高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省金華市浙江強(qiáng)基聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因.故選：D2.如果橢圓的方程是，那么它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)闄E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，，所以.所以橢圓的焦點(diǎn)為：.故選：C3.已知點(diǎn)，，若，則（）A.1 B.-5 C.1或-5 D.-1或5【答案】C【解析】解：因?yàn)辄c(diǎn)，，所以，所以，則.故選：C.4.已知圓和圓，則與的位置關(guān)系是（）A.外切 B.內(nèi)切 C.相交 D.外離【答案】A【解析】由圓方程知：圓心，半徑；由，得，所以圓心，半徑；圓心距，所以圓與圓外切.故選：A5.在正方體中，以下說法正確的是（）A.若E為的中點(diǎn)，則平面B.若E為的中點(diǎn)，則平面C.若E為的中點(diǎn)，則D.若E為的中點(diǎn)，則【答案】A【解析】A.如圖所示：連接AC，BD交于點(diǎn)O，則O為BD的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，故正確；B.易知平面，平面與平面平面不平行，所以與平面不垂直，故錯(cuò)誤；C.如圖所示：在矩形中，，設(shè)正方體的棱長為1，在中，，則，所以，則不垂直，故錯(cuò)誤；D.如圖所示：取CD的中點(diǎn)F，易知，又，所以不平行，故錯(cuò)誤；故選：A6.已知，則函數(shù)的最小值是（）A. B. C.3 D.2【答案】B【解析】設(shè)，則.因?yàn)?，所以?所以即.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.所以.故選：B7.在平行六面體中，若直線與的交點(diǎn)為．設(shè)，，，則下列向量中與共線的向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖：因?yàn)?所以與平行.故選：D8.如果函數(shù)那么（）A.2020 B.2021 C.2023 D.2025【答案】B【解析】記，，根據(jù)可得，，而，，，，，，所以的周期為5，取值分別為2023，2024，2020，2021，2022，.故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，以下說法正確的是（）A.z的實(shí)部是3 B.C. D.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限【答案】ABC【解析】對A：復(fù)數(shù)的實(shí)部為3，故A正確；對B：因，故B正確；對C：根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，，故C正確；對D：因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限，故D錯(cuò)誤.故選：ABC10.拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，記隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)為i”，其中，則以下說法正確的是（）A.若隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)不大于3”，則與互斥B.若隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則C.若隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)不大于2”，則與對立D.若隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，則與相互獨(dú)立【答案】BD【解析】，故，所以與不互斥，故A錯(cuò)；，故B對；但，所以與不對立，故C錯(cuò)；，故D對；故選：BD11.棱長為1的正四面體ABCD的內(nèi)切球球心為O，點(diǎn)P是該內(nèi)切球球面上的動點(diǎn)，則以下說法正確的是（）A.記直線AO與直線AB的夾角是α，則B.記直線AO與平面ABC的夾角是β，則C.記的最小值為n，則D.記在上的投影向量為，則【答案】ACD【解析】如圖，設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，球O與平面BCD的切點(diǎn)為H，則，根據(jù)等體積法可得，正四面體ABCD的體積，所以，可知，故A對；由直線AO與平面ABC的夾角是β，設(shè)球O與平面ABC的切點(diǎn)為G，連接OG，所以平面ABC，所以，，所以在直角中，，故B錯(cuò)；令，則Q是平面BCD內(nèi)一動點(diǎn)，，即球面上的點(diǎn)到平面BCD上點(diǎn)之間的距離，最小值n表示球面上的點(diǎn)到平面BCD的距離，所以，即，故C對；點(diǎn)A在線段BC上的投影為線段BC的中點(diǎn)E，點(diǎn)P在線段BC上的投影點(diǎn)位于點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)，且的最大值為，則，故選：ACD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.點(diǎn)A（2，1）到直線l：的距離是________．【答案】【解析】點(diǎn)A（2，1）到直線l：的距離為，故答案為：13.已知圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，弧長為的扇形，則該圓錐的體積是_____．【答案】【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，母線長為.則由題意：，所以.所以圓錐的體積為：.故答案為：.14.設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)P關(guān)于O的對稱點(diǎn)是Q，若，，則該橢圓的離心率是______．【答案】【解析】由題意，點(diǎn)P關(guān)于O的對稱點(diǎn)是Q，所以點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，根據(jù)橢圓的對稱性知，點(diǎn)是線段（為橢圓的右焦點(diǎn)）的中點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形；由，得，則，在平行四邊形中，由，得，所以，在中，由余弦定理得，所以，由題意，，又，所以，則，即，得，所以離心率.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.已知圓C：，點(diǎn)P（1，4），且直線l經(jīng)過點(diǎn)P．（1）若l與C相切，求l的方程；（2）若l的傾斜角為，求l被圓C截得的弦長．解：（1）由知，圓C的圓心坐標(biāo)為，半徑為5.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，即直線的方程為：，圓心C到直線l的距離為，故與圓C不相切，不滿足題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線為：，即，則圓C的圓心到直線l的距離，解得，故直線l的方程為，綜上：直線l的方程為（2）由l的傾斜角為，所以直線l的方程為，圓C的圓心到直線l的距離為，由垂徑定理得，l被圓C截得的弦長為，16.