課時(shí)2二項(xiàng)式定理一、課標(biāo)要求1．能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理．2．會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題．二、知識(shí)梳理1．二項(xiàng)式定理及相關(guān)概念名稱含義二項(xiàng)式定理(a＋b)eq\s\up1(n)＝______________________________，(n∈eqN\s\up1(*))．二項(xiàng)展開(kāi)式二項(xiàng)式定理右邊的多項(xiàng)式叫做(a＋b)eq\s\up1(n)的二項(xiàng)展開(kāi)式二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)eqT\s\do1(k＋1)＝______________，是二項(xiàng)展開(kāi)式的第_______項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)______________，其中r＝0，1，2，…，n．2．二項(xiàng)展開(kāi)式的形式特點(diǎn)及注意點(diǎn)(1)項(xiàng)數(shù)：展開(kāi)式共有_______項(xiàng)；(2)順序：字母a，b順序不能改變，(a＋b)eq\s\up1(n)與(b＋a)eq\s\up1(n)的展開(kāi)式是不同的；(3)指數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n；字母a按_______排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到0；字母b按_______排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由0逐項(xiàng)增1直到n．3．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對(duì)稱性Ceq\o(\s\up1(m),\s\do1(n))＝_______雙肩和Ceq\o(\s\up1(m),\s\do1(n))＋_______＝Ceq\o(\s\up1(m),\s\do1(n＋1))增減性當(dāng)k＜_______時(shí)，Ceq\o(\s\up1(k),\s\do1(n))＜Ceq\o(\s\up1(k＋1),\s\do1(n))；當(dāng)k＞eq\f(n－1,2)時(shí)，_____＜Ceq\o(\s\up1(k),\s\do1(n))最大值若n為偶數(shù)，當(dāng)k＝_______時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)Ceq\o(\s\up1(k),\s\do1(n))最大；若n為奇數(shù)，當(dāng)k＝_______或_______時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)Ceq\o(\s\up1(k),\s\do1(n))最大；和二項(xiàng)式系數(shù)和Ceq\o(\s\up1(0),\s\do1(n))＋Ceq\o(\s\up1(1),\s\do1(n))＋Ceq\o(\s\up1(2),\s\do1(n))＋Ceq\o(\s\up1(3),\s\do1(n))＋…＋Ceq\o(\s\up1(n),\s\do1(n))＝_______；奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和Ceq\o(\s\up1(0),\s\do1(n))＋Ceq\o(\s\up1(2),\s\do1(n))＋…＝_______；偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和Ceq\o(\s\up1(1),\s\do1(n))＋Ceq\o(\s\up1(3),\s\do1(n))＋…＝_______．【拓展知識(shí)】1．二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別在eqT\s\do1(k＋1)＝Ceq\o(\s\up1(k),\s\do1(n))eqa\s\up1(n－k)eqb\s\up1(k)中，Ceq\o(\s\up1(k),\s\do1(n))就是該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，它與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，與a，b的值無(wú)關(guān)；而eqT\s\do1(k＋1)項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與項(xiàng)數(shù)有關(guān)，也與a，b的值有關(guān)．若a，b為常數(shù)，在(a＋bx)eq\s\up1(n)的二項(xiàng)展開(kāi)式中，第（k＋1）項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是Ceq\o(\s\up1(k),\s\do1(n))，系數(shù)是Ceq\o(\s\up1(k),\s\do1(n))eqa\s\up1(n－k)eqb\s\up1(k)．2．三項(xiàng)展開(kāi)式中的項(xiàng)對(duì)于任意正整數(shù)n，某個(gè)k(k∈{0，1，2，…，n})，l(l∈{0，1，2，…，n－k})，在(a＋b＋c)eq\s\up1(n)的展開(kāi)式中，含eqa\s\up1(k)eqb\s\up1(l)eqc\s\up1(n－k－l)項(xiàng)的系數(shù)為Ceq\o(\s\up1(k),\s\do1(n))Ceq\o(\s\up1(l),\s\do1(n－k))．三、基礎(chǔ)回顧1．判斷正誤.(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)乘積(eqa\s\do1(1)＋eqa\s\do1(2)＋eqa\s\do1(3))(eqb\s\do1(1)＋eqb\s\do1(2)＋eqb\s\do1(3))(eqc\s\do1(1)＋eqc\s\do1(2)＋eqc\s\do1(3)＋eqc\s\do1(4)＋eqc\s\do1(5))展開(kāi)后共有11項(xiàng)． ()(2)(a＋b)eq\s\up1(n)的二項(xiàng)展開(kāi)式中，第k項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是Ceq\o(\s\up1(k),\s\do1(n))． ()(3)(a＋b)eq\s\up1(n)的二項(xiàng)展開(kāi)式中，若有兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n為奇數(shù)． ()(4)已知(1＋x)eq\s\up1(n)的展開(kāi)式中第4項(xiàng)和第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則n的值為10． ()2．(x＋1)n的展開(kāi)式中，含xeq\s\up1(2)項(xiàng)的系數(shù)為15，則n＝ ()A．7 B．6 C．5 D．43．(多選題)關(guān)于(x－eq\f(1,x))eq\s\up1(9)的二項(xiàng)展開(kāi)式，下列說(shuō)法正確的有 ()A．存在常數(shù)項(xiàng) B．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)和第6項(xiàng)C．系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng) D．系數(shù)最小的項(xiàng)是第6項(xiàng)4．已知(1＋x)eq\s\up1(n)二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)和為32，則n＝_______，(1＋x)＋(1＋x)eq\s\up1(2)＋(1＋x)eq\s\up1(3)＋…＋(1＋x)eq\s\up1(n)展開(kāi)式中，含xeq\s\up1(2)項(xiàng)的系數(shù)是_______．四、考點(diǎn)掃描考點(diǎn)一二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)例1(1)（2024·江蘇鎮(zhèn)江市階段練習(xí)）若的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為20，則（

