高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省聊城市2024-2025學年高二下學期期中教學質量檢測數(shù)學試題注意事項：1．答題前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、座號、考生號、縣區(qū)和科類填寫到答題卡和試卷規(guī)定的位置上．2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．3．第Ⅱ卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應的位置；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶．不按以上要求作答的答案無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1.小紅從6條不同的裙子，3雙不同的皮鞋中選擇一條裙子和一雙皮鞋搭配，則不同的搭配方案共有（）A.18種 B.9種 C.種 D.種【答案】A【解析】完成選一條裙子和一雙皮鞋搭配這件事，需要分兩步，第一步選裙子有種方法，第二步選皮鞋有種方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的搭配方案共有（種）.故選：A.2.已知函數(shù)，則（）A.-2 B.2 C.-1 D.1【答案】C【解析】由，可得，，則，則，故選：C3.二項式的展開式中常數(shù)項為（）A.160 B. C.60 D.【答案】C【解析】由二項式的展開式的通項為：；令得到；故二項式的展開式中常數(shù)項為.故選C.4.已知隨機變量X服從兩點分布，且，，則實數(shù)a的值為（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】因為隨機變量服從兩點分布，所以..整理得，解得，.當時，，；當時，，故不合題意.綜上，可得.故選：A.5.已知函數(shù)及其導函數(shù)均為R上的連續(xù)函數(shù)，且函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.是的極小值點 B.0是的極小值點C.是的最大值 D.不存在最大值【答案】C【解析】根據(jù)題意，當時，，則，所以在單調遞增，當時，，則，所以在單調遞減，當時，，則，所以在單調遞減，且，所以是的極大值點，A錯誤；0不是的極值點，B錯誤；是的最大值，C正確，D錯誤.故選：C6.某實驗室的6名成員分別參加物理、化學、生物學科的學術研討會，要求每個學科都有人參會，每人只能選擇一科參會，物理學科至少2人參會，則不同的參會方案共有（）A.630種 B.360種 C.240種 D.180種【答案】B【解析】根據(jù)題意，物理學科2人參會，則化學和生物分別有1人和3人，各2人或3人和1人參會，有種，物理學科3人參會，則化學和生物分別有1人和2人，或2人和1人參會，有種，物理學科4人參會，則化學和生物分別有1人參會，有種，所以共有種不同的參會方案.故選：B7.已知函數(shù)，若對任意的，當時，都有，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對任意的，當時，都有，即在上恒成立，設，則當時，恒有，即在上單調遞增，又，則在上恒成立，即在上恒成立，設，則，當時，，等號不會同時取到，所以，則在上單調遞減，所以，則，所以實數(shù)a的取值范圍為.故選：D8.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】注意到原式中每一項都可以寫成，由組合數(shù)的定義可得，所以原式，由二項式定理可知，，兩式相加再除以2可得，所以原式.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則一定是函數(shù)的極值點【答案】BC【解析】對于選項A：對于，其導數(shù)為，而不是，所以選項A錯誤.對于選項B：先將化簡，.對求導可得.將代入可得：，所以選項B正確.對于選項C：根據(jù)導數(shù)的定義,.對求導，根據(jù)復合函數(shù)求導公式，則.將代入可得.所以，選項C正確.對于選項D：若，不一定是函數(shù)的極值點.例如函數(shù)，對其求導可得，令，即，解得.當和時，，函數(shù)在上單調遞增，所以不是函數(shù)的極值點，選項D錯誤.故選：BC.10.盒子中有3個紅球，2個白球，5個藍球，從盒子中隨機依次不放回的取出兩個球，記事件A為“第一次取出的是紅球”，事件B為“第二次取出的是白球”，事件C為“第二次取出的是藍球”，則（）A. B.C D.【答案】ACD【解析】對于A，設事件與事件分別為“第一次取出的是白球”與“第一次取出的是藍球”，則，，，,，所以，故A正確；對于B，，故B不正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確.故選：ACD.11.