高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省成都市蓉城聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)向量，，且，則的值為（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】由，可得：，即，所以，.故選：A2.下列函數(shù)中，以2為最小正周期且是偶函數(shù)的為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，故A不符題意；對(duì)于B，函數(shù)的最小正周期，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，故B符合題意；對(duì)于C，因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，故C不符題意；對(duì)于D，函數(shù)的最小正周期，故D不符題意.故選：B.3.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得，即.故選：D.4.的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，則（）A.角為直角 B.角為銳角C.角為鈍角 D.角為鈍角【答案】C【解析】由三點(diǎn)坐標(biāo)易得：，所以，又為三角形內(nèi)角，所以角為鈍角，所以ABD錯(cuò)，C對(duì)，故選：C5.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，解得，所以.故選：C.6.某同學(xué)坐旋轉(zhuǎn)摩天輪時(shí)距地面的高度與時(shí)間的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：03691215182124695.93696.136用函數(shù)模型近似刻畫與之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，則該同學(xué)在第25秒時(shí)距地面的高度約為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知最大高度為9m，最小高度為3m，不妨取，因此可得，解得；數(shù)據(jù)完成一個(gè)周期用時(shí)為12秒，因此周期，可得；因此函數(shù)模型為，代入，可得.故選：A7.在中，，，且，，則的值為（）A.2 B.3 C. D.【答案】D【解析】由，得，即，即，所以，又為公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，且為的中點(diǎn)，由，得，所以，又為公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，且，由，，得，，則.故選：D.8.已知函數(shù)，對(duì)任意都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對(duì)任意都有恒成立，只需要即可，只需要即可，，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，即?shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列計(jì)算結(jié)果正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸方程為C.若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為D.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱且在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，則的值為4【答案】BCD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以不是函?shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以是函?shù)的圖象的一條對(duì)稱軸，故B正確；對(duì)于C，由，得，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，故C正確；對(duì)于D，由，得，因?yàn)樵趨^(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，所以，解得，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以，解得，綜上所述，，故D正確.故選：BCD.11.下列命題為假命題的是（）A.若函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則B.在銳角中，角的對(duì)邊分別為，，，若，，則的面積的取值范圍為C.在中，若，則角的最大值為D.在中，若，，直線與交于點(diǎn)，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以函?shù)是以為周期的周期函數(shù)，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋?，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，由正弦定理得，則，所以，所以，則，則，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以角的最大值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，由，，得，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，解得，所以，故D錯(cuò)誤.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.如圖，，且，則實(shí)數(shù)________.【答案】【解析】由，得，所以.故答案為：.13.已知海上島在島的北偏東方向距離島5海里處，島在島的北偏西方向，島與島相距7海里，則島與島的距離為________海里.【答案】【解析】如圖，由題意得，由余弦定理得，即，解得（舍去），所以島與島的距離為海里.故答案為：.14.函數(shù)的值域?yàn)開_______.【答案】【解析】，令，則，故，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）已知向量，，若，求實(shí)數(shù)的值；（2）已知向量，滿足，求與的夾角的大小.解：（1），由，可得：，解得：，（2）由，可得：，可得：，所以，即，，設(shè)與的夾角為，則，所以，即與的夾角為.16.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，角的對(duì)邊分別為，，，且，，，求的面積.解：（1）易知；令，解得；所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）由可得，即；又因?yàn)?，可得；所以，解得；又?由余弦定理，可得,解得，因此的面積為.17.已知矩形.（1）如圖1，若，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，記，，請(qǐng)用，表示，，并求向量與的夾角的余弦值；（2）如圖2，矩形是半徑為1，圓心角為的扇形的內(nèi)接矩形，點(diǎn)，在半徑上，設(shè)，求當(dāng)矩形的面積最大時(shí)的值.解：（1），，因?yàn)?，所以，則，，，所以，即向量與的夾角的余弦值為；（2）由題意，，則，所以矩形的面積，由題意知，則，所以當(dāng)，即時(shí)，矩形的面積取得最大值，為.18.在中，角的對(duì)邊分別為，，，且.（1）若，求角；（2）若，，求邊的中線的長(zhǎng)；（3）若角的內(nèi)角平分線的長(zhǎng)為2，求的最小值.解：（1）由利用正弦定理可得；又，因此可得，又，可得；由利用正弦定理可得；即，因此，即，可得；所以.（2）設(shè)的外接圓半徑為，由可得；即，又，因此可得；由利用正弦定理可得，可得，如下圖：易知，且；因此，因此邊的中線的長(zhǎng)為（3）若角的內(nèi)角平分線的長(zhǎng)為2，由等面積法可得，即，可得，即，又，所以；當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為18.19.