）A． B． C． D．（2）（2024·天津卷）的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____．規(guī)律方法：對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)(多選題)(2024·江蘇如皋市模擬)已知的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的系數(shù)之比為3∶14，則下列結(jié)論成立的有()A．n＝10B．展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為45C．含x5的項(xiàng)的系數(shù)為210D．展開(kāi)式中的有理項(xiàng)有5項(xiàng)(2)（2024?安徽蕪湖一中月考）(1－ax2)·(1＋x)4的展開(kāi)式中，含x3項(xiàng)的系數(shù)為12，則a＝________.考點(diǎn)二二項(xiàng)式系數(shù)與展開(kāi)式的項(xiàng)的系數(shù)考向1系數(shù)和例2設(shè)(－1＋x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7(x∈R)．求：(1)各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和；(2)a1＋a3＋a5＋a7的值；(3)eq|a0eq|＋eq|a1eq|＋…＋eq|a7eq|的值．規(guī)律方法：對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（1）（2023春·廣東湛江市期中）若，，則（

）A． B．C． D．（2）（2023春·江蘇淮安市階段練習(xí)）若，且，則=（

）A．650 B．405 C．810 D．1620（3）(多選題)(2023·重慶市模擬)已知(1－2x)2024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023＋a2024x2024，則()A．展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為第1012項(xiàng)B．展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為1C.eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋eq\f(a3,23)＋…＋eq\f(a2023,22023)＋eq\f(a2024,22024)＝－1D．a(chǎn)1＋2a2＋3a3＋…＋2023a2023＋2024a2024＝4048考向2最值例3(1)已知(mx＋1)n(n∈N*，m∈R)的展開(kāi)式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，設(shè)(mx＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＝8，則a2＋a3＋…＋an=()A．63B．64C．247D．255（2）（2024·全國(guó)甲卷）的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)的最大值是______．規(guī)律方法：對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（1）已知的二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則下列結(jié)論正確的是()A．二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為37B．二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為C．二項(xiàng)展開(kāi)式中無(wú)常數(shù)項(xiàng)D．二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為240x3（2）(多選題)若(3x－2)2025＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2025x2025(x∈R)，則()A．a(chǎn)0＝22025B．a(chǎn)0＋a2＋a4＋…＋a2024＝eq\f(1－52025,2)C．a(chǎn)1＋a3＋a5＋…＋a2025＝eq\f(－52025－1,2)D.eq\f(a1,3)＋eq\f(a2,32)＋eq\f(a3,33)＋…＋eq\f(a2025,32025)＝22025－1考點(diǎn)三二項(xiàng)式定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用例4(1)設(shè)a∈eqZ，且0≤a＜8，若55eq\s\up1(55)＋a能被8整除，則a＝ ()A．0 B．1 C．6 D．7（2）（2024·福建三明市高三期末）利用二項(xiàng)式定理計(jì)算1.056，則其結(jié)果精確到0.01的近似值是()A．1.23B．1.24C．1.33D．1.34（3）的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是______.