已知，且，若，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】由題意知，且，，即，令，則，當時，，當時，，故在單調遞增，在單調遞減，，結合，，即，知，A正確；令，，由于，則，故，即，故在單調遞增，則，故，結合可得，由于，故，即，B錯誤；先證明不等式，設，則即，即證；設，則，由于，但等號取不到，故，則，則在上單調遞增，故，即成立，即成立，對于兩邊取自然對數(shù)，得，即，則，故，則，C正確；設，則，當時，，即在上單調遞增，故，則，D正確，故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.從1，2，3，4，5中任取3個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，則得到的三位數(shù)中偶數(shù)的個數(shù)為______．（用數(shù)字作答）【答案】24【解析】先填個位數(shù)，可以選或，有種方法，然后從剩下的四個數(shù)字中任選兩個分別填在十位以及百位上，則有種情況，由分步乘法計數(shù)原理可知，總情況數(shù)有種.故答案為：13.某小學生在一次手工課上，把體積為的橡皮泥，摔成表面中有正方形的一個長方體，再把該長方體的表面貼上彩色包裝紙，則所用彩色包裝紙的面積的最小值為________．【答案】216【解析】設長方體表面中的正方形邊長為，高為，則由題意得，得，所以長方體的表面積為，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以當時取得最小值為，所以所用彩色包裝紙的面積的最小值為216.故答案為：21614.已知函數(shù)，若關于x的不等式的解集中有且只有三個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】函數(shù)的定義域為，，當時，；當時，；即在上單調遞增，在上單調遞減，且，當時，；當時，；令，則不等式即為，故，即，即，則不等式的解集中有且只有三個整數(shù)，即為不等式的解集中有且只有三個整數(shù)，由于，且，結合題意可知要滿足題意，解集中的三個整數(shù)為2,，3，4，需有，即，即實數(shù)a的取值范圍是，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明．證明過程、演算步驟．15.在一次抽獎活動中，箱子里有9張不同的獎券，其中4張獎券對應有獎品，其余的無獎品．（1）從該箱子中依次不放回地抽取3張獎券，求第3次抽取才抽到對應有獎品的獎券的概率；（2）從該箱子中隨機抽取3張獎券，求抽到對應有獎品的獎券的數(shù)量X的分布列．解：（1）記事件A為“第3次抽取才抽到對應有獎品的獎券”，則由題意得．（2）X的可能取值為0，1，2，3．；；；．所以X的分布列為X0123P16.設函數(shù)．（1）若曲線在點處的切線方程為，求a，b的值；（2）討論的單調性．解：（1）函數(shù)，求導得，則，又曲線在點處的切線方程為，則，所以.（2）由（1）知，當，即時，由，得；由，得，在上單調遞增，在上單調遞減；當，即時，恒成立，在R上單調遞增；當，即時，由，得；由，得，在上單調遞增，在上單調遞減；所以當時，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減；當時，函數(shù)在上單調遞增；當時，函數(shù)上單調遞增；在上單調遞減.17.已知，，且．求：（1）m的值；（2）的值；（3）的值．解：（1）的展開式的通項公式為，令，得，所以，令，得，所以，所以，解得．（2）令，得，令，得，所以．（3）對兩邊分別求導，得，令，得．18.人工智能中的大語言模型Deepseek（以下簡稱Deepseek）能自動從多種來源收集和整合數(shù)據(jù)，從而大大提高工作效率，但一些重復性、規(guī)律性強的工作崗位可能會被替代，某單位因受到Deepseek的沖擊需要對所有員工重新考核競聘上崗，考核標準如下：進行三次理論考核，每位員工只有通過上一次考核才有資格參加下一次考核，否則直接淘汰,三次考核全部通過方可重新上崗.假設小李通過第一、二、三次理論考核的概率分別為p，，p，每次理論考核是否通過相互獨立，小李不會主動棄權．（1）若時，小李通過三次理論考核的概率最大，求的值；（2）當p為（1）中確定的時，公司為了照顧小李，答應當小李至少通過一次理論考核但未能重新上崗時，再給他一次實操考核的機會，若實操考核通過也可重新上崗；若實操考核未通過，則淘汰，已知小李通過實操考核的概率為．求：（?。┬±顓⒓涌己说拇螖?shù)的分布列；（ⅱ）小李重新上崗的概率．解：（1）小李通過三次理論考核的概率為，，則，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以當時，小李通過三次理論考核的概率最大．（2）由（1）知．