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；（3）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1），則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以函數(shù)的最小值為；（2），令，則，因，則，又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.則，又.則，因在上單調(diào)遞增，則，即函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?；?），.則恒成立，又，，則恒成立，則，令，因，函數(shù)在上遞減，在上單調(diào)遞增，則.則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào).則.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.四川省成都市蓉城聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)向量，，且，則的值為（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】由，可得：，即，所以，.故選：A2.下列函數(shù)中，以2為最小正周期且是偶函數(shù)的為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，故A不符題意；對(duì)于B，函數(shù)的最小正周期，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，故B符合題意；對(duì)于C，因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，故C不符題意；對(duì)于D，函數(shù)的最小正周期，故D不符題意.故選：B.3.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得，即.故選：D.4.的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，則（）A.角為直角 B.角為銳角C.角為鈍角 D.角為鈍角【答案】C【解析】由三點(diǎn)坐標(biāo)易得：，所以，又為三角形內(nèi)角，所以角為鈍角，所以ABD錯(cuò)，C對(duì)，故選：C5.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，解得，所以.故選：C.6.某同學(xué)坐旋轉(zhuǎn)摩天輪時(shí)距地面的高度與時(shí)間的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：03691215182124695.93696.136用函數(shù)模型近似刻畫與之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，則該同學(xué)在第25秒時(shí)距地面的高度約為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知最大高度為9m，最小高度為3m，不妨取，因此可得，解得；數(shù)據(jù)完成一個(gè)周期用時(shí)為12秒，因此周期，可得；因此函數(shù)模型為，代入，可得.故選：A7.在中，，，且，，則的值為（）A.2 B.3 C. D.【答案】D【解析】由，得，即，即，所以，又為公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，且為的中點(diǎn)，由，得，所以，又為公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，且，由，，得，，則.故選：D.8.已知函數(shù)，對(duì)任意都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對(duì)任意都有恒成立，只需要即可，只需要即可，，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，即?shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列計(jì)算結(jié)果正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸方程為C.若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為D.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱且在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，則的值為4【答案】BCD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以不是函?shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以是函?shù)的圖象的一條對(duì)稱軸，故B正確；對(duì)于C，由，得，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，故C正確；對(duì)于D，由，得，因?yàn)樵趨^(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，所以，解得，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以，解得，綜上所述，，故D正確.故選：BCD.11.下列命題為假命題的是（）A.若函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則B.在銳角中，角的對(duì)邊分別為，，，若，，則的面積的取值范圍為C.在中，若，則角的最大值為D.在中，若，，直線與交于點(diǎn)，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以函?shù)是以為周期的周期函數(shù)，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，則，所以，所以，則，則，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以角的最大值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，由，，得，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，解得，所以，故D錯(cuò)誤.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.如圖，，且，則實(shí)數(shù)________.【答案】【解析】由，得，所以.故答案為：.13.已知海上島在島的北偏東方向距離島5海里處，島在島的北偏西方向，島與島相距7海里，則島與島的距離為________海里.【答案】【解析】如圖，由題意得，由余弦定理得，即，解得（舍去），所以島與島的距離為海里.故答案為：.14.函數(shù)的值域?yàn)開_______.【答案】【解析】，令，則，故，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）已知向量，，若，求實(shí)數(shù)的值；（2）已知向量，滿足，求與的夾角的大小.解：（1），由，可得：，解得：，（2）由，可得：，可得：，所以，即，，設(shè)與的夾角為，則，所以，即與的夾角為.16.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，角的對(duì)邊分別為，，，且，，，求的面積.解：（1）易知；令，解得；所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）由可得，即；又因?yàn)椋傻?；所以，解得；又?由余弦定理，可得,解得，因此的面積為.17.已知矩形.（1）如圖1，若，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，記，，請(qǐng)用，表示，，并求向量與的夾角的余弦值；（2）如圖2，矩形是半徑為1，圓心角為的扇形的內(nèi)接矩形，點(diǎn)，在半徑上，設(shè)，求當(dāng)矩形的面積最大時(shí)的值.解：（1），，因?yàn)?，所以，則，，，所以，即向量與的夾角的余弦值為；（2）由題意，，則，所以矩形的面積，由題意知，則，所以當(dāng)，即時(shí)，矩形的面積取得最大值，為.18.在中，角的對(duì)邊分別為，，，且.（1）若，求角；（2）若，，求邊的中線的長(zhǎng)；（3）若角的內(nèi)角平分線的長(zhǎng)為2，求的最小值.解：（1）由利用正弦定理可得；又，因此可得，又，可得；由利用正弦定理可得；即，因此，即，可得；所以.（2）設(shè)的外接圓半徑為，由可得；即，又，因此可得；由利用正弦定理可得，可得，如下圖：