高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省達州市2024-2025學年高二下學期期中考試數(shù)學試卷注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊占20%，選擇性必修第二冊占80%．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知數(shù)列，則該數(shù)列的第99項為（）A. B.197 C. D.199【答案】B【解析】通過觀察，該數(shù)列的通項公式為，所以.故選：B.2.某運動物體的位移（單位：米）關(guān)于時間（單位：秒）的函數(shù)關(guān)系式為，則該物體在秒時的瞬時速度為（）A.4米/秒 B.3米/秒 C.2米/秒 D.1米/秒【答案】A【解析】由，得，則物體在秒時的瞬時速度米／秒．故選：A.3.下列求導正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A，因為是常數(shù)，所以，所以A錯誤，對于B，因為，所以B錯誤，對于C，因為，所以C錯誤，對于D，因為，所以D正確，故選：D.4.若數(shù)列滿足，則（）A.8 B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，所以是周期為4的數(shù)列，故.故選：D5.已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】易知函數(shù)定義域為，因為，所以，令，得，所以，即，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選：A.6.已知遞增等比數(shù)列的公比為，若，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，由得或，因為遞增，所以，所以，故．故選：B.7.函數(shù)的極小值點為（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】.令，得；令，得.可知在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以極小值點為1.故選：B.8.斐波那契數(shù)列（Fibonaccisequence），又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學家萊昂納多?斐波那契（LeonardoFibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個數(shù)列：，從第3項開始，每一項都等于前兩項之和.刪去0后，記此數(shù)列為，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，且，所以，，，上述各式相加得.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.在上單調(diào)遞減 B.在上單調(diào)遞增C.的一個極小值為 D.在上的最大值為【答案】BD【解析】由圖可知，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減,在，上單調(diào)遞增，極小值為,在上的最大值為，所以選項A和C錯誤，選項B和D正確，故選：BD.10.已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（）A.B.C.數(shù)列中最大D.數(shù)列中最小【答案】BCD【解析】因為，所以.因為，所以，所以，故B正確.所以，數(shù)列為遞減數(shù)列，A錯誤；又，所以，所以時，，時，，所以數(shù)列中最大，因為，所以，所以，故D正確.故選：BCD.11.過點向曲線作切線，切線方程可能是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】設(shè)切點，因為，則，則切線方程為，又，所以，又切線過點，所以，整理得到，即，所以或，當時，切線方程為，即，當時，切線方程為，即，故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)在處可導，若，則__________.【答案】【解析】因為，所以.故答案為：13.設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，則__________．【答案】【解析】因為為等比數(shù)列，所以，，，…也為等比數(shù)列．設(shè)，則，，所以，則，故．故答案為：.14.已知函數(shù)的圖象與直線有兩個交點，則的取值范圍為__________．【答案】【解析】令，可得，構(gòu)建，原題意等價于在定義域內(nèi)有兩個零點，因為，令，解得；令，解得；可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，且當趨近于或時，趨近于，可知，即，所以的取值范圍為．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.（1）求；（2）求在上的值域.解：（1）因為，所以.又在點處的切線方程為，所以，解得，所以，則，又切點在切線上，所以，解得，所以，.（2）由（1）知，則.令，得或，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因為，，，所以在上的值域為.16.如圖，在長方體中，，．（1）求直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面所成角的余弦值．解：（1）以為坐標原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，．因為，，所以，所以直線與所成角的余弦值為．（2）設(shè)平面的法向量為，由（1）知，，所以，令，得，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，所以，即直線與平面所成角的正弦值為．（3）設(shè)平面的法向量為，由（1）知，，所以，令，得，所以．設(shè)平面與平面所成的角為，結(jié)合（2）得，故平面與平面所成角的余弦值為．17.已知正項數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設(shè),為數(shù)列的前項和,若任意,使得成立，求的取值范圍．解：（1）由，得，兩式相減得，即．因為，所以，即．當時，，解得或（舍去），所以是首項為7，公差為3的等差數(shù)列，故，因為，①所以當時，，②①-②得，也滿足．故的通項公式為，的通項公式為．（2）因為，所以，當時，取得最小值．因為對任意，恒成立，所以，整理得，解得．18.已知橢圓的離心率為，焦點與短軸端點圍成的四邊形的面積為6．（1）求橢圓標準方程．（2）已知動直線過橢圓的右焦點，且與橢圓分別交于，兩點．試問軸上是否存在定點，使得為定值？若存在，求出該定值和點的坐標；若不存在，說明理由．解：（1）由題意得，，又，解得，，所以橢圓的標準方程為．（2）存在，理由如下：①當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓的方程，可得．設(shè)，，則，．設(shè)，則若為定值，則，解得，此時，點的坐標為．②當直線的斜率不存在時，則直線的方程為，代入，得不妨令，．若，則，，．綜上所述，在軸上存在點，使得為定值，且定值為．19.已知函數(shù)的導函數(shù)為，我們稱函數(shù)的導函數(shù)為函數(shù)的二階導函數(shù)，若一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的二階導函數(shù)，則稱為上的凹函數(shù)，若二階導函數(shù)，則稱為上的凸函數(shù).（1）若函數(shù)是上的凸函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.（2）已知函數(shù).