高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省徐州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.圓的圓心坐標(biāo)與半徑分別為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由圓，可得圓，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為．故選：D．2.已知直線l上的一點(diǎn)向右平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度后，仍在該直線上，則直線l的斜率為（）A. B.- C.2 D.-2【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，將點(diǎn)右平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到點(diǎn)仍在該直線上，則直線的斜率．故選：B．3.雙曲線的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由該雙曲線的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則，由可得，即有，解得.故選：B.4.若圓與圓有且只有三條公切線，則實數(shù)的值為（）A.6 B.4 C.6或 D.4或【答案】C【解析】由圓與圓有且只有三條公切線，故兩圓外切，故，即，解得.故選：C.5.以橢圓長軸的兩個端點(diǎn)為焦點(diǎn)，以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的雙曲線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】橢圓長軸的兩個端點(diǎn)為，，焦點(diǎn)為，，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，頂點(diǎn)為，，則雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且，，所以，所以雙曲線的方程為.故選：C.6.拋物線的焦點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最小值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】對于拋物線，則，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為.則焦點(diǎn)到圓心的距離.因為圓的半徑，焦點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最小值為焦點(diǎn)到圓心的距離減去圓的半徑，即.故選：B.7.已知橢圓C：上有一點(diǎn)A，它關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為B，點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，因為，所以根據(jù)橢圓的對稱性可知：四邊形為矩形，所以，在中，，根據(jù)橢圓定義可知：，所以，所以，，所以，所以離心率為故選：B．8.已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，且，線段的中點(diǎn)為，則直線的斜率的最大值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】依題意，拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，設(shè)的方程為：，顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線PQ的方程為：，點(diǎn)，由消去x得：，則有，由得：，解得，于是拋物線：的焦點(diǎn)，弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則點(diǎn)，顯然直線的斜率最大，必有，則直線的斜率，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以直線的斜率的最大值為.故選：A二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.已知直線與，則下列說法正確的是（）A.直線恒過第二象限 B.坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的最大距離為C.若，則 D.若，則與之間的距離為【答案】ABD【解析】對于A選項，將直線變形.令，解得，即直線恒過定點(diǎn)，該點(diǎn)在第二象限，所以直線恒過第二象限，A選項正確.對于B選項，因為直線恒過定點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的最大距離就是原點(diǎn)到定點(diǎn)的距離.根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，則，B選項正確.對于C選項，若，對于直線和.根據(jù)兩直線垂直的條件，可得，解得，C選項錯誤.對于D選項，若，則.由，可得，解得或.當(dāng)時，，，滿足.當(dāng)兩直線重合，兩平行直線，，根據(jù)兩平行直線間的距離公式，則，D選項正確.故選：ABD.10.拋物線的準(zhǔn)線為l，P為上的動點(diǎn)，過作圓的一條切線，切點(diǎn)為，過作的垂線，垂足為，則下列結(jié)論正確的是（）A.與圓相切 B.當(dāng)時，C.的最小值為 D.滿足的點(diǎn)有且僅有2個【答案】AD【解析】A選項，拋物線的準(zhǔn)線為，圓的圓心到直線的距離顯然是，等于圓的半徑，故準(zhǔn)線和圓相切，A選項正確；B選項，當(dāng)時，，此時，故或，當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，；故或，B選項錯誤；C選項，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時，等號成立，故的最小值為，C選項錯誤；D選項，設(shè)，由可得，又，又，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，，整理得，，則關(guān)于的方程有兩個解，即存在兩個這樣的點(diǎn)，D選項正確.