高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省寧波市六校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C.4 D.【答案】C【解析】由題意，，所以的虛部為4.故選：C.2.如圖所示，用符號(hào)語言可表達(dá)為（）A.，，B.，，C.，，，D.，，，【答案】A【解析】如圖所示，兩個(gè)平面與相交于直線，直線在平面內(nèi)，直線和直線相交于點(diǎn)，故用符號(hào)語言可表達(dá)為，，，故選：A3.在中，已知，則（）A.5 B.3 C. D.1【答案】B【解析】,故,解得,故選：B4.如圖，是水平放置的用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖（圖中虛線分別與軸和軸平行），，，則的面積為（）A. B. C.24 D.48【答案】D【解析】由直觀圖可得如下平面圖形：其中，，，軸，且，所以.故選：D5.在中，設(shè)，，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意.故選：D.6.下面關(guān)于空間幾何體的敘述：①底面是正多邊形的棱錐是正棱錐；②有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)；③正四棱柱都是長方體；④直角三角形以其直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐；⑤平行六面體是六棱柱.其中敘述正確的有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【解析】對(duì)①：底面是正多邊形且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影為底面中心的棱錐是正棱錐，故①錯(cuò)誤；對(duì)②：將兩個(gè)相同的棱臺(tái)的底面重合得到的多面體滿足有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是梯形，但是這樣的多面體不是棱臺(tái)，故②錯(cuò)誤；對(duì)③：因?yàn)檎睦庵堑酌鏋檎叫蔚闹崩庵?，所以正四棱柱都是長方體，故③正確；對(duì)④：根據(jù)圓錐的概念可知，④正確；對(duì)⑤：平行六面體是四棱柱，故⑤錯(cuò)誤.故選：B7.碧津塔是著名景點(diǎn)·某同學(xué)為了測(cè)量碧津塔的高，他在山下A處測(cè)得塔尖D的仰角為，再沿方向前進(jìn)24.4米到達(dá)山腳點(diǎn)B，測(cè)得塔尖點(diǎn)D的仰角為，塔底點(diǎn)E的仰角為，那么碧津塔高約為（，）（）A.37.54 B.38.23 C.39.53 D.40.52【答案】B【解析】在中，，則，，由正弦定理得，則，在中，，則，在中，，則，又，因此，，所以碧津塔高約為38.23米.故選：B8.如圖，中，.在所在的平面內(nèi)，有一個(gè)邊長為1的正方形繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（不少于1周），則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在中，由余弦定理可得：.所以.又四邊形是邊長為1的正方形，所以，.因?yàn)?又，，因?yàn)?，所以，所?所以.故選：B二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知，則下列結(jié)論中正確的是（）.A..B.與的夾角余弦值為.C.與同向共線的單位向量是.D.向量在向量上的投影向量為.【答案】ACD【解析】，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C正確；向量在向量上的投影向量為，故D正確.故選：ACD.10.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，下列說法中正確的是（）A.若，則為等腰三角形B.若，則C.若為銳角三角形，則D.若，則解的個(gè)數(shù)為2【答案】BC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：例如，則，，滿足，但不為等腰三角形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，可得，且，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若為銳角三角形，則，且，可得，則，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由余弦定理，即，可得，方程無解，所以解的個(gè)數(shù)為0，故D錯(cuò)誤；故選：BC.11.在意大利，有一座滿是“斗笠”的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛，這些圓錐形屋頂?shù)钠嫣匦∥菝校?996年被收入世界文化遺產(chǎn)名錄．現(xiàn)測(cè)量一個(gè)的屋頂，得到圓錐（其中為頂點(diǎn)，為底面圓心），母線的長為，是母線的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)．從點(diǎn)到點(diǎn)繞屋頂側(cè)面一周安裝燈光帶，燈光帶的最小長度為．下面說法正確的是（）A.圓錐的側(cè)面積為 B.過點(diǎn)的平面截此圓錐所得截面面積最大值為C.圓錐的外接球的表面積為 D.棱長為的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)【答案】ABD【解析】對(duì)于A，設(shè)圓錐底面半徑為，如圖，在中，，，，∴，∴，所以，（米），所以圓錐的側(cè)面積為（），故A正確；對(duì)于B，在中，，所以，所以過點(diǎn)平面截此圓錐所得截面面積最大為（），故B正確；對(duì)于C，設(shè)圓錐的外接球半徑為，則，又，所以，∴，圓錐的外接球表面積為，故C不正確；對(duì)于D，設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為，則，∴，在棱長為米的正四面體中，設(shè)其外接球半徑為，則此正四面體的底面外接圓半徑為，高為，所以，所以，因?yàn)?，所以棱長為米的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，故D正確.故選：ABD三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.）12.已知i是虛數(shù)單位，則_________．