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，記的面積為S，已知．（1）若，求外接圓的半徑；（2）求的值．解：（1）由，得，由，可得，所以外接圓的半徑為（2）17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，△PAD是正三角形，四邊形ABCD為等腰梯形，且有，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，動點(diǎn)Q在PF上．（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)時(shí)，求平面QAB與平面QCD所成角的余弦值．（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪危珽，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，平面，所以平面，而平面，所以平面平?（2）解：假設(shè)，所以，得到，所以，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，得，，則，設(shè)，則，所以，由可得，解得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，，則，取得，設(shè)平面的一個(gè)法向量，，則，取得，設(shè)平面QAB與平面QCD所成角為，則，所以平面QAB與平面QCD所成角的余弦值為.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，直線，相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是．記點(diǎn)的軌跡是曲線，點(diǎn)是曲線上的一點(diǎn)．（1）求曲線的方程；（2）若，直線l過點(diǎn)與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，求面積的最大值；（3）過點(diǎn)作直線交曲線于，兩點(diǎn)，且，證明：為定值．（1）解：設(shè)Mx,y，因?yàn)椋?整理得：（）.所以曲線的方程為：（）（2）解：當(dāng)時(shí)，可得.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可得，此時(shí).當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線：，代入橢圓的方程：，得：，整理得：.因?yàn)闀r(shí)該方程的一個(gè)解，所以.所以，所以.又點(diǎn)到直線的距離為：.所以.設(shè)，則因?yàn)闀r(shí)，，此時(shí)直線經(jīng)過點(diǎn)，則共線那么，所以所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等.綜上可知：面積的最大值為：（3）證明：如圖：因?yàn)榍€的方程為：（）所以過的直線可寫為：，代入中，可得，整理得：.設(shè)Px1,y1，Q所以.所以.此時(shí)，直線的方程為：，由且點(diǎn)縱坐標(biāo)大于0，可得：，所以，.所以.為定值.19.在平面直角坐標(biāo)系中，我們可以采用公式（其中為常數(shù)），將點(diǎn)Px,y變換成點(diǎn)，我們稱該變換為線性變換，上式為坐標(biāo)變換公式．常見的線性變換有平移變換和旋轉(zhuǎn)變換．（1）將點(diǎn)Px,y向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位，得到點(diǎn)，求該變換的坐標(biāo)變換公式，并求將橢圓向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位后，所得新橢圓的方程；（2）將點(diǎn)Px,y繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到點(diǎn)，求上述變換的坐標(biāo)變換公式，并求將橢圓繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，所得新橢圓的方程；（3）若點(diǎn)Px,y滿足，證明：點(diǎn)Px,y（1）解：由題意：，所以該變換的坐標(biāo)變換公式為：.由，所以橢圓經(jīng)過變換后，所得新橢圓的方程為：.（2）解：設(shè)Px,y對應(yīng)復(fù)數(shù)，將點(diǎn)Px,y繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到點(diǎn)對應(yīng)復(fù)數(shù)：，則.所以.由.所以橢圓繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，所得新橢圓的方程為：.（3）證明：先將曲線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所得曲線的方程為整理得：，所以，再將其向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，可得，表示橢圓.所以點(diǎn)Px,y的軌跡是橢圓浙江省金華市浙江強(qiáng)基聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因.故選：D2.如果橢圓的方程是，那么它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)闄E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，，所以.所以橢圓的焦點(diǎn)為：.故選：C3.已知點(diǎn)，，若，則（）A.1 B.-5 C.1或-5 D.-1或5【答案】C【解析】解：因?yàn)辄c(diǎn)，，所以，所以，則.故選：C.4.已知圓和圓，則與的位置關(guān)系是（）A.外切 B.內(nèi)切 C.相交 D.外離【答案】A【解析】由圓方程知：圓心，半徑；由，得，所以圓心，半徑；圓心距，所以圓與圓外切.故選：A5.在正方體中，以下說法正確的是（）A.若E為的中點(diǎn)，則平面B.若E為的中點(diǎn)，則平面C.若E為的中點(diǎn)，則D.若E為的中點(diǎn)，則【答案】A【解析】A.如圖所示：連接AC，BD交于點(diǎn)O，則O為BD的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，故正確；B.易知平面，平面與平面平面不平行，所以與平面不垂直，故錯(cuò)誤；C.如圖所示：在矩形中，，設(shè)正方體的棱長為1，在中，，則，所以，則不垂直，故錯(cuò)誤；D.如圖所示：取CD的中點(diǎn)F，易知，又，所以不平行，故錯(cuò)誤；故選：A6.已知，則函數(shù)的最小值是（）A. B. C.3 D.2【答案】B【解析】設(shè)，則.因?yàn)?，所以?所以即.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.所以.故選：B7.在平行六面體中，若直線與的交點(diǎn)為．設(shè)，，，則下列向量中與共線的向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖：因?yàn)?