高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省泰安市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（B卷）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1.直線在軸上的截距是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】對于直線，它在軸上的截距為.故選：A.2.直線的傾斜角為（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】C【解析】由題意得，，即直線的斜率為，所以直線的傾斜角的正切值為，則直線的傾斜角為.故選：C.3.已知點(diǎn)沿著向量的方向移動到點(diǎn)Q，且，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè),，則，由得，解得或（舍），∴，∴，∴，即.故選：C.4.已知圓，則過點(diǎn)的圓C的切線方程為（）A. B.或C. D.或【答案】D【解析】，則圓心坐標(biāo)為，半徑為2，由于，可知點(diǎn)在圓外，當(dāng)切線斜率不存在時，此時切線方程為，符合題意，當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程為，即，則，解得，此時直線方程為，即.綜上所述，切線方程為：或.故選：D.5.已知正方體中，，分別為上底面和下底面的中心，則下列與和共面的向量是（）A B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，不妨設(shè)正方體的棱長為2，則,0,，,0,，,0,，,2,，,2,，,2,，,1,，,1,所以，，設(shè)與和均平行的平面的法向量為,,，則有，令，則,1,，對于A，，則，所以與和共面，故A正確；對于B，，則，所以不與和共面，故B錯誤；對于C，，則，所以不與和共面，故C錯誤；對于D，，則，所以不與和共面，故D錯誤．故選：A．6.已知直線與直線關(guān)于點(diǎn)對稱，則恒過的定點(diǎn)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直線的方程可化為，由得，所以，直線過定點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，因此，直線恒過的定點(diǎn).故選：C.7.已知正三棱柱的底面邊長為1，側(cè)棱長為2，D為的中點(diǎn)，則與平面所成的角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】取中點(diǎn)，則，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，∴，由圖可知，平面法向量為.設(shè)與平面所成的角為，則，故與平面所成的角的正弦值為.故選：B.8.已知點(diǎn)在直線上，若以P為圓心，以3為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，即，則，因?yàn)閳A可化為，所以圓A的圓心為，半徑為，因?yàn)橐訮為圓心，以3為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，所以，即，即，解得，則，即，則.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知直線，直線，若或，則a的值可能為（）A.4 B. C. D.1【答案】BC【解析】對于直線，直線，若，則，所以，解得，故B正確；若，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足要求，故C正確；由上述解析可知AD錯誤.故選：BC.10.已知圓，則（）A.點(diǎn)在圓內(nèi)B.若點(diǎn)在圓上，則的最大值為C.若圓上恰有三個點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)m的值為D.若點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)在圓上，，則的最小值為【答案】BCD【解析】對于A，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓外，故A錯誤；對于B，因?yàn)閳A，可化為，所以圓心，半徑為，設(shè)，則，又點(diǎn)在圓上，所以直線與圓有交點(diǎn)，即，解得，所以的最大值為，故B正確；因?yàn)閳A上恰有三個點(diǎn)到直線的距離為1，而圓的半徑為，所以圓心到直線的距離為1，即，解得，故C正確；對于D，設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，則，則，而的最小值為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線，且在線段時，等號成立，則的最小值為.故選：BCD.11.在直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，且滿足，若點(diǎn)P滿足，其中，，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，三棱錐的體積為定值B.當(dāng)時，的面積S的最大值為C當(dāng)時，有且僅有一個點(diǎn)P，使得D.當(dāng)時，有且僅有一個點(diǎn)P，使得平面【答案】AC【解析】由題意得，.∵，平面，平面，，∴平面，∵，∴平面.由得點(diǎn)在四邊形內(nèi)（包含邊界）.以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，∴，∴，由得，.A.當(dāng)時，，此時點(diǎn)到距離為，故，為定值，選項(xiàng)A正確.B.當(dāng)時，，，當(dāng)時，，由平面，平面，得，∴，最大值為，選項(xiàng)B錯誤.C.當(dāng)時，，由得，，故有且僅有一個點(diǎn)P，使得，選項(xiàng)C正確.D.當(dāng)時，，由題意得，四邊形為正方形，故，要使平面，需，∵，∴不成立，選項(xiàng)D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若向量，，則______．【答案】6【解析】∵，，∴，∴.故答案為：6.13.已知在長方體中，，，則到平面的距離為______．【答案】1【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則，可得，設(shè)平面的一個法向量為，可得，令，則，即，又，所以到平面距離為.故答案為：114.已知，，點(diǎn)C，D滿足，，則D點(diǎn)的軌跡方程為______________.【答案】【解析】依題意，設(shè)，又，，則，，，因?yàn)?，所以，則，故，因?yàn)?