高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期5月期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知函數(shù)，則的值為（）A.-1 B.3 C.8 D.16【答案】C【解析】根據(jù)題意，，則，由導(dǎo)數(shù)的定義知，．故選：C．2.已知數(shù)列滿足，，則（）A.14 B.13 C.12 D.11【答案】B【解析】由，，可得，，故選：B.3.在一次高臺跳水運動中，某運動員在運動過程中的重心相對于水面的高度（單位：）與起跳后的時間（單位：）存在函數(shù)關(guān)系，則該運動員在時的瞬時速度為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，令，得，即該運動員在時的瞬時速度為.故選：C.4.已知等比數(shù)列，且，，，則（）A.8 B.6 C.4 D.2【答案】A【解析】由條件可知，，且，，所以，.故選：A5.已知函數(shù)，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，所以在上單調(diào)遞增，所以，故選：D6.隨著大數(shù)據(jù)時代的到來，越來越多的網(wǎng)絡(luò)平臺開始使用推薦系統(tǒng)來給用戶提供更加個性化的服務(wù).某公司在研發(fā)平臺軟件的推薦系統(tǒng)時發(fā)現(xiàn)，當(dāng)收集的數(shù)據(jù)量為x（）萬條時，平臺軟件收入為元.已知每收集1萬條數(shù)據(jù)，公司需要花費成本100元，當(dāng)該軟件獲得最高收益時，收集的數(shù)據(jù)量應(yīng)為（）A.17萬條 B.16萬條 C.15萬條 D.14萬條【答案】C【解析】設(shè)收益為y元，則，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)y在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即當(dāng)收集的數(shù)據(jù)量為15萬條時，該軟件能獲得最高收益.故選：C.7.若數(shù)列滿足（且），，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得：，累計可得：，故選：D.8.已知函數(shù)，過點可向曲線引3條切線，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)切點為，由可得，所以切線的斜率為，所以切線方程為，由點切線上代入可得，即三次方程有三個不同的實數(shù)根，令，則，所以極值點為和，又極值點處函數(shù)值為，三次方程有三個不同實數(shù)根的充要條件是極值點處函數(shù)值異號，所以，解得.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增 B.函數(shù)至少有2個極值點C.函數(shù)在上單調(diào)遞減 D.函數(shù)在處取得極大值【答案】ABC【解析】根據(jù)的圖象可知：函數(shù)在上單調(diào)遞增，故A正確；根據(jù)的圖象可知：有三個解，其中和是導(dǎo)函數(shù)的變號零點，而是不是導(dǎo)函數(shù)的變號零點，故函數(shù)有2個極值點，故B正確；根據(jù)的圖象可知：在時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C正確；根據(jù)的圖象可知：有三個解，其中和是導(dǎo)函數(shù)的變號零點，而是不是導(dǎo)函數(shù)的變號零點，故函數(shù)在處無極值，故D錯誤；故選：ABC．10.給出定義：若函數(shù)在上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在上也可導(dǎo)，則稱在上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記．若在上恒成立，則稱在上是“下凸函數(shù)”．下列函數(shù)中在定義域上是“下凸函數(shù)”的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】A.定義域為，，，故A正確.B.定義域為，，，故B正確.C.定義域為，，，故C正確.D.定義域為，，，當(dāng)時，，故D錯誤.故選：ABC.11.已知數(shù)列的首項為1，且，數(shù)列的前n項積為，且不等式對都成立，則（）A. B.數(shù)列的前n項和為C. D.實數(shù)k的最小值為【答案】AD【解析】由，得，又，所以數(shù)列是首項為2，公比為4等比數(shù)列，所以，即，故A正確；數(shù)列的前n項和為，故B錯誤；因為，所以，故C錯誤；由，得，令，所以，，，所以數(shù)列單調(diào)遞減，當(dāng)時，的最大值為，所以，即實數(shù)k的最小值為，故D正確，故選：AD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的極小值點為________．【答案】【解析】由可得，令可得，即，解得，當(dāng)時，，即單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即單調(diào)遞增，所以是的極小值點.故答案：13.設(shè)為等差數(shù)列的前n項和，且，，則________．【答案】【解析】因為為等差數(shù)列的前n項和，則成等差數(shù)列，且，，則，則其公差為，所以，所以.故答案為：14.設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象上一點，為函數(shù)的圖象上一點，當(dāng)關(guān)于直線對稱時，稱是一組對稱點．若恰有3組對稱點，則的取值范圍是______．【答案】【解析】，設(shè)，則，所以，，所以，因為與的圖象若恰有3組對稱點，所以有三組解，可得即有三個解，令，即函數(shù)與的圖象有3個不同的交點，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，等比數(shù)列的公比為，，．