【答案】【解析】，則，故答案為：.13.如圖，設(shè)是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，分別是與軸、軸正方向同向的單位向量.若向量，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo).設(shè)向量在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為，則__________.【答案】【解析】由平面向量數(shù)量積的定義可得，由題意可得，，所以.故答案為：.14.在中，內(nèi)角對(duì)應(yīng)的邊分別為，若，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】因?yàn)?，由正弦定理可得，即，由余弦定理，又，所以，則，即，即，解得，即的取值范圍為.故答案為：四?解答題（本題共5小題，共計(jì)77分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）15.已知平面向量．（1）若，求；（2）若，求向量與的夾角．解：（1）因?yàn)?，所以即，即，即，所以，所以；?）由題意可得又因，所以，解得，所以所以，即又因?yàn)?，所?16.已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位，），且為純虛數(shù).（1）設(shè)復(fù)數(shù)，求；（2）設(shè)復(fù)數(shù)，且復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）.又為純虛數(shù)，，解得.；（2），又復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，，解得：.17.現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉庫，由上、下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐，下部的形狀是正四棱柱(如圖所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱錐的高的4倍.（1）若，，則倉庫的容積是多少？（2）若正四棱錐的側(cè)棱長為，當(dāng)為多少時(shí)，下部的正四棱柱側(cè)面積最大，最大面積是多少？解：（1）由知.因?yàn)?，所以正四棱錐的體積正四棱柱的體積所以倉庫的容積.（2）設(shè)，下部分的側(cè)面積為，則，，，設(shè)，當(dāng)，即時(shí)，，.即當(dāng)為時(shí)，下部分正四棱柱側(cè)面積最大，最大面積是.18.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答問題.已知是的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且__________.（1）求；（2）若，求銳角的周長的取值范圍.解：（1）選①，由，可得，因?yàn)榧罢叶ɡ恚傻?，所以，整理得，則，因?yàn)?，所以；選②，由，可得，即，因?yàn)?，可得，所以，即；選③，由，由正弦定理得，即，即，整理得，因?yàn)?，可得，即，因?yàn)椋?（2）由，可得，故，所以周長，又由，可得，，又因?yàn)槭卿J角三角形，所以，即，解得，可得，所以，所以，所以的周長的取值范圍為.19.對(duì)于三維向量，定義“變換”：，其中.記.（1）若，求及；（2）已知，（i）求的值；（ii）將再經(jīng)過次變換后，最小，求的最小值.解：（1）由，得，，所以.（2）（i）設(shè)，由，則有或，當(dāng)時(shí)，得，三式相加得，又，解得，當(dāng)時(shí)，也得，因此，所以.（ii）設(shè)的三個(gè)分量為這三個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，的三個(gè)分量為這三個(gè)數(shù)，則；當(dāng)時(shí)，的三個(gè)分量為，則的三個(gè)分量為的三個(gè)分量為，因此，由，得，而，則任意的三個(gè)分量始終為偶數(shù)，且都有一個(gè)分量等于2，于是的三個(gè)分量只能是三個(gè)數(shù)，的三個(gè)分量只能是三個(gè)數(shù).因此當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為505.浙江省寧波市六校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C.4 D.【答案】C【解析】由題意，，所以的虛部為4.故選：C.2.如圖所示，用符號(hào)語言可表達(dá)為（）A.，，B.，，C.，，，D.，，，【答案】A【解析】如圖所示，兩個(gè)平面與相交于直線，直線在平面內(nèi)，直線和直線相交于點(diǎn)，故用符號(hào)語言可表達(dá)為，，，故選：A3.在中，已知，則（）A.5 B.3 C. D.1【答案】B【解析】,故,解得,故選：B4.如圖，是水平放置的用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖（圖中虛線分別與軸和軸平行），，，則的面積為（）A. B. C.24 D.48【答案】D【解析】由直觀圖可得如下平面圖形：其中，，，軸，且，所以.故選：D5.在中，設(shè)，，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意.故選：D.6.下面關(guān)于空間幾何體的敘述：①底面是正多邊形的棱錐是正棱錐；②有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)；③正四棱柱都是長方體；④直角三角形以其直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐；⑤平行六面體是六棱柱.其中敘述正確的有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【解析】對(duì)①：底面是正多邊形且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影為底面中心的棱錐是正棱錐，故①錯(cuò)誤；對(duì)②：將兩個(gè)相同的棱臺(tái)的底面重合得到的多面體滿足有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是梯形，但是這樣的多面體不是棱臺(tái)，故②錯(cuò)誤；對(duì)③：因?yàn)檎睦庵堑酌鏋檎叫蔚闹崩庵?