故選：AD.11.造型為“”的曲線稱為雙紐線，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，與定點(diǎn)距離之積等于的動點(diǎn)的軌跡為雙紐線．記時的雙紐線為曲線，點(diǎn)是曲線上的一個動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值為4 B.點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是C.面積的最大值為2 D.若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則【答案】ACD【解析】設(shè)是曲線上任意一點(diǎn)，根據(jù)雙紐線的定義可得：，當(dāng)時，曲線的方程為，對于A：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為，故A正確；對于B：整理可得：，則，可得，解得，故B錯誤；對于C：，令，則，所以，所以當(dāng)時，，所以面積的最大值為，故C正確；對于D：若，則，其與矛盾，故不成立，故，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.直線分別交x軸和軸于A、兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則直線的方程為______.【答案】【解析】因A、兩點(diǎn)x軸和軸上，設(shè)，因是線段的中點(diǎn)，則，故直線的截距式方程為：.故答案為：.13.直線與圓相交于兩點(diǎn)，若，則____________．【答案】【解析】圓的圓心，，圓心到直線的距離，由圓的幾何性質(zhì)可得，即，整理得，即.故答案為:14.已知雙曲線上存在兩點(diǎn)M，N關(guān)于直線對稱，且MN的中點(diǎn)在拋物線上，則實數(shù)的值為_________．【答案】0或3【解析】因為M，N關(guān)于直線對稱，直線的斜率為，兩條垂直直線的斜率乘積為，所以直線MN的斜率.設(shè)直線MN的方程為，將其代入雙曲線可得.展開得到，即.設(shè)，，根據(jù)韋達(dá)定理，所以，則中點(diǎn)橫坐標(biāo).因為中點(diǎn)在直線上，所以.因為MN的中點(diǎn)在拋物線上，所以，解得或.當(dāng)時，中點(diǎn)為，因為中點(diǎn)在直線上，所以；當(dāng)時，中點(diǎn)為，在直線上，所以，解得.故實數(shù)的值為或.故答案為：或.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在下列所給的三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答．①與直線平行；②過點(diǎn)；③點(diǎn)到的距離為5．問題：已知直線過點(diǎn)，且_________．（1）求直線的一般式方程；（2）求圓關(guān)于直線對稱的圓的方程．解：（1）若選①，法一：因為直線的斜率為，直線與直線平行，所以直線的斜率為，直線的方程為，即．法二：因為直線與直線平行，故的方程可設(shè)為．又直線過點(diǎn)，則，即：．所以的方程．若選②，法一：因為直線過點(diǎn)及，所以直線的方程為，即；法二：因為直線過點(diǎn)及，所以直線的斜率．直線的方程為，即．若選③，法一：若直線斜率不存在，點(diǎn)到的距離為3，不合題意，斜率存在．設(shè)斜率為，其方程為，即，由得：．直線方程為．即：．法二：由于與之間距離恰為5，兩點(diǎn)連線的斜率為，故直線的斜率，直線方程為，即：；（2）圓心為，半徑為2；只要求圓心關(guān)于直線的對稱圓心，則，解得，即，所以圓的方程為：.16.已知的三個頂點(diǎn)分別為．（1）求的外接圓的方程；（2）設(shè)，若點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，試問：在平面上是否存在點(diǎn)，使得．若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．解：（1）法一：設(shè)圓的方程為，則，解得：，所以圓的方程為，即，法二：因為，所以，所以，所以，又因為，所以是等腰直角三角形，所以的圓心是的中點(diǎn)，即圓心，半徑，所以的方程為；（2）假設(shè)存在，對任意的都有，即：，化簡得：，又滿足，即，即：，所以，解得：，即存在滿足條件．17.已知點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn)，過向軸作垂線段，垂足為，記垂線段PM的中點(diǎn)為．（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）過點(diǎn)作直線與點(diǎn)的軌跡交于A，B兩點(diǎn)，且的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程．解：（1）設(shè)的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為又點(diǎn)在拋物線上，故，即（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組得：，有，則，解得：所以直線的方程為，即：18.已知圓和定點(diǎn)為圓上的任意一點(diǎn)，線段PA的垂直平分線與直線PC交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）若是曲線上的一點(diǎn)，過的直線與直線分別交于S，T兩點(diǎn)，且為線段ST的中點(diǎn)．（i）求證：直線l與曲線有且只有一個公共點(diǎn)；（ii）求的最小值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（1）解：為PA的垂直平分線上一點(diǎn)，則，則，點(diǎn)的軌跡為以A，C為焦點(diǎn)的雙曲線，且，故點(diǎn)的軌跡方程為；（2）（i）證明：設(shè)，直線是雙曲線的漸近線，如圖所示：則：①．