高等工程數(shù)學(xué)考試及答案一、單項選擇題1.下列關(guān)于矩陣的說法，正確的是（）A.矩陣的行數(shù)和列數(shù)必須相等B.零矩陣是所有元素都為0的矩陣C.單位矩陣是對角線上元素為1，其余元素為0的矩陣D.兩個矩陣相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的對應(yīng)元素相等答案：D2.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性相關(guān)，則（）A.存在不全為0的數(shù)\(k_1,k_2,k_3\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0\)B.其中必有一個向量是零向量C.其中必有兩個向量成比例D.其中必有一個向量可以由其余向量線性表示答案：A3.設(shè)\(A\)為\(n\)階矩陣，\(\lambda\)為\(A\)的特征值，則下列結(jié)論不正確的是（）A.若\(\lambda=0\)，則\(A\)不可逆B.若\(\lambda\neq0\)，則\(A\)可逆C.\(A\)的行列式等于其所有特征值的乘積D.\(A\)的跡等于其所有特征值的和答案：B4.已知線性方程組\(Ax=b\)有解，則（）A.\(r(A)\ltr(A,b)\)B.\(r(A)=r(A,b)\)C.\(r(A)\gtr(A,b)\)D.\(r(A)\)與\(r(A,b)\)的關(guān)系不確定答案：B5.設(shè)\(f(x)\)在\(x=0\)處可導(dǎo)，且\(f(0)=0\)，則\(\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}\)等于（）A.\(f(0)\)B.\(f^\prime(0)\)C.0D.不存在答案：B6.下列函數(shù)中，在\(x=0\)處不可導(dǎo)的是（）A.\(y=x^2\)B.\(y=|x|\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=e^x\)答案：B7.設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，在\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)，且\(f(a)=f(b)\)，則在\((a,b)\)內(nèi)至少存在一點\(\xi\)，使得（）A.\(f^\prime(\xi)=0\)B.\(f(\xi)=0\)C.\(f^\prime(\xi)\gt0\)D.\(f^\prime(\xi)\lt0\)答案：A8.定積分\(\int_{0}^{1}e^xdx\)的值為（）A.\(e-1\)B.\(e\)C.\(e+1\)D.\(1-e\)答案：A9.設(shè)\(D\)是由\(y=x\)，\(y=2x\)，\(x=1\)所圍成的區(qū)域，則\(\iint_{D}xydxdy\)的值為（）A.\(\frac{1}{8}\)B.\(\frac{1}{4}\)C.\(\frac{3}{8}\)D.\(\frac{1}{2}\)答案：A10.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)的和為（）A.1B.0C.\(\frac{1}{2}\)D.不存在答案：A二、多項選擇題1.下列矩陣中為對稱矩陣的有（）A.\(A^T\)（\(A\)為任意矩陣）B.\(A+A^T\)（\(A\)為任意矩陣）C.\(AA^T\)（\(A\)為任意矩陣）D.\(A^TA\)（\(A\)為任意矩陣）答案：BD2.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性無關(guān)的充分必要條件是（）A.存在不全為0的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s\neq0\)B.向量組中任意一個向量都不能由其余向量線性表示C.向量組的秩等于向量的個數(shù)\(s\)D.向量組中任意兩個向量都線性無關(guān)答案：BC3.設(shè)\(A\)為\(n\)階矩陣，\(\lambda\)為\(A\)的特征值，則下列結(jié)論正確的有（）A.\(k\lambda\)是\(kA\)的特征值（\(k\)為常數(shù)）B.\(\lambda^2\)是\(A^2\)的特征值C.若\(A\)可逆，則\(\frac{1}{\lambda}\)是\(A^{-1}\)的特征值D.若\(A\)可逆，則\(\lambda^{-1}\)是\(A^*\)的特征值答案：ABCD4.下列函數(shù)在\(x=0\)處可導(dǎo)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\ln(1+x)\)D.\(y=\sqrt[3]{x}\)答案：ABCD5.下列廣義積分收斂的有（）A.\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x}dx\)B.\(\int_{e}^{+\infty}\frac{1}{x\lnx}dx\)C.\(\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx\)D.\(\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx\)答案：CD三、判斷題1.若矩陣\(A\)的行列式\(\vertA\vert=0\)，則\(A\)不可逆。（）答案：對2.