，所以正四棱柱都是長方體，故③正確；對(duì)④：根據(jù)圓錐的概念可知，④正確；對(duì)⑤：平行六面體是四棱柱，故⑤錯(cuò)誤.故選：B7.碧津塔是著名景點(diǎn)·某同學(xué)為了測(cè)量碧津塔的高，他在山下A處測(cè)得塔尖D的仰角為，再沿方向前進(jìn)24.4米到達(dá)山腳點(diǎn)B，測(cè)得塔尖點(diǎn)D的仰角為，塔底點(diǎn)E的仰角為，那么碧津塔高約為（，）（）A.37.54 B.38.23 C.39.53 D.40.52【答案】B【解析】在中，，則，，由正弦定理得，則，在中，，則，在中，，則，又，因此，，所以碧津塔高約為38.23米.故選：B8.如圖，中，.在所在的平面內(nèi)，有一個(gè)邊長為1的正方形繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（不少于1周），則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在中，由余弦定理可得：.所以.又四邊形是邊長為1的正方形，所以，.因?yàn)?又，，因?yàn)?，所以，所?所以.故選：B二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知，則下列結(jié)論中正確的是（）.A..B.與的夾角余弦值為.C.與同向共線的單位向量是.D.向量在向量上的投影向量為.【答案】ACD【解析】，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C正確；向量在向量上的投影向量為，故D正確.故選：ACD.10.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，下列說法中正確的是（）A.若，則為等腰三角形B.若，則C.若為銳角三角形，則D.若，則解的個(gè)數(shù)為2【答案】BC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：例如，則，，滿足，但不為等腰三角形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，可得，且，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若為銳角三角形，則，且，可得，則，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由余弦定理，即，可得，方程無解，所以解的個(gè)數(shù)為0，故D錯(cuò)誤；故選：BC.11.在意大利，有一座滿是“斗笠”的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛，這些圓錐形屋頂?shù)钠嫣匦∥菝?，?996年被收入世界文化遺產(chǎn)名錄．現(xiàn)測(cè)量一個(gè)的屋頂，得到圓錐（其中為頂點(diǎn)，為底面圓心），母線的長為，是母線的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)．從點(diǎn)到點(diǎn)繞屋頂側(cè)面一周安裝燈光帶，燈光帶的最小長度為．下面說法正確的是（）A.圓錐的側(cè)面積為 B.過點(diǎn)的平面截此圓錐所得截面面積最大值為C.圓錐的外接球的表面積為 D.棱長為的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)【答案】ABD【解析】對(duì)于A，設(shè)圓錐底面半徑為，如圖，在中，，，，∴，∴，所以，（米），所以圓錐的側(cè)面積為（），故A正確；對(duì)于B，在中，，所以，所以過點(diǎn)平面截此圓錐所得截面面積最大為（），故B正確；對(duì)于C，設(shè)圓錐的外接球半徑為，則，又，所以，∴，圓錐的外接球表面積為，故C不正確；對(duì)于D，設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為，則，∴，在棱長為米的正四面體中，設(shè)其外接球半徑為，則此正四面體的底面外接圓半徑為，高為，所以，所以，因?yàn)?，所以棱長為米的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，故D正確.故選：ABD三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.）12.已知i是虛數(shù)單位，則_________．【答案】【解析】，則，故答案為：.13.如圖，設(shè)是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，分別是與軸、軸正方向同向的單位向量.若向量，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo).設(shè)向量在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為，則__________.【答案】【解析】由平面向量數(shù)量積的定義可得，由題意可得，，所以.故答案為：.14.在中，內(nèi)角對(duì)應(yīng)的邊分別為，若，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】因?yàn)?，由正弦定理可得，即，由余弦定理，又，所以，則，即，即，解得，即的取值范圍為.故答案為：四?解答題（本題共5小題，共計(jì)77分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）15.已知平面向量．（1）若，求；（2）若，求向量與的夾角．解：（1）因?yàn)?，所以即，即，即，所以，所以；?）由題意可得又因，所以，解得，所以所以，即又因?yàn)椋?16.已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位，），且為純虛數(shù).（1）設(shè)復(fù)數(shù)，求；（2）設(shè)復(fù)數(shù)，且復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）.又為純虛數(shù)，，解得.；（2），又復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，，解得：.17.現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉庫，由上、下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐，下部的形狀是正四棱柱(如圖所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱錐