高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省杭州市S9聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘；2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字．3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效；4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，，則．故選：A．2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】復(fù)數(shù)，對應(yīng)的點為，點在第二象限.故選：B.3.已知，，，則過點且與線段平行的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，，，所以，則所求直線的斜率為，所以過點且與線段平行的直線方程為，即．故選：B4.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，解得或，故由能夠推出；由不能夠推出，故“”是“”的充分不必要條件，故選：A．5.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，因為恒成立，所以當(dāng)時，，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：D.6.橢圓（）的兩個焦點分別為、，以為邊作正三角形，若橢圓恰好平分三角形的另兩邊，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)以為邊作正三角形與橢圓交于，兩點，則，所以，由橢圓的定義可得，即，則離心率.故選：B.7.正方體中，直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體的棱長為1，則，，，，，∴，，，，∴，，∴，．又，∴平面，∴是平面的一個法向量，∵，∴直線與平面所成角的正弦值為．故選：C8.定理：如果函數(shù)及滿足：①圖像在閉區(qū)間上連續(xù)不斷；②在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；③對，，那么在內(nèi)至少存在一點，滿足成立，該定理稱為柯西中值定理．請利用該定理解決下面問題：已知，若存在正數(shù)，（），滿足，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可得：，令，所以由柯西中值定理可知：那么在內(nèi)至少有一點，滿足成立，因為，，所以，，所以令，，，令可得：或，令可得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，當(dāng)趨于正無窮時，趨近，所以，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知等差數(shù)列的前項和為，公差，，是與的等比中項，則下列選項正確的是()A. B.C.有最大值 D.當(dāng)時，最大值為21【答案】BC【解析】設(shè)公差為d，則由題可知，解得，，故B正確；，，故A錯誤；∵，，故根據(jù)等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)可知有最大值，故C正確；＞0，則，故的最大值為20，故D錯誤.故選：BC.10.已知函數(shù).則下列結(jié)論正確的有（）A.的最小正周期為B.是的最大值C.把函數(shù)的圖象上所有點向左平移個單位長度，可得到函數(shù)的圖象D.將函數(shù)的圖象向右平移（）個單位長度，所得圖象關(guān)于原點對稱，則的最小值為【答案】ACD【解析】A，由，故A正確，B，因為，故B錯誤，C，把函數(shù)的圖象上所有點向左平移個單位長度，得到的圖象，則C正確，D，將函數(shù)的圖象向右平移（）個單位長度后得到的圖象，因為其關(guān)于原點對稱，則，解得，又因為，所以的最小值，所以D正確.故選：ACD.11.如圖所示，在棱長為1的正方體中，，分別為棱，的中點，則以下四個結(jié)論正確的是（）A.棱上存在一點，使得平面B.點到平面的距離為C.過且與面平行的平面截正方體所得截面面積為D.過的平面截正方體的外接球所得截面面積的最小值為【答案】BCD【解析】A，在棱長為1的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,,設(shè)平面的一個法向量，則，令，得，設(shè)棱上點，，則，若平面，則有，解得，與矛盾，即在棱上不存在點M，使得平面，A不正確；B，點到平面的距離h，因，則，B正確；C，取AD，CD的中點E，F(xiàn)，連接，則，即確定一個平面，如圖，依題意，，，即四邊形是平行四邊形，，平面，平面，于是得平面，顯然，平面，平面，于是得平面，而，平面，因此，平面平面，即梯形是過與平面平行的正方體的截面，而，則此等腰梯形的高，所以過與平面平行的正方體的截面面積為，C正確；D，過PQ的平面截正方體的外接球所得截面小圓最小時，該小圓直徑是直線PQ被正方體的外接球所截弦，由對稱性知線段PQ中點N是這個小圓的圓心，令正方體的外接球球心為O，連接ON，OP，則，而，而球半徑，則這個小圓半徑，此圓面積為，D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.甲射手擊中靶心的概率為，乙射手擊中靶心的概率為，甲、乙兩人各射擊一次，那么甲、乙不全擊中靶心的概率為__________．【答案】【解析】由于兩個人射擊是相互獨立的，故不全中靶心的概率為.13.已知向量的夾角為，，，則________．【答案】【解析】因為向量的夾角為，，，則，可得，所以.故答案為：.14.已知斜率為1的直線與拋物線交于兩點，若的外心為為坐標(biāo)原點）,則當(dāng)最大時，=____.【答案】.【解析】由題意知,為外接圓的半徑，在中,由正弦定理可知,(R為外接圓的半徑),當(dāng),即時,取得最大值2.設(shè),,易知,,則,得,即.設(shè)直線的方程為,即,代入得,,則,,所以,解得.故.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，角、、的對邊分別為、、，，.（1）若，求；（2）若的面積，求，.解：（1）由正弦定理定理可得，又，，，所以，所以，（2）由三角形面積公式可得的面積，所以，又，，所以，由余弦定理可得，所以，所以.16.已知數(shù)列的前項和，數(shù)列是正項等比數(shù)列，滿足，.（1）求，的通項公式；（2）設(shè)，記數(shù)列前項和為，求.解：（1）因為，所以時.當(dāng)時，，所以，，滿足，所以，數(shù)列是正項等比數(shù)列，.所以公比，.（2）由（1）知，，.17.已知函數(shù)，.（1）若存在極小值，且極小值為，求；（2）若，求的取值范圍.解：（1），，當(dāng)時，，所以函數(shù)無極值，當(dāng)時，由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極小值為，解得.（2）由，得，即，，設(shè)，，則，當(dāng)時，，即單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即單調(diào)遞增，所以，則，所以的取值范圍為.18.如圖，在三棱錐中，，為的中點，平面平面．（1）證明：；（2）若，，，求平面與平面的夾角的余弦值．解：（1）因為為的中點，，所以．因為平面平面，平面平面，平面，所以平面．又因為平面，所以．因為為的中點，所以.（2）如圖，以為坐標(biāo)原點，，所在直線分別為，軸，過點垂直平面為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，取的中點，連接．因為，所以．由（1）平面，平面，所以平面平面．因為平面平面，平面，，所以平面，所以，所以，，．設(shè)平面的一個法向量為，所以，即，可?。恚傻闷矫娴囊粋€法向量為．設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角為.19.已知雙曲線的實軸長為4，一條漸近線的方程為，過點的直線與C的右支交于A，B兩點．（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）P是x軸上的定點，且．（i）求P的坐標(biāo)：（ii）若的外接圓被x軸截得的弦長為16，求外接圓的面積．解：（1）因為C的實軸長為，漸近線方程為，所以，，解得，，所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）（i）設(shè)直線的方程為，，，，聯(lián)立化簡得，．因為直線與雙曲線的右支交于兩點，由，整理得則或或，解得.由，可得，即，將代入上式得，將，代入上式并化簡得，整理得，因為上式對任意都成立，所以，解得，所以.（ii）因為，所以外接圓是以為直徑的圓，記為圓T，因為圓心，即，所以半徑．因為外接圓被x軸截得的弦長為16，所以（*），即，解得或．因為直線與C的右支交于A，B兩點，所以，所以，（舍去），代入（*）可得．所以外接圓的面積為．

浙江省杭州市S9聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘；2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字．3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效；4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，，則．故選：A．2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】復(fù)數(shù)，對應(yīng)的點為，點在第二象限.故選：B.3.已知，，，則過點且與線段平行的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，，，所以，則所求直線的斜率為，所以過點且與線段平行的直線方程為，即．故選：B4.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，解得或，故由能夠推出；由不能夠推出，故“”是“”的充分不必要條件，故選：A．5.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，因為恒成立，所以當(dāng)時，，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：D.6.