1/13.2.2雙曲線性質(zhì)（精講）考點一直線與雙曲線的位置關系【例1-1】“直線與雙曲線有且僅有一個公共點”是“直線與雙曲線相切”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】B【解析】充分性：因為“直線與雙曲線有且僅有一個公共點”，所以直線與雙曲線相切或直線與進行平行.故充分性不滿足；必要性：因為“直線與雙曲線相切”，所以“直線與雙曲線有且僅有一個公共點”.故必要性滿足.所以“直線與雙曲線有且僅有一個公共點”是“直線與雙曲線相切”的必要非充分條件.故選：B【例1-2】過點P（4，4）且與雙曲線只有一個交點的直線有（

）．A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【解析】雙曲線方程為：，當k不存在時，直線為x＝4，與1的圖象有且只有一個公共點，當k存在時，直線為：y＝k（x﹣4）+4，代入雙曲線的方程可得：，（1）若＝0，k時，y＝（x﹣4）+4與雙曲線的漸近線yx平行，所以與雙曲線只有1個公共點，（2）k時，，即k，此時直線y（x﹣4）+4與雙曲線相切，只有1個公共點．綜上過點P（4，4）且與該雙曲線只有一個公共點的直線4條．故選：D.【例1-3】已知直線l的方程為，雙曲線C的方程為.若直線l與雙曲線C的右支相交于不同的兩點，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】聯(lián)立整理得，因為直線與雙曲線的右支交于不同的兩點，所以，解得，所以實數(shù)k的取值范圍為.選：D.【一隅三反】1．直線與雙曲線的位置關系是（）A．相切 B．相交 C．相離 D．無法確定【答案】B【解析】由得

整理得，；所以，故直線和雙曲線只有一個交點；又雙曲線的漸近線方程為：，與雙曲線的一條漸近線平行且與雙曲線只有一個交點.所以直線和雙曲線的位置關系為相交．故選：B2．若直線l經(jīng)過雙曲線的中心，且與該雙曲線不相交，則l的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】依題意知，直線的斜率存在，設為，雙曲線的中心為，因為直線經(jīng)過雙曲線的中心，所以設直線方程為，由，消去得，，因為直線與該雙曲線不相交，所以方程沒有實數(shù)根，所以即，解得：或.所以直線l的斜率的取值范圍是：.故選：B.3．若過點P（0，1）作直線l，使l與雙曲線有且僅有一個公共點，則直線l的方程為______．【答案】2x－y＋1＝0，2x＋y－1＝0，，【解析】當直線斜率不存在時，顯然不合題意所以可設直線方程為，聯(lián)立，得，①當，即或，方程只有一解，直線與雙曲線有且僅有一個公共點，此時，直線方程為，②當，即，要使直線與雙曲線有且僅有一個公共點，則，解得，此時，直線方程為，綜上所述，直線的方程為或.故答案為：2x－y＋1＝0，2x＋y－1＝0，，.考點二直線與雙曲線的弦長【例2-1】已知雙曲線C：的一條漸近線方程是，過其左焦點作斜率為2的直線l交雙曲線C于A，B兩點，則截得的弦長（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】雙曲線C：的一條漸近線方程是，，即左焦點，，，，，雙曲線C的方程為易知直線l的方程為，設，，由，消去y可得，，故選：D【例2-2】已知曲線C：x2﹣y2＝1及直線l：y＝kx﹣1．且直線l與雙曲線C有兩個不同的交點A，B．(1)求實數(shù)k的取值范圍；(2)O是坐標原點，且△AOB的面積為，求實數(shù)k的值．【答案】(1){k|k，且k≠±1}(2)【解析】（1）設A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，整理可得（1﹣k2）x2+2kx﹣2＝0，當時，直線l與雙曲線由兩個不同的交點，即，所以k的取值范圍為{x|k，且k≠±1}；（2）由（1）可知x1+x2，x1x2，所以弦長|AB|，原點O到直線AB的距離d，所以S△AOB|AB|d，由題意，解得：k＝±符合題意，所以實數(shù)k的值為．【一隅三反】1．雙曲線的兩條漸近線的方程為，且經(jīng)過點．過雙曲線的右焦點且傾斜角為的直線交雙曲線于，兩點，則的值為___________?！敬鸢浮俊窘馕觥坑深}意，雙曲線的兩條漸近線的方程為，可設雙曲線的方程為，又因為雙曲線過點，代入方程可得，即所求雙曲線的方程為，且右焦點為，設，過焦點且傾斜角為的直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，則弦長，即弦長的值為．2．已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），右頂點為（，0）．(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線l：y＝x+2與雙曲線交于A，B兩點，求弦長|AB|．【答案】(1)y2＝1(2)2【解析】(1)由已知得a，c＝2，再由c2＝a2+b2，得b2＝1，所以雙曲線C的方程為y2＝1．(2)由直線與雙曲線聯(lián)立得2x2+12x+15＝0，解得x＝﹣3±,,∴|AB|2．考點三雙曲線的中點弦【例3-1】直線l交雙曲線于A，B兩點，且為AB的中點，則l的斜率為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】設點，，因為AB的中點，則有，又點A，B在雙曲線上，則，即，則l的斜率，此時，直線l的方程：，由消去y并整理得：，，即直線l與雙曲線交于兩點，所以l的斜率為2.故選：C【例3-2】已知雙曲線的兩個頂點分別為，，點為雙曲線上除，外任意一點，且點與點，連線的斜率為，，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】設，，，，，，，．故選：D．【例3-3】已知A，B，P是雙曲線（，）上不同的三點，且點A，B連線經(jīng)過坐標原點，若直線PA，PB的斜率乘積為，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，，根據(jù)對稱性，知，所以．因為點A，P在雙曲線上，所以，兩式相減，得，所以，所以．故選：D.【一隅三反】1．已知雙曲線的離心率為2，過點的直線與雙曲線C交于A，B兩點，且點P恰好是弦的中點，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知得，又，，可得.則雙曲線C的方程為.設，，則兩式相減得，即.又因為點P恰好是弦的中點，所以，，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.經(jīng)檢驗滿足題意，故選：C2．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過左焦點作斜率為2的直線與雙曲線交于A，B兩點，P是AB的中點，O為坐標原點，若直線OP的斜率為，則雙曲線的離心率是（