②，①+②得，，①-②得，，則，得，由題可知，則，得，即，直線ST的方程為，即，又點(diǎn)在曲線上，則，得，將方程聯(lián)立，得，得，由可知方程有且僅有一個解，故直線與曲線有且僅有一個交點(diǎn)；（ii）由（i）聯(lián)立，可得，同理可得，，則，同理，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故的最小值為．19.定義：一般地，當(dāng)且時，我們把方程表示的橢圓稱為橢圓的相似橢圓．（1）求證：相似橢圓的離心率相等；（2）已知橢圓的相似橢圓為且．（i）直線與橢圓均有且只有一個公共點(diǎn)，且的斜率之積為，求證：的交點(diǎn)在橢圓的相似橢圓上；（ii）若為橢圓上異于左右頂點(diǎn)，的任意一點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求的值．（1）證明：橢圓的離心率為可化為其離心率為所以，即：相似橢圓的離心率相等．（2）（i）證明：設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，直線的方程為：與橢圓聯(lián)立得：，，即：亦即：①，用代換①的得：②，①式乘4+②式得：，兩邊同除得：，即點(diǎn)在橢圓上，亦即：在橢圓的相似橢圓上，（ii）解：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以，，設(shè)Px0,y0，易知直線，所以，因為Px0,y0在橢圓上，所以，即，所以設(shè)直線的斜率為，則直線PN的斜率為，所以直線的方程為．由，得，設(shè)Ax1,所以，由替換可得，所以．江蘇省徐州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.圓的圓心坐標(biāo)與半徑分別為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由圓，可得圓，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為．故選：D．2.已知直線l上的一點(diǎn)向右平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度后，仍在該直線上，則直線l的斜率為（）A. B.- C.2 D.-2【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，將點(diǎn)右平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到點(diǎn)仍在該直線上，則直線的斜率．故選：B．3.雙曲線的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由該雙曲線的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則，由可得，即有，解得.故選：B.4.若圓與圓有且只有三條公切線，則實數(shù)的值為（）A.6 B.4 C.6或 D.4或【答案】C【解析】由圓與圓有且只有三條公切線，故兩圓外切，故，即，解得.故選：C.5.以橢圓長軸的兩個端點(diǎn)為焦點(diǎn)，以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的雙曲線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】橢圓長軸的兩個端點(diǎn)為，，焦點(diǎn)為，，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，頂點(diǎn)為，，則雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且，，所以，所以雙曲線的方程為.故選：C.6.拋物線的焦點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最小值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】對于拋物線，則，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為.則焦點(diǎn)到圓心的距離.因為圓的半徑，焦點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最小值為焦點(diǎn)到圓心的距離減去圓的半徑，即.故選：B.7.已知橢圓C：上有一點(diǎn)A，它關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為B，點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，因為，所以根據(jù)橢圓的對稱性可知：四邊形為矩形，所以，在中，，根據(jù)橢圓定義可知：，所以，所以，，所以，所以離心率為故選：B．8.已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，且，線段的中點(diǎn)為，則直線的斜率的最大值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】依題意，拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，設(shè)的方程為：，顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線PQ的方程為：，點(diǎn)，由消去x得：，則有，由得：，解得，于是拋物線：的焦點(diǎn)，弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則點(diǎn)，顯然直線的斜率最大，必有，則直線的斜率，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以直線的斜率的最大值為.故選：A二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.已知直線與，則下列說法正確的是（）A.直線恒過第二象限 B.坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的最大距離為C.若，則 D.若，則與之間的距離為【答案】ABD【解析】對于A選項，將直線變形.令，解得，即直線恒過定點(diǎn)，該點(diǎn)在第二象限，所以直線恒過第二象限，A選項正確.對于B選項，因為直線恒過定點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的最大距離就是原點(diǎn)到定點(diǎn)的距離.