（ⅰ）設小李參加的所有考核的次數(shù)為X，則X的可能取值為1，3，4，當小李第一次理論考核未通過時，，，當小李第二次理論考核未通過或通過三次理論考核時，，所以，當小李第三次理論考核未通過時，，，所以小李參加考核的次數(shù)X的分布列為X134P（ⅱ）小李第二次理論考核未通過但實操考核通過的概率為，小李第三次理論考核未通過但實操考核通過的概率為，小李通過三次理論考核的概率為，所以小李重新上崗的概率．19.若函數(shù)與在區(qū)間I上滿足:存在實數(shù)k,使得對任意，都有則稱k為和在I上的同步斜率,已知，，.（1）驗證1是否為和在上的同步斜率；（2）若1是和在區(qū)間上的同步斜率，求實數(shù)a的取值范圍；（3）證明：當且時，．解：（1）1是和在上的同步斜率，由題意知，只需證時，．令，則，所以時，，在上單調遞增，又因為，所以時，，即在上恒成立．令，則恒成立，所以在上單調遞減，又因為，所以，即，所以時，，即1是和在上的同步斜率．（2）由題意知恒成立，令，則在區(qū)間上恒成立，，當即時，在區(qū)間上恒成立，所以區(qū)間上單調遞增，Hx>H0=0當，即時，時，，在區(qū)間上單調遞減，所以存在，使，不符合條件．綜上，a的取值范圍為．（3）令，由（2）知在區(qū)間上恒成立，當且時，，令，得．所以即當且時，．山東省聊城市2024-2025學年高二下學期期中教學質量檢測數(shù)學試題注意事項：1．答題前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、座號、考生號、縣區(qū)和科類填寫到答題卡和試卷規(guī)定的位置上．2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．3．第Ⅱ卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應的位置；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶．不按以上要求作答的答案無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1.小紅從6條不同的裙子，3雙不同的皮鞋中選擇一條裙子和一雙皮鞋搭配，則不同的搭配方案共有（）A.18種 B.9種 C.種 D.種【答案】A【解析】完成選一條裙子和一雙皮鞋搭配這件事，需要分兩步，第一步選裙子有種方法，第二步選皮鞋有種方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的搭配方案共有（種）.故選：A.2.已知函數(shù)，則（）A.-2 B.2 C.-1 D.1【答案】C【解析】由，可得，，則，則，故選：C3.二項式的展開式中常數(shù)項為（）A.160 B. C.60 D.【答案】C【解析】由二項式的展開式的通項為：；令得到；故二項式的展開式中常數(shù)項為.故選C.4.已知隨機變量X服從兩點分布，且，，則實數(shù)a的值為（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】因為隨機變量服從兩點分布，所以..整理得，解得，.當時，，；當時，，故不合題意.綜上，可得.故選：A.5.已知函數(shù)及其導函數(shù)均為R上的連續(xù)函數(shù)，且函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.是的極小值點 B.0是的極小值點C.是的最大值 D.不存在最大值【答案】C【解析】根據(jù)題意，當時，，則，所以在單調遞增，當時，，則，所以在單調遞減，當時，，則，所以在單調遞減，且，所以是的極大值點，A錯誤；0不是的極值點，B錯誤；是的最大值，C正確，D錯誤.故選：C6.某實驗室的6名成員分別參加物理、化學、生物學科的學術研討會，要求每個學科都有人參會，每人只能選擇一科參會，物理學科至少2人參會，則不同的參會方案共有（）A.630種 B.360種 C.240種 D.180種【答案】B【解析】根據(jù)題意，物理學科2人參會，則化學和生物分別有1人和3人，各2人或3人和1人參會，有種，物理學科3人參會，則化學和生物分別有1人和2人，或2人和1人參會，有種，物理學科4人參會，則化學和生物分別有1人參會，有種，所以共有種不同的參會方案.故選：B7.已知函數(shù)，若對任意的，當時，都有，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對任意的，當時，都有，即在上恒成立，設，則當時，恒有，即在上單調遞增，又，則在上恒成立，即在上恒成立，設，則，當時，，等號不會同時取到，所以，則在上單調遞減，所以，則，所以實數(shù)a的取值范圍為.故選：D8.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】注意到原式中每一項都可以寫成，由組合數(shù)的定義可得，所以原式，由二項式定理可知，，兩式相加再除以2可得，所以原式.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則一定是函數(shù)的極值點【答案】BC【解析】對于選項A：對于，其導數(shù)為，而不是，所以選項A錯誤.