，所以，所以，則，所以D點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）求過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程；（2）求的面積．解：（1）由得，即點(diǎn).因?yàn)樗笾本€與直線平行，所以，所求直線斜率為，故所求直線方程為，即.（2）直線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，點(diǎn)到的距離，所以，的面積.16.已知點(diǎn)，，點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為C.（1）求的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線被圓E截得的弦長為2，求直線l的方程.解：（1）依題意，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，所以，解得，故，設(shè)的外接圓的一般方程為，則，解得，則圓的一般方程為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知，圓的圓心為，半徑為，因?yàn)橹本€被圓截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離為，當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為，易知滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，則，解得，此時的方程為，即綜上，所求直線的方程為或.17.如圖，在三棱錐中，，，M在線段上，且，N為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求異面直線，所成角的余弦值.（1）證明：連接，如圖，，N為的中點(diǎn).，，又平面，，平面，由平面，所以；（2）解：取的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接，如圖，則，異面直線，所成的角為或其補(bǔ)角，由題意，，，，所以，又，,所以，則在中，，即異面直線，所成角余弦值為.18.已知圓過點(diǎn)，圓心在直線上，且圓與直線相切．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)為直線上的動點(diǎn)，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，求四邊形面積的最小值，并求出此時點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）因?yàn)閳A的圓心在直線上，設(shè)圓心為，根據(jù)題意可得，即，解得，故圓心為，該圓的半徑為，因此，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因?yàn)?、都與圓相切，由切線長定理可得，又因?yàn)?，，則，且，，所以，四邊形面積，當(dāng)時，取最小值，則四邊形面積最小，因?yàn)橹本€的斜率為，則直線的斜率為，所以，直線的方程為，即，由得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，此時，則四邊形面積的最小值為.19.如圖，在四面體中，平面，M，P分別是線段，的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段上，且.（1）求證：平面；（2）當(dāng)，時，求平面與平面夾角的余弦值；（3）在（2）的條件下，若為內(nèi)的動點(diǎn)，平面，且與平面所成的角最大，試確定點(diǎn)G的位置.（1）證明：取BD中點(diǎn)，連接PO，是BM的中點(diǎn)，，且，在線段CD上取點(diǎn)，使，連接OF，QF，，，且，，四邊形POFQ為平行四邊形，，又平面平面，平面.解：（2），則，，取BD中點(diǎn)，則，又平面，平面BCD，以為原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，則，，，，所以，故，易知平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，則，，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.（3）由（2）知為BD中點(diǎn)，為AD中點(diǎn)，連接OM，，點(diǎn)為內(nèi)動點(diǎn)且平面QGM，又平面ABD，平面平面，，故點(diǎn)在OM上，設(shè)，又，，，則，，易知平面的一個法向量為，設(shè)QG與平面所成角為，則最大時，最大，，所以當(dāng)時，最大，此時最大，即當(dāng)點(diǎn)位于中位線靠近的八等分點(diǎn)的第3個點(diǎn)處時，QG與平面所成角最大.山東省泰安市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（B卷）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1.直線在軸上的截距是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】對于直線，它在軸上的截距為.故選：A.2.直線的傾斜角為（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】C【解析】由題意得，，即直線的斜率為，所以直線的傾斜角的正切值為，則直線的傾斜角為.故選：C.3.已知點(diǎn)沿著向量的方向移動到點(diǎn)Q，且，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè),，則，由得，解得或（舍），∴，∴，∴，即.故選：C.4.已知圓，則過點(diǎn)的圓C的切線方程為（）A. B.或C. D.或【答案】D【解析】，則圓心坐標(biāo)為，半徑為2，由于，可知點(diǎn)在圓外，當(dāng)切線斜率不存在時，此時切線方程為，符合題意，當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程為，即，則，解得，此時直線方程為，即.綜上所述，切線方程為：或.故選：D.5.已知正方體中，，分別為上底面和下底面的中心，則下列與和共面的向量是（）A B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，不妨設(shè)正方體的棱長為2，則,0,，,0,，,0,，,2,，,2,，,2,，,1,，,1,所以，，設(shè)與和均平行的平面的法向量為,,，則有，令，則,1,，對于A，，則，所以與和共面，故A正確；對于B，，則，所以不與和共面，故B錯誤；對于C，，則，所以不與和共面，故C錯誤；對于D，，則，所以不與和共面，故D錯誤．故選：A．6.