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．解：（1）在等差數(shù)列中，，，公差，所以數(shù)列的通項公式為；在等比數(shù)列中，，由，得，解得，，而，因此，所以數(shù)列的通項公式是.（2）由（1）知，.16.已知函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行．（1）求的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的極值與最值．解：（1）由，得，所以．因為函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行，所以，即，解得．（2）由（1）得，令，解得，或．當(dāng)變化時，的變化情況如下表所示：100單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減因此，當(dāng)時，有極小值，且極小值為，當(dāng)時，有極大值，且極大值為．又，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為12，最小值為．17.已知數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.解：（1）由，又，可得數(shù)列是首項、公比均為3的等比數(shù)列，故，（2）由（1）可得，則，所以，兩式相減得，所以18.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：對且，都有．（1）解：因為，定義域為，所以．當(dāng)時，令，得或，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，令，得或，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）證明：不妨設(shè)，則，要證對，都有，只需證，即需證．構(gòu)造函數(shù)，則要證，需證函數(shù)在上為增函數(shù)，因為，所以函數(shù)在上為增函數(shù)成立，所以當(dāng)時，對且，都有．19.定義：已知數(shù)列的前n項和為，若對任意正整數(shù)n，存在，使得，則稱數(shù)列為“和完全平方數(shù)列”．（1）若數(shù)列滿足判斷是否為“和完全平方數(shù)列”．（2）若數(shù)列的前n項和（，且），那么是否存在λ，使得數(shù)列為“和完全平方數(shù)列”？若存在，求出所有的的值；若不存在，請說明理由．（3）若等差數(shù)列是“和完全平方數(shù)列”，求數(shù)列的通項公式．解：（1）為“和完全平方數(shù)列”，理由如下：設(shè)的前n項和為，顯然，滿足要求，當(dāng)時，，綜上，為“和完全平方數(shù)列”；（2）存在，使得為“和完全平方數(shù)列”，理由如下：當(dāng)時，，當(dāng)時，，設(shè)的前項和為，則，滿足要求，因為，且，所以，且，當(dāng)時，當(dāng)時，，此時，滿足為“和完全平方數(shù)列”，當(dāng)時，，故，不存在，使得，綜上，；（3）設(shè)等差數(shù)列公差為，前n項和為，因為為完全平方數(shù)，故，，，若，則，若對于任意的，均為完全平方數(shù)，則，否則假設(shè)為的素因數(shù)，且恰好整除，為正整數(shù)，若為奇數(shù)，則不是完全平方數(shù)，矛盾，若為偶數(shù)，取，則不是完全平方數(shù)，矛盾，若，則，若，取，則或，當(dāng)為偶數(shù)時，此時，均不是完全平方數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)時，取，，其中為奇數(shù)，故此時不是完全平方數(shù)，故，即，故，設(shè)，則，當(dāng)時，，又適合上式，即，.遼寧省2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期5月期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知函數(shù)，則的值為（）A.-1 B.3 C.8 D.16【答案】C【解析】根據(jù)題意，，則，由導(dǎo)數(shù)的定義知，．故選：C．2.已知數(shù)列滿足，，則（）A.14 B.13 C.12 D.11【答案】B【解析】由，，可得，，故選：B.3.在一次高臺跳水運動中，某運動員在運動過程中的重心相對于水面的高度（單位：）與起跳后的時間（單位：）存在函數(shù)關(guān)系，則該運動員在時的瞬時速度為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，令，得，即該運動員在時的瞬時速度為.故選：C.4.已知等比數(shù)列，且，，，則（）A.8 B.6 C.4 D.2【答案】A【解析】由條件可知，，且，，所以，.故選：A5.已知函數(shù)，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，所以在上單調(diào)遞增，所以，故選：D6.隨著大數(shù)據(jù)時代的到來，越來越多的網(wǎng)絡(luò)平臺開始使用推薦系統(tǒng)來給用戶提供更加個性化的服務(wù).某公司在研發(fā)平臺軟件的推薦系統(tǒng)時發(fā)現(xiàn)，當(dāng)收集的數(shù)據(jù)量為x（）萬條時，平臺軟件收入為元.已知每收集1萬條數(shù)據(jù)，公司需要花費成本100元，當(dāng)該軟件獲得最高收益時，收集的數(shù)據(jù)量應(yīng)為（）A.17萬條 B.16萬條 C.15萬條 D.14萬條【答案】C【解析】設(shè)收益為y元，則，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)y在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即當(dāng)收集的數(shù)據(jù)量為15萬條時，該軟件能獲得最高收益.