時功率為：設1、電阻元件的瞬時功率電阻元件的瞬時功率以電源頻率的兩倍作周期性變化，且大于或等于零。說明電阻是耗能元件，除了電流為零的瞬間，電阻總是吸收功率的。瞬時功率為：設2、電感元件的瞬時功率p>0，表示電感元件在吸收能量，并將之轉化為磁場能量加以儲存;p<0，表示電感元件在提供能量，把儲存在磁場中的能量釋放出來。表示電感是儲能元件，不消耗電能。瞬時功率為：設3、電容元件的瞬時功率p>0，表示電容元件在吸收能量，并將之轉化為電場能量加以儲存;p<0，表示電容元件在發(fā)出能量，把儲存在電場中的能量釋放出來。表示電容是儲能元件，不消耗電能。二端網絡吸收的瞬時功率為：

設4、二端網絡的瞬時功率為二端網絡的阻抗角u、i同號時，p>0，二端網絡吸收功率；吸收的功率大于發(fā)出的功率，是由于電阻元件的存在。

——直流分量二倍于電源頻率的正弦量

u、i異號時，p<0，二端網絡發(fā)出功率（儲能元件造成的）；——交流分量1、平均功率（有功功率）

——為電路的阻抗角，即電壓與電流相位差單位：瓦（W）cos

——為電路的功率因數(shù)。3.6.2平均功率和功率因數(shù)（1）電阻元件的平均功率電阻元件電壓與電流同相位，（2）電感或電容元件的平均功率電感元件電壓超前電流90°，即

=90

電容元件電壓滯后電流90°，即

=-90

例3-19R、L串聯(lián)電路中，已知f=50Hz，R=300Ω，L=1.65H，端電壓有效值U=220V。試求電路的功率因數(shù)和有功功率。解

：功率因數(shù)為電路中電流的有效值為阻抗角有功功率定義無功功率為:單位：乏（爾）（Var）

>0時，u超前i，電路是電感性的，無功功率Q>0；

<0時，u、i同相，電路是電阻性的，無功功率Q=0

<0時，u滯后i，電路是電容性的，無功功率Q