所以與平行.故選：D8.如果函數(shù)那么（）A.2020 B.2021 C.2023 D.2025【答案】B【解析】記，，根據(jù)可得，，而，，，，，，所以的周期為5，取值分別為2023，2024，2020，2021，2022，.故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，以下說法正確的是（）A.z的實(shí)部是3 B.C. D.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限【答案】ABC【解析】對A：復(fù)數(shù)的實(shí)部為3，故A正確；對B：因，故B正確；對C：根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，，故C正確；對D：因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限，故D錯(cuò)誤.故選：ABC10.拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，記隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)為i”，其中，則以下說法正確的是（）A.若隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)不大于3”，則與互斥B.若隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則C.若隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)不大于2”，則與對立D.若隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，則與相互獨(dú)立【答案】BD【解析】，故，所以與不互斥，故A錯(cuò)；，故B對；但，所以與不對立，故C錯(cuò)；，故D對；故選：BD11.棱長為1的正四面體ABCD的內(nèi)切球球心為O，點(diǎn)P是該內(nèi)切球球面上的動點(diǎn)，則以下說法正確的是（）A.記直線AO與直線AB的夾角是α，則B.記直線AO與平面ABC的夾角是β，則C.記的最小值為n，則D.記在上的投影向量為，則【答案】ACD【解析】如圖，設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，球O與平面BCD的切點(diǎn)為H，則，根據(jù)等體積法可得，正四面體ABCD的體積，所以，可知，故A對；由直線AO與平面ABC的夾角是β，設(shè)球O與平面ABC的切點(diǎn)為G，連接OG，所以平面ABC，所以，，所以在直角中，，故B錯(cuò)；令，則Q是平面BCD內(nèi)一動點(diǎn)，，即球面上的點(diǎn)到平面BCD上點(diǎn)之間的距離，最小值n表示球面上的點(diǎn)到平面BCD的距離，所以，即，故C對；點(diǎn)A在線段BC上的投影為線段BC的中點(diǎn)E，點(diǎn)P在線段BC上的投影點(diǎn)位于點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)，且的最大值為，則，故選：ACD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.點(diǎn)A（2，1）到直線l：的距離是________．【答案】【解析】點(diǎn)A（2，1）到直線l：的距離為，故答案為：13.已知圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，弧長為的扇形，則該圓錐的體積是_____．【答案】【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，母線長為.則由題意：，所以.所以圓錐的體積為：.故答案為：.14.設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)P關(guān)于O的對稱點(diǎn)是Q，若，，則該橢圓的離心率是______．【答案】【解析】由題意，點(diǎn)P關(guān)于O的對稱點(diǎn)是Q，所以點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，根據(jù)橢圓的對稱性知，點(diǎn)是線段（為橢圓的右焦點(diǎn)）的中點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形；由，得，則，在平行四邊形中，由，得，所以，在中，由余弦定理得，所以，由題意，，又，所以，則，即，得，所以離心率.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.已知圓C：，點(diǎn)P（1，4），且直線l經(jīng)過點(diǎn)P．（1）若l與C相切，求l的方程；（2）若l的傾斜角為，求l被圓C截得的弦長．解：（1）由知，圓C的圓心坐標(biāo)為，半徑為5.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，即直線的方程為：，圓心C到直線l的距離為，故與圓C不相切，不滿足題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線為：，即，則圓C的圓心到直線l的距離，解得，故直線l的方程為，綜上：直線l的方程為（2）由l的傾斜角為，所以直線l的方程為，圓C的圓心到直線l的距離為，由垂徑定理得，l被圓C截得的弦長為，16.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，記的面積為S，已知．（1）若，求外接圓的半徑；（2）求的值．解：（1）由，得，由，可得，所以外接圓的半徑為（2）17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，△PAD是正三角形，四邊形ABCD為等腰梯形，且有，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，動點(diǎn)Q在PF上．（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)時(shí)，求平面QAB與平面QCD所成角的余弦值．（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，平面，所以平面，而平面，所以平面平?（2）解：假設(shè)，所以，得到，所以，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，得，，則，設(shè)，則，所以，由可得，解得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，，則，取得，設(shè)平面的一個(gè)法向量，，則，取得，設(shè)平面QAB與平面QCD所成角為，則，所以平面QAB與平面QCD所成角的余弦值為.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，直線，相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是．記點(diǎn)的軌跡是曲線，點(diǎn)是曲線上的一點(diǎn)．（1）求曲線的方程；（2）若，直線l過點(diǎn)與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，求面積的最大值；（3）過點(diǎn)作直線交曲線于，兩點(diǎn)，且，證明