）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】，，則，，兩式相減得，所以因為P是AB的中點，所以，，因為直線OP的斜率為，所以，因為過左焦點作斜率為2的直線與雙曲線交于A，B兩點，所以，所以，，得，所以，所以離心率為故選：A3．已知斜率為的直線與雙曲線相交于、兩點，為坐標原點，的中點為，若直線的斜率為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設、、，則，兩式相減得，所以．因為，，所以．因為，，所以，故，故．故選：A.4．已知雙曲線的中心為原點，是的焦點，過的直線與相交于，兩點，且的中點為，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】直線的方程為：，即，設雙曲線的方程為：，由消去y并整理得：，，因弦的中點為，于是得，即，而，解得，滿足，所以雙曲線的方程為，即.故選：C考點四雙曲線的綜合運用【例4】（多選）已知雙曲線，則（

）A．雙曲線C的焦距為B．雙曲線的頂點坐標為C．雙曲線C的虛軸長是實軸長的倍D．雙曲線與雙曲線C的漸近線相同【答案】CD【解析】因為，，所以，，焦距為，故A錯誤；因為頂點坐標為，故B錯誤；因為，故C正確；雙曲線與雙曲線C的漸近線均為直線，故D正確．故選：CD【一隅三反】1．（多選）已知雙曲線，則（

）A．離心率的最小值為4B．當時離心率最小C．離心率最小時雙曲線的標準方程為D．離心率最小時雙曲線的漸近線方程為【答案】CD【解析】由題意可得．因為，所以，即，當且僅當，即時取等號．此時雙曲線方程是，漸近線方程是．故選：CD2．（多選）已知雙曲線的一條漸近線方程為，過點作直線交該雙曲線于和兩點，則下列結論中正確的有（

