課時7正態(tài)分布二、知識梳理1．正態(tài)密度曲線2.(1)上方(2)x＝μ(3)x＝μ(4)1(5)μ(6)較小較大3.X～N(μ，σeq\s\up1(2))均值方差4．(1)0.6827(2)0.9545(3)0.9973三、基礎(chǔ)回顧1．(1)√【解析】正態(tài)分布中參數(shù)μ是正態(tài)分布的均值，σ是正態(tài)分布的標準差．(2)×【解析】正態(tài)分布的曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，恒在x軸上方，與x軸不相交．所以錯誤．(3)×【解析】若X～N(0，1)，則P(X≤0)＝0.5．所以錯誤．(4)√【解析】因為P(－a＜X＜a)＋P(X≤－a)＋P(X≥a)＝1，所以P(0＜X＜a)＝eq\f(1,2)[1－P(eq|Xeq|≥a)]．2．C【解析】因為σ越小正態(tài)曲線越瘦高，變量分布越集中，由題意知變量X的標準差2小于變量Y的標準差3，所以P(eq|Xeq|≤1)＞P(eq|Yeq|≤1)．故選C．3．ABD【解析】C，因為X～N(μ，σeq\s\up1(2))，所以P(X≤a)表示區(qū)間(－∞，a]上的面積，就隨a的增大而增大．所以C錯誤．由性質(zhì)可知，ABD正確．故選ABD．4．eq\f(4,3)【解析】因為X～N(3,1)，所以正態(tài)曲線關(guān)于x＝3對稱．因為P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，所以2c－1＋c＋3＝3×2，所以c＝eq\f(4,3)．四、考點掃描例1(1)【答案】B【解析】因為，所以σ＝2，μ＝10，即正態(tài)總體的平均數(shù)與標準差分別為10，2．故選B．（2）【答案】BC【解析】依題可知，，所以，故，C正確，D錯誤；因為，所以，因為，所以，而，B正確，A錯誤，故選BC．【答案】AC【解析】由隨機變量，隨機變量知，A正確，B錯誤；由于隨機變量服從正態(tài)分布，對稱軸為,所以，C正確；由于隨機變量，均服從正態(tài)分布，且對稱軸均為軸,但是，在正態(tài)密度曲線中，的峰值較高，正態(tài)曲線越瘦高，隨機變量分布比較集中，所以，D錯誤.故選AC.對點訓(xùn)練(1)【答案】C【解析】因為P(ξ＜2)＝P(ξ＞6)＝0.1，所以μ＝eq\f(1,2)×(2＋6)＝4．所以P(2≤ξ＜4)＝eq\f(1,2)－P(ξ＜2)＝0.4．故選C．【答案】B【解析】依題意，對任意正實數(shù)，.因為，所以，A錯誤，B正確；，C錯誤；因為，所以，D錯誤.故選B.【答案】AC【解析】X，Y均服從正態(tài)分布，X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，結(jié)合正態(tài)密度函數(shù)的圖象可知，μ1＝μ2，σ1<σ2，故甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值等于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值，故A正確，B錯誤；甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性，故C正確，D錯誤.故選AC.例2【答案】AD【解析】由條件知，設(shè)生產(chǎn)線甲正常情況下生產(chǎn)出來的包裝食鹽的質(zhì)量為，其中，其中，，則，A正確；對于B，隨機變量x服從正態(tài)密度函數(shù)，可知，，，所以生產(chǎn)線乙的食鹽質(zhì)量，B錯誤；對于C，不一定，可能小概率事件發(fā)生，生產(chǎn)線乙產(chǎn)出的包裝食鹽比生產(chǎn)線甲產(chǎn)出的包裝食鹽質(zhì)量輕，C錯誤；對于D，，說明生產(chǎn)線甲抽到質(zhì)量大于515g的可能性很低，所以隨機抽取兩包質(zhì)量均大于515g，說明判斷出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異常是合理的，D正確.故選AD.對點訓(xùn)練BD【解析】對于A，由題意知，數(shù)學(xué)考試成績X的平均值為90，故A錯誤；對于B，根據(jù)N(90，σ2)(σ>0)中標準差的意義，σ的值越大則高于90分低于100分的人數(shù)越少，所以成績不低于100分的人數(shù)越多，故B正確；對于C，當σ＝15時，P(X>120)＝eq\f(1,2)[1－P(60≤X≤120)]≈eq\f(1,2)×(1－0.954)＝0.023，故這次考試分數(shù)高于120的約有20000×0.023＝460(人)，故C錯誤；對于D，由數(shù)學(xué)考試成績X近似服從正態(tài)分布N(90，σ2)(σ>0)知P(X>90)＝eq\f(1,2)，由n重伯努利試驗可知，從參加考試的同學(xué)中任取3人，至少有2人的分數(shù)超過90的概率為＝eq\f(3,8)＋eq\f(1,8)＝eq\f(1,2)，故D正確.故選BD.例3【解】（1）設(shè)此次測試的成績記為，則.由題意知，.因為，且，所以.因為，且，所以前400名的成績的最低分低于分.又，所以甲能被錄用.當時，.又，所以甲能被錄用為臨時工.（2）假設(shè)乙所說的為真，則.因為，且，所以，則，而.示例1：可以認為乙同學(xué)信息為假.理由如下：事件“”為小概率事件，即“丙同學(xué)的成績?yōu)?30分”是小概率事件，可認為其不可能發(fā)生，但卻又發(fā)生了，所以可認為乙同學(xué)信息為假；示例2：無法辨別乙同學(xué)信息真假.理由如下：事件“”即“丙同學(xué)的成績?yōu)?30分”發(fā)生的概率雖然很小，一般不容易發(fā)生，但是還是有可能發(fā)生的，所以無法辨別乙同學(xué)信息真假.對點訓(xùn)練【解】(1)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.35＋85×0.3＋95×0.05＝75．eqs\s\up1(2)＝(55－75)eq\s\up1(2)×0.1＋(65－75)eq\s\up1(2)×0.2＋(75－75)eq\s\up1(2)×0.35＋(85－75)eq\s\up1(2)×0.3＋(95－75)eq\s\up1(2)×0.05＝110．(2)由(1)知，μ＝75，σ＝eq\r(110)≈10.5，Z～N(75，10.5eq\s\up1(2))．所以P(54≤Z≤85.5)＝P(μ－2σ≤Z≤μ＋σ)＝P(μ－2σ≤Z≤μ)＋P(μ＜Z≤μ＋σ)＝eq\f(1,2)P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)＋eq\f(1,2)P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)＝eq\f(1,