已知直線與直線關(guān)于點(diǎn)對稱，則恒過的定點(diǎn)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直線的方程可化為，由得，所以，直線過定點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，因此，直線恒過的定點(diǎn).故選：C.7.已知正三棱柱的底面邊長為1，側(cè)棱長為2，D為的中點(diǎn)，則與平面所成的角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】取中點(diǎn)，則，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，∴，由圖可知，平面法向量為.設(shè)與平面所成的角為，則，故與平面所成的角的正弦值為.故選：B.8.已知點(diǎn)在直線上，若以P為圓心，以3為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，即，則，因?yàn)閳A可化為，所以圓A的圓心為，半徑為，因?yàn)橐訮為圓心，以3為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，所以，即，即，解得，則，即，則.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知直線，直線，若或，則a的值可能為（）A.4 B. C. D.1【答案】BC【解析】對于直線，直線，若，則，所以，解得，故B正確；若，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足要求，故C正確；由上述解析可知AD錯誤.故選：BC.10.已知圓，則（）A.點(diǎn)在圓內(nèi)B.若點(diǎn)在圓上，則的最大值為C.若圓上恰有三個點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)m的值為D.若點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)在圓上，，則的最小值為【答案】BCD【解析】對于A，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓外，故A錯誤；對于B，因?yàn)閳A，可化為，所以圓心，半徑為，設(shè)，則，又點(diǎn)在圓上，所以直線與圓有交點(diǎn)，即，解得，所以的最大值為，故B正確；因?yàn)閳A上恰有三個點(diǎn)到直線的距離為1，而圓的半徑為，所以圓心到直線的距離為1，即，解得，故C正確；對于D，設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，則，則，而的最小值為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線，且在線段時，等號成立，則的最小值為.故選：BCD.11.在直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，且滿足，若點(diǎn)P滿足，其中，，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，三棱錐的體積為定值B.當(dāng)時，的面積S的最大值為C當(dāng)時，有且僅有一個點(diǎn)P，使得D.當(dāng)時，有且僅有一個點(diǎn)P，使得平面【答案】AC【解析】由題意得，.∵，平面，平面，，∴平面，∵，∴平面.由得點(diǎn)在四邊形內(nèi)（包含邊界）.以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，∴，∴，由得，.A.當(dāng)時，，此時點(diǎn)到距離為，故，為定值，選項(xiàng)A正確.B.當(dāng)時，，，當(dāng)時，，由平面，平面，得，∴，最大值為，選項(xiàng)B錯誤.C.當(dāng)時，，由得，，故有且僅有一個點(diǎn)P，使得，選項(xiàng)C正確.D.當(dāng)時，，由題意得，四邊形為正方形，故，要使平面，需，∵，∴不成立，選項(xiàng)D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若向量，，則______．【答案】6【解析】∵，，∴，∴.故答案為：6.13.已知在長方體中，，，則到平面的距離為______．【答案】1【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則，可得，設(shè)平面的一個法向量為，可得，令，則，即，又，所以到平面距離為.故答案為：114.已知，，點(diǎn)C，D滿足，，則D點(diǎn)的軌跡方程為______________.【答案】【解析】依題意，設(shè)，又，，則，，，因?yàn)?，所以，則，故，因?yàn)?，所以，所以，則，所以D點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）求過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程；（2）求的面積．解：（1）由得，即點(diǎn).因?yàn)樗笾本€與直線平行，所以，所求直線斜率為，故所求直線方程為，即.（2）直線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，點(diǎn)到的距離，所以，的面積.16.已知點(diǎn)，，點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為C.（1）求的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線被圓E截得的弦長為2，求直線l的方程.解：（1）依題意，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，所以，解得，故，設(shè)的外接圓的一般方程為，則，解得，則圓的一般方程為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知，圓的圓心為，半徑為，因?yàn)橹本€被圓截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離為，當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為，易知滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，則，解得，此時的方程為，即綜上，所求直線的方程為或.17.如圖，在三棱錐中，，，M在線段上，且，N為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求異面直線，所成角的余弦值.（1）證明：連接，如圖，，N為的中點(diǎn).，，又平面，，平面，由平面，所以；（2）解：取的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接，如圖，則，異面直線，所成的角為或其補(bǔ)角，由題意，，，，所以，又，,所以，則在中，，即異面直線，所成角余弦值為.18.已知圓過點(diǎn)，圓心在直線上