）A．該雙曲線的焦點在哪個軸不能確定B．該雙曲線的離心率為C．若和在雙曲線的同一支上，則D．若和分別在雙曲線的兩支上，則【答案】BC【解析】對于A選項，若雙曲線的焦點在軸上，則，可得，且有，解得，則雙曲線的方程為，其焦點在軸上；若雙曲線的焦點在軸上，則雙曲線的標準方程為，則，可得，且有，無解，A錯；對于B選項，，，，所以，雙曲線的離心率為，B對；對于CD選項，當直線不與軸重合時，設直線的方程為，設點、，聯(lián)立可得，則，解得，由韋達定理可得，，，，.若和在雙曲線的同一支上，則，可得，則，C對；若和分別在雙曲線的兩支上且直線不與軸重合時，，可得，則，若直線與軸重合，則、分別為雙曲線的兩個頂點，則，故當和分別在雙曲線的兩支上時，，D錯.故選：BC.3．已知雙曲線，，是其兩個焦點，點M在雙曲線上.(1)若，求的面積；(2)若，則面積是多少？(3)觀察以上計算結果，你能看出隨的變化，的面積將怎樣變化嗎？試證明你的結論.【答案】(1)9；(2)；(3)隨的增大，的面積將減??；證明見解析【解析】（1）易知，由雙曲線定義得，平方得，又，可得，故，，故；（2）由（1）知，又，可得，即，故，，故；（3）隨的增大，的面積將減??；證明如下：由（1）知，，設，則，故，，故，因為，是增函數(shù)且恒大于0，故隨著的增大而減小.3.2.2雙曲線性質(zhì)（精練）1直線與雙曲線的位置關系1．直線與雙曲線的交點個數(shù)為______．【答案】【解析】由得：，直線與雙曲線有且僅有個交點.故答案為：.2．若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點，則k的取值范圍是______．【答案】【解析】把代入，得，化簡得，設直線與雙曲線的右支交于不同的兩點。由題意知，即，解得．故答案為：3．直線與雙曲線沒有交點，則的取值范圍為_____.【答案】【解析】由題意，雙曲線的漸近線方程為：，因為直線過原點且與雙曲線沒有交點，故需滿足，故答案為：4．已知直線與雙曲線無交點，則該雙曲線離心率的最大值為_________.【答案】【解析】雙曲線的漸近線為：，因直線與雙曲線無交點，于是得，而雙曲線實半軸長為1，則該雙曲線離心率，所以該雙曲線離心率的最大值為.故答案為：5．已知直線與雙曲線無公共點，則雙曲線離心率的取值范圍是____．【答案】【解析】聯(lián)立直線與雙曲線可得，整理得，顯然，由方程無解可得，即，則，，又離心率大于1，故離心率的取值范圍是.故答案為：.6．若直線與雙曲線的左支交于不同的兩點,則實數(shù)的取值范圍是【答案】【解析】，整理得因為直線與雙曲線的左支有兩個不同的交點，則方程在上有兩個不同的根.需滿足解得所以的范圍為2直線與雙曲線的弦長1．已知點A，B在雙曲線上，線段AB的中點為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】不妨設，，從而，，由兩式相減可得，，又因為線段AB的中點為，從而，，故，即直線AB的斜率為，直線AB的方程為：，即，將代入可得，，從而，，故.故選：C.2.直線與雙曲線交于A、B兩點，若，則______．【答案】【解析】聯(lián)立直線與雙曲線可得：，則，所以，，而，可得.故答案為：3．以直線為漸近線，且截直線所得弦長為的雙曲線的標準方程是___________.【答案】【解析】根據(jù)雙曲線的一條漸近線為，可設雙曲線為()，將代入雙曲線得：，若直線與雙曲線交點為，則，，則，解得：，故雙曲線的方程為.故答案為：.4.過雙曲線的右焦點作傾斜角為30°的直線l，直線l與雙曲線交于不同的兩點A，B，則AB的長為______．【答案】【解析】雙曲線的右焦點為，所以直線l的方程為．由，得．設，，則，，所以．故答案為：5．雙曲線的方程是－y2＝1.(1)直線l的傾斜角為，被雙曲線截得的弦長為，求直線l的方程；(2)過點P(3,1)作直線l′，使其被雙曲線截得的弦恰被P點平分，求直線l′的方程．【答案】（1）y＝x±5（2）3x－4y－5＝0【解析】(1)設直線l的方程為y＝x＋m，代入雙曲線方程，得3x2＋8mx＋4(m2＋1)＝0，Δ＝(8m)2－4×3×4(m2＋1)＝16(m2－3)>0，∴m2>3.設直線l與雙曲線交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，則x1＋x2＝－m，x1x2＝.由弦長公式|AB|＝|x1－x2|，得,∴＝，即m＝±5，滿足m2>3，∴直線l的方程為y＝x±5.(2)設直線l′與雙曲線交于A′(x3，y3)、B′(x4，y4)兩點，點P(3,1)為A′B′的中點，則x3＋x4＝6，y3＋y4＝2.由＝4，＝4，兩式相減得(x3＋x4)(x3－x4)－4(y3＋y4)(y3－y4)＝0，∴＝，∴l(xiāng)′的方程為y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.把此方程代入雙曲線方程，整理得5y2－10y＋＝0，滿足Δ>0，即所求直線l′的方程為3x－4y－5＝0.6．已知雙曲線的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，離心率為，且過點.（1）求雙曲線的標準方程；（2）過右焦點且傾斜角為的直線與雙曲線相交于兩點，為坐標原點，求的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因為雙曲線離心率為，所以是等軸雙曲線，設雙曲線方程為，將點代入方程,得，雙曲線方程為.（2）右焦點為，則直線的方程為，由，得，