①若是上的凹函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；②若在內(nèi)有兩個不同的零點，證明：.解：（1）因為，定義域為，所以，.因為是上的凸函數(shù)，所以在上恒成立，即當時，恒成立.函數(shù)圖象的對稱軸為直線，當，即時，只需時，即可，所以，當，即時，只需時，即可，所以，綜上可得.（2）①因為，，所以，.因為是上的凹函數(shù)，所以在上恒成立，即在上恒成立.令，則.當時，，則，單調(diào)遞增；當時，，則，單調(diào)遞減所以，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.②由①知，因為在內(nèi)有兩個不同的零點，，所以方程在內(nèi)有兩個根，，即.因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.欲證，即證.因為且在上單調(diào)遞減，所以只需證明，即證.欲證，即證，即，只需證，即證，而該式顯然成立.欲證，即證.因為，所以只需證，即證，即需證.令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，則原不等式得證.故.四川省達州市2024-2025學年高二下學期期中考試數(shù)學試卷注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊占20%，選擇性必修第二冊占80%．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知數(shù)列，則該數(shù)列的第99項為（）A. B.197 C. D.199【答案】B【解析】通過觀察，該數(shù)列的通項公式為，所以.故選：B.2.某運動物體的位移（單位：米）關(guān)于時間（單位：秒）的函數(shù)關(guān)系式為，則該物體在秒時的瞬時速度為（）A.4米/秒 B.3米/秒 C.2米/秒 D.1米/秒【答案】A【解析】由，得，則物體在秒時的瞬時速度米／秒．故選：A.3.下列求導正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A，因為是常數(shù)，所以，所以A錯誤，對于B，因為，所以B錯誤，對于C，因為，所以C錯誤，對于D，因為，所以D正確，故選：D.4.若數(shù)列滿足，則（）A.8 B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，所以是周期為4的數(shù)列，故.故選：D5.已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】易知函數(shù)定義域為，因為，所以，令，得，所以，即，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選：A.6.已知遞增等比數(shù)列的公比為，若，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，由得或，因為遞增，所以，所以，故．故選：B.7.函數(shù)的極小值點為（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】.令，得；令，得.可知在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以極小值點為1.故選：B.8.斐波那契數(shù)列（Fibonaccisequence），又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學家萊昂納多?斐波那契（LeonardoFibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個數(shù)列：，從第3項開始，每一項都等于前兩項之和.刪去0后，記此數(shù)列為，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，且，所以，，，上述各式相加得.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.在上單調(diào)遞減 B.在上單調(diào)遞增C.的一個極小值為 D.在上的最大值為【答案】BD【解析】由圖可知，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減,在，上單調(diào)遞增，極小值為,在上的最大值為，所以選項A和C錯誤，選項B和D正確，故選：BD.10.已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（）A.B.C.數(shù)列中最大D.數(shù)列中最小【答案】BCD【解析】因為，所以.因為，所以，所以，故B正確.所以，數(shù)列為遞減數(shù)列，A錯誤；又，所以，所以時，，時，，所以數(shù)列中最大，因為，所以，所以，故D正確.故選：BCD.11.過點向曲線作切線，切線方程可能是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】設(shè)切點，因為，則，則切線方程為，又，所以，又切線過點，所以，整理得到，即，所以或，當時，切線方程為，即，當時，切線方程為，即，故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)在處可導，若，則__________.【答案】【解析】因為，所以.故答案為：13.設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，則__________．【答案】【解析】因為為等比數(shù)列，所以，，，…也為等比數(shù)列．設(shè)，則，，所以，則，故．故答案為：.14.已知函數(shù)的圖象與直線有兩個交點，則的取值范圍為__________．【答案】【解析】令，可得，構(gòu)建，原題意等價于在定義域內(nèi)有兩個零點，因為，令，解得；令，解得；可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，且當趨近于或時，趨近于，可知，即，所以的取值范圍為．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.（1）求；（2）求在上的值域.解：（1）因為，所以.又在點處的切線方程為，所以，解得，所以，則，又切點在切線上，所以，解得，所以，.（2）由（1）知，則.令，得或，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因為，，，所以在上的值域為.16.如圖，在長方體中，，．（1）求直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面所成角的余弦值．解：（1）以為坐標原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，．因為，，所以，所以直線與所成角的余弦值為．（2）設(shè)平面的法向量為，由（1）知，，所以，令，得，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，所以，即直線與平面所成角的正弦值為．（3）設(shè)平面的法向量為，由（1）知，，所以，令，得，所以．設(shè)平面與平面所成的角為，結(jié)合（2）得，故平面與平面所成角的余弦值為．17.已知正項數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設(shè),為數(shù)列的前項和,若任意,使得成立，求的取值范圍．解：（1）由，得，兩式相減得，即．因為，所以，即．當時，，解得或（舍去），所以是首項為7，公差為3的等差數(shù)列，故，因為，①所以當時，，②①-②得，也滿足．故的通項公式為，的通項公式為．（2）因為，所以，當時，取得最小值．因為對任意，恒成立，所以，整理得，解得．18.已知橢圓的離心率為，焦點與短軸端點圍成的四邊形的面積為6．（1）求橢圓標準方程．（2）已知動直線過橢圓的右焦點，且與橢圓分別交于，兩點．試問軸上是否存在定點，使得為定值？若存在