橢圓（）的兩個焦點分別為、，以為邊作正三角形，若橢圓恰好平分三角形的另兩邊，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)以為邊作正三角形與橢圓交于，兩點，則，所以，由橢圓的定義可得，即，則離心率.故選：B.7.正方體中，直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體的棱長為1，則，，，，，∴，，，，∴，，∴，．又，∴平面，∴是平面的一個法向量，∵，∴直線與平面所成角的正弦值為．故選：C8.定理：如果函數(shù)及滿足：①圖像在閉區(qū)間上連續(xù)不斷；②在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；③對，，那么在內(nèi)至少存在一點，滿足成立，該定理稱為柯西中值定理．請利用該定理解決下面問題：已知，若存在正數(shù)，（），滿足，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可得：，令，所以由柯西中值定理可知：那么在內(nèi)至少有一點，滿足成立，因為，，所以，，所以令，，，令可得：或，令可得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，當(dāng)趨于正無窮時，趨近，所以，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知等差數(shù)列的前項和為，公差，，是與的等比中項，則下列選項正確的是()A. B.C.有最大值 D.當(dāng)時，最大值為21【答案】BC【解析】設(shè)公差為d，則由題可知，解得，，故B正確；，，故A錯誤；∵，，故根據(jù)等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)可知有最大值，故C正確；＞0，則，故的最大值為20，故D錯誤.故選：BC.10.已知函數(shù).則下列結(jié)論正確的有（）A.的最小正周期為B.是的最大值C.把函數(shù)的圖象上所有點向左平移個單位長度，可得到函數(shù)的圖象D.將函數(shù)的圖象向右平移（）個單位長度，所得圖象關(guān)于原點對稱，則的最小值為【答案】ACD【解析】A，由，故A正確，B，因為，故B錯誤，C，把函數(shù)的圖象上所有點向左平移個單位長度，得到的圖象，則C正確，D，將函數(shù)的圖象向右平移（）個單位長度后得到的圖象，因為其關(guān)于原點對稱，則，解得，又因為，所以的最小值，所以D正確.故選：ACD.11.如圖所示，在棱長為1的正方體中，，分別為棱，的中點，則以下四個結(jié)論正確的是（）A.棱上存在一點，使得平面B.點到平面的距離為C.過且與面平行的平面截正方體所得截面面積為D.過的平面截正方體的外接球所得截面面積的最小值為【答案】BCD【解析】A，在棱長為1的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,,設(shè)平面的一個法向量，則，令，得，設(shè)棱上點，，則，若平面，則有，解得，與矛盾，即在棱上不存在點M，使得平面，A不正確；B，點到平面的距離h，因，則，B正確；C，取AD，CD的中點E，F(xiàn)，連接，則，即確定一個平面，如圖，依題意，，，即四邊形是平行四邊形，，平面，平面，于是得平面，顯然，平面，平面，于是得平面，而，平面，因此，平面平面，即梯形是過與平面平行的正方體的截面，而，則此等腰梯形的高，所以過與平面平行的正方體的截面面積為，C正確；D，過PQ的平面截正方體的外接球所得截面小圓最小時，該小圓直徑是直線PQ被正方體的外接球所截弦，由對稱性知線段PQ中點N是這個小圓的圓心，令正方體的外接球球心為O，連接ON，OP，則，而，而球半徑，則這個小圓半徑，此圓面積為，D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.甲射手擊中靶心的概率為，乙射手擊中靶心的概率為，甲、乙兩人各射擊一次，那么甲、乙不全擊中靶心的概率為__________．【答案】【解析】由于兩個人射擊是相互獨立的，故不全中靶心的概率為.13.已知向量的夾角為，，，則________．【答案】【解析】因為向量的夾角為，，，則，可得，所以.故答案為：.14.已知斜率為1的直線與拋物線交于兩點，若的外心為為坐標(biāo)原點）,則當(dāng)最大時，=____.【答案】.【解析】由題意知,為外接圓的半徑，在中,由正弦定理可知,(R為外接圓的半徑),當(dāng),即時,取得最大值2.設(shè),,易知,,則,得,即.設(shè)直線的方程為,即,代入得,,則,,所以,解得.故.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，角、、的對邊分別為、、，，.（1）若，求；（2）若的面積，求，.解：（1）由正弦定理定理可得，又，，，所以，所以，（2）由三角形面積公式可得的面積，所以，又，，所以，由余弦定理可得，所以，所以.16.已知數(shù)列的前項和，數(shù)列是正項等比數(shù)列，滿足，.（1）求，的通項公式；（2）設(shè)，記數(shù)列前項和為，求.解：（1）因為，所以時.當(dāng)時，，所以，，滿足，所以，數(shù)列是正項等比數(shù)列，.所以公比，.（2）由（1）知，，.17.已知函數(shù)，.（1）若存在極小值，且極小值為，求；（2）若，求的取值范圍.解：（1），，當(dāng)時，，所以函數(shù)無極值，當(dāng)時，由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