設、，則：，

又原點到直線的距離為，

[另解]：由，得，設、，則：，，.3雙曲線的中點弦1．已知雙曲線方程，則以為中點的弦所在直線的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設直線交雙曲線于點、，則，由已知得，兩式作差得，所以，，即直線的斜率為，故直線的斜率為，即.經(jīng)檢驗滿足題意故選：B.2．已知斜率為的直線與雙曲線相交于A，B兩點，O為坐標原點，AB的中點為P，若直線OP的斜率為，則雙曲線C的離心率為（

）A． B．2 C． D．3【答案】C【解析】設，，，則，兩式相減得，所以.因為，，所以.因為，，所以，，故.故選：C3．已知點，是雙曲線上的兩點，線段的中點是，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，，則，兩式相減得，即，∴.故選D.4．直線l交雙曲線于A、B兩點，且為AB的中點，則l的斜率為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】設，，因點A，B在雙曲線上，則，，兩式相減得：，因P為AB中點，則，，于是得＝1，即直線l的斜率為1，此時，直線l的方程為：，由消去y并整理得：，，即直線l與雙曲線交于兩點，所以直線l的斜率為1.故選：D5.已知雙曲線C的中心在坐標原點，其中一個焦點為，過F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點，且AB的中點為，則C的離心率為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】由F、N兩點的坐標得直線l的斜率．∵雙曲線一個焦點為(-2，0)，∴c=2．設雙曲線C的方程為，則．設，，則，，．由，得，即，∴，易得，，，∴雙曲線C的離心率．故選：B．6．已知雙曲線，過作直線與雙曲線交于A、兩點，且為弦的中點，則直線的方程為________________.【答案】【解析】設，則，∵A、B在雙曲線上，∴，①－②得：，即即，∴：，即，由，∵，故與雙曲線有兩個交點滿足題意，故l方程為：.故答案為：.7．已知斜率為的直線與雙曲線交于兩點，若點是線段的中點，則的離心率等于______________.【答案】【解析】設，則，得，即，因為點是線段的中點，所以，又因為直線斜率為，所以，得，即.故答案為：8．過點作斜率為的直線與雙曲線相交于A，B兩點，若M是線段的中點，則雙曲線的離心率為___________.【答案】【解析】設，，，，則①，②，是線段的中點，，，直線的方程是，，過點作斜率為的直線與雙曲線相交于，兩點，是線段的中點，①②兩式相減可得，即，．故答案為：．9．已知直線與雙曲線交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點在圓上，則的值是________.【答案】【解析】設點，，，，線段的中點，，由，得（判別式△，，，，點，在圓上，則，故.故答案為：4雙曲線的綜合運用1．如圖，、是雙曲線：與橢圓的公共焦點，點A是、在第一象限的公共點，設的方程為，則下列命題中錯誤的是（

）．A．B．的內(nèi)切圓與x軸相切于點（1，0）C．若，則的離心率為D．若，則橢圓方程為【答案】A【解析】對于A：由可得，所以，即選項A錯誤；對于B：設的內(nèi)切圓