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)，則其中任意一個向量都可以由其余向量線性表示。（）答案：錯3.若\(\lambda\)是矩陣\(A\)的特征值，則\(k\lambda\)是\(kA\)的特征值（\(k\)為常數(shù)）。（）答案：對4.若函數(shù)\(f(x)\)在\(x=x_0\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x_0\)處必連續(xù)。（）答案：對5.若廣義積分\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)收斂，則\(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0\)。（）答案：錯6.設(shè)\(D\)是由\(y=x\)，\(y=2x\)，\(x=1\)所圍成的區(qū)域，則\(\iint_{D}(x+y)dxdy=\int_{0}^{1}dx\int_{x}^{2x}(x+y)dy\)。（）答案：對7.若級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收斂，則\(\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0\)。（）答案：對8.若冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)在\(x=2\)處收斂，則在\(x=-2\)處必發(fā)散。（）答案：錯9.若函數(shù)\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上必有界。（）答案：對10.若\(f(x)\)在\(x=0\)處可導(dǎo)，則\(f^\prime(0)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h}\)。（）答案：對四、簡答題1.簡述矩陣的秩的定義及其性質(zhì)。矩陣的秩是矩陣中線性無關(guān)的行（列）向量的最大個數(shù)。性質(zhì)包括：矩陣的秩不超過矩陣的行數(shù)和列數(shù)；若\(A\)為\(m\timesn\)矩陣，則\(0\leqr(A)\leqmin\{m,n\}\)；若\(A\)可逆，則\(r(A)=n\)等。2.說明向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)的判定方法。若存在不全為0的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)，則向量組線性相關(guān)；若只有當(dāng)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)全為0時，\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)才成立，則向量組線性無關(guān)。還可通過向量組的秩與向量個數(shù)的關(guān)系等來判定。3.解釋函數(shù)在某點可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。若函數(shù)\(f(x)\)在\(x=x_0\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x_0\)處必連續(xù)；但函數(shù)在某點連續(xù)，不一定在該點可導(dǎo)，如\(y=|x|\)在\(x=0\)處連續(xù)但不可導(dǎo)。4.簡述定積分的幾何意義。定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)表示由曲線\(y=f(x)\)，直線\(x=a\)，\(x=b\)及\(x\)軸所圍成的曲邊梯形的面積的代數(shù)和（在\(x\)軸上方的面積為正，下方為負(fù)）。五、討論題1.討論矩陣的初等變換對矩陣的秩的影響。經(jīng)過初等行變換，矩陣的秩不變；經(jīng)過初等列變換，矩陣的秩也不變。因為初等變換不改變矩陣的線性相關(guān)性，所以不會改變矩陣的秩。例如，將矩陣的某一行乘以非零常數(shù)，矩陣的秩不變；將矩陣的某一行加上另一行的倍數(shù)，矩陣的秩也不變。2.探討向量組線性相關(guān)與線性方程組解的關(guān)系。若向量組線性相關(guān)，則對應(yīng)的齊次線性方程組有非零解；若向量組線性無關(guān)，則對應(yīng)的齊次線性方程組只有零解。例如，對于向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)，若它們線性相關(guān)，那么存在不全為0的數(shù)\(k_1,k_2,k_3\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0\)，這就相當(dāng)于齊次線性方程組\(Ax=0\)有非零解，其中\(zhòng)(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\)。3.分析函數(shù)可導(dǎo)性與極值點的關(guān)系?？蓪?dǎo)函數(shù)的極值點必是導(dǎo)數(shù)為0的點，但導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點。例如，\(y=x^3\)在\(x=0\)處導(dǎo)數(shù)為0，但\(x=0\)不是極值