對于選項B：先將化簡，.對求導可得.將代入可得：，所以選項B正確.對于選項C：根據(jù)導數(shù)的定義,.對求導，根據(jù)復合函數(shù)求導公式，則.將代入可得.所以，選項C正確.對于選項D：若，不一定是函數(shù)的極值點.例如函數(shù)，對其求導可得，令，即，解得.當和時，，函數(shù)在上單調遞增，所以不是函數(shù)的極值點，選項D錯誤.故選：BC.10.盒子中有3個紅球，2個白球，5個藍球，從盒子中隨機依次不放回的取出兩個球，記事件A為“第一次取出的是紅球”，事件B為“第二次取出的是白球”，事件C為“第二次取出的是藍球”，則（）A. B.C D.【答案】ACD【解析】對于A，設事件與事件分別為“第一次取出的是白球”與“第一次取出的是藍球”，則，，，,，所以，故A正確；對于B，，故B不正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確.故選：ACD.11.已知，且，若，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】由題意知，且，，即，令，則，當時，，當時，，故在單調遞增，在單調遞減，，結合，，即，知，A正確；令，，由于，則，故，即，故在單調遞增，則，故，結合可得，由于，故，即，B錯誤；先證明不等式，設，則即，即證；設，則，由于，但等號取不到，故，則，則在上單調遞增，故，即成立，即成立，對于兩邊取自然對數(shù)，得，即，則，故，則，C正確；設，則，當時，，即在上單調遞增，故，則，D正確，故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.從1，2，3，4，5中任取3個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，則得到的三位數(shù)中偶數(shù)的個數(shù)為______．（用數(shù)字作答）【答案】24【解析】先填個位數(shù)，可以選或，有種方法，然后從剩下的四個數(shù)字中任選兩個分別填在十位以及百位上，則有種情況，由分步乘法計數(shù)原理可知，總情況數(shù)有種.故答案為：13.某小學生在一次手工課上，把體積為的橡皮泥，摔成表面中有正方形的一個長方體，再把該長方體的表面貼上彩色包裝紙，則所用彩色包裝紙的面積的最小值為________．【答案】216【解析】設長方體表面中的正方形邊長為，高為，則由題意得，得，所以長方體的表面積為，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以當時取得最小值為，所以所用彩色包裝紙的面積的最小值為216.故答案為：21614.已知函數(shù)，若關于x的不等式的解集中有且只有三個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】函數(shù)的定義域為，，當時，；當時，；即在上單調遞增，在上單調遞減，且，當時，；當時，；令，則不等式即為，故，即，即，則不等式的解集中有且只有三個整數(shù)，即為不等式的解集中有且只有三個整數(shù)，由于，且，結合題意可知要滿足題意，解集中的三個整數(shù)為2,，3，4，需有，即，即實數(shù)a的取值范圍是，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明．證明過程、演算步驟．15.在一次抽獎活動中，箱子里有9張不同的獎券，其中4張獎券對應有獎品，其余的無獎品．（1）從該箱子中依次不放回地抽取3張獎券，求第3次抽取才抽到對應有獎品的獎券的概率；（2）從該箱子中隨機抽取3張獎券，求抽到對應有獎品的獎券的數(shù)量X的分布列．解：（1）記事件A為“第3次抽取才抽到對應有獎品的獎券”，則由題意得．（2）X的可能取值為0，1，2，3．；；；．所以X的分布列為X0123P16.設函數(shù)．（1）若曲線在點處的切線方程為，求a，b的值；（2）討論的單調性．解：（1）函數(shù)，求導得，則，又曲線在點處的切線方程為，則，所以.（2）由（1）知，當，即時，由，得；由，得，在上單調遞增，在上單調遞減；當，即時，恒成立，在R上單調遞增；當，即時，由，得；由，得，在上單調遞增，在上單調遞減；所以當時，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減；當時，函數(shù)在上單調遞增；當時，函數(shù)上單調遞增；在上單調遞減.17.已知，，且．求：（1）m的值；（2）的值；（3）的值．解：（1）的展開式的通項公式為，令，得，所以，令，得，所以，所以，解得．（2）令，得，令，得，所以．（3）對兩邊分別求導，得，令，得．18.人工智能中的大語言模型Deepseek（以下簡稱Deepseek）能自動從多種來源收集和整合數(shù)據(jù)，從而大大提高工作效率，但一些重復性、規(guī)律性強的工作崗位可能會被替代，某單位因受到Deepseek的沖擊需要對所有員工重新考核競聘上崗，考核標準如下：進行三次理論考核，每位員工只有通過上