故選：C.7.若數(shù)列滿足（且），，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得：，累計可得：，故選：D.8.已知函數(shù)，過點可向曲線引3條切線，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)切點為，由可得，所以切線的斜率為，所以切線方程為，由點切線上代入可得，即三次方程有三個不同的實數(shù)根，令，則，所以極值點為和，又極值點處函數(shù)值為，三次方程有三個不同實數(shù)根的充要條件是極值點處函數(shù)值異號，所以，解得.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增 B.函數(shù)至少有2個極值點C.函數(shù)在上單調(diào)遞減 D.函數(shù)在處取得極大值【答案】ABC【解析】根據(jù)的圖象可知：函數(shù)在上單調(diào)遞增，故A正確；根據(jù)的圖象可知：有三個解，其中和是導(dǎo)函數(shù)的變號零點，而是不是導(dǎo)函數(shù)的變號零點，故函數(shù)有2個極值點，故B正確；根據(jù)的圖象可知：在時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C正確；根據(jù)的圖象可知：有三個解，其中和是導(dǎo)函數(shù)的變號零點，而是不是導(dǎo)函數(shù)的變號零點，故函數(shù)在處無極值，故D錯誤；故選：ABC．10.給出定義：若函數(shù)在上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在上也可導(dǎo)，則稱在上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記．若在上恒成立，則稱在上是“下凸函數(shù)”．下列函數(shù)中在定義域上是“下凸函數(shù)”的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】A.定義域為，，，故A正確.B.定義域為，，，故B正確.C.定義域為，，，故C正確.D.定義域為，，，當(dāng)時，，故D錯誤.故選：ABC.11.已知數(shù)列的首項為1，且，數(shù)列的前n項積為，且不等式對都成立，則（）A. B.數(shù)列的前n項和為C. D.實數(shù)k的最小值為【答案】AD【解析】由，得，又，所以數(shù)列是首項為2，公比為4等比數(shù)列，所以，即，故A正確；數(shù)列的前n項和為，故B錯誤；因為，所以，故C錯誤；由，得，令，所以，，，所以數(shù)列單調(diào)遞減，當(dāng)時，的最大值為，所以，即實數(shù)k的最小值為，故D正確，故選：AD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的極小值點為________．【答案】【解析】由可得，令可得，即，解得，當(dāng)時，，即單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即單調(diào)遞增，所以是的極小值點.故答案：13.設(shè)為等差數(shù)列的前n項和，且，，則________．【答案】【解析】因為為等差數(shù)列的前n項和，則成等差數(shù)列，且，，則，則其公差為，所以，所以.故答案為：14.設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象上一點，為函數(shù)的圖象上一點，當(dāng)關(guān)于直線對稱時，稱是一組對稱點．若恰有3組對稱點，則的取值范圍是______．【答案】【解析】，設(shè)，則，所以，，所以，因為與的圖象若恰有3組對稱點，所以有三組解，可得即有三個解，令，即函數(shù)與的圖象有3個不同的交點，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，等比數(shù)列的公比為，，．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．解：（1）在等差數(shù)列中，，，公差，所以數(shù)列的通項公式為；在等比數(shù)列中，，由，得，解得，，而，因此，所以數(shù)列的通項公式是.（2）由（1）知，.16.已知函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行．（1）求的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的極值與最值．解：（1）由，得，所以．因為函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行，所以，即，解得．（2）由（1）得，令，解得，或．當(dāng)變化時，的變化情況如下表所示：100單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減因此，當(dāng)時，有極小值，且極小值為，當(dāng)時，有極大值，且極大值為．又，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為12，最小值為．17.已知數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.解：（1）由，又，可得數(shù)列是首項、公比均為3的等比數(shù)列，故，（2）由（1）可得，則，所以，兩式相減得，所以18.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：對且，都有．（1）解：因為，定義域為，所以．當(dāng)時，令，得或，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)