根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，則，B選項正確.對于C選項，若，對于直線和.根據(jù)兩直線垂直的條件，可得，解得，C選項錯誤.對于D選項，若，則.由，可得，解得或.當(dāng)時，，，滿足.當(dāng)兩直線重合，兩平行直線，，根據(jù)兩平行直線間的距離公式，則，D選項正確.故選：ABD.10.拋物線的準(zhǔn)線為l，P為上的動點(diǎn)，過作圓的一條切線，切點(diǎn)為，過作的垂線，垂足為，則下列結(jié)論正確的是（）A.與圓相切 B.當(dāng)時，C.的最小值為 D.滿足的點(diǎn)有且僅有2個【答案】AD【解析】A選項，拋物線的準(zhǔn)線為，圓的圓心到直線的距離顯然是，等于圓的半徑，故準(zhǔn)線和圓相切，A選項正確；B選項，當(dāng)時，，此時，故或，當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，；故或，B選項錯誤；C選項，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時，等號成立，故的最小值為，C選項錯誤；D選項，設(shè)，由可得，又，又，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，，整理得，，則關(guān)于的方程有兩個解，即存在兩個這樣的點(diǎn)，D選項正確.故選：AD.11.造型為“”的曲線稱為雙紐線，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，與定點(diǎn)距離之積等于的動點(diǎn)的軌跡為雙紐線．記時的雙紐線為曲線，點(diǎn)是曲線上的一個動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值為4 B.點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是C.面積的最大值為2 D.若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則【答案】ACD【解析】設(shè)是曲線上任意一點(diǎn)，根據(jù)雙紐線的定義可得：，當(dāng)時，曲線的方程為，對于A：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為，故A正確；對于B：整理可得：，則，可得，解得，故B錯誤；對于C：，令，則，所以，所以當(dāng)時，，所以面積的最大值為，故C正確；對于D：若，則，其與矛盾，故不成立，故，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.直線分別交x軸和軸于A、兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則直線的方程為______.【答案】【解析】因A、兩點(diǎn)x軸和軸上，設(shè)，因是線段的中點(diǎn)，則，故直線的截距式方程為：.故答案為：.13.直線與圓相交于兩點(diǎn)，若，則____________．【答案】【解析】圓的圓心，，圓心到直線的距離，由圓的幾何性質(zhì)可得，即，整理得，即.故答案為:14.已知雙曲線上存在兩點(diǎn)M，N關(guān)于直線對稱，且MN的中點(diǎn)在拋物線上，則實數(shù)的值為_________．【答案】0或3【解析】因為M，N關(guān)于直線對稱，直線的斜率為，兩條垂直直線的斜率乘積為，所以直線MN的斜率.設(shè)直線MN的方程為，將其代入雙曲線可得.展開得到，即.設(shè)，，根據(jù)韋達(dá)定理，所以，則中點(diǎn)橫坐標(biāo).因為中點(diǎn)在直線上，所以.因為MN的中點(diǎn)在拋物線上，所以，解得或.當(dāng)時，中點(diǎn)為，因為中點(diǎn)在直線上，所以；當(dāng)時，中點(diǎn)為，在直線上，所以，解得.故實數(shù)的值為或.故答案為：或.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在下列所給的三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答．①與直線平行；②過點(diǎn)；③點(diǎn)到的距離為5．問題：已知直線過點(diǎn)，且_________．（1）求直線的一般式方程；（2）求圓關(guān)于直線對稱的圓的方程．解：（1）若選①，法一：因為直線的斜率為，直線與直線平行，所以直線的斜率為，直線的方程為，即．法二：因為直線與直線平行，故的方程可設(shè)為．又直線過點(diǎn)，則，即：．所以的方程．若選②，法一：因為直線過點(diǎn)及，所以直線的方程為，即；法二：因為直線過點(diǎn)及，所以直線的斜率．直線的方程為，即．若選③，法一：若直線斜率不存在，點(diǎn)到的距離為3，不合題意，斜率存在．設(shè)斜率為，其方程為，即，由得：．直線方程為．即：．法二：由于與之間距離恰為5，兩點(diǎn)連線的斜率為，故直線的斜率，直線方程為，即：；（2）圓心為，半徑為2；只要求圓心關(guān)于直線的對稱圓心，則，解得，即，所以圓的方程為：.16.已知的三個頂點(diǎn)分別為．（1）求的外接圓的方程；（2）設(shè)，若點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，試問：在平面上是否存在點(diǎn)，使得．若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．解：（1）法一：設(shè)圓的方程為，則，解得：，所以圓的方程為，即，法二：因為，所以，所以，所以，又因為，所以是等腰直角三角形，所以的圓心是的中點(diǎn)，即圓心，半徑，所以的方程為；（2）假設(shè)存在，對任意的都有，即：，化簡得：，又滿足，即，即：，所以，解得：，即存在滿足條件．17.已知點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn)，過向軸作垂線段，垂足為，記垂線段PM的中點(diǎn)為．（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）過點(diǎn)作直線與點(diǎn)的軌跡交于A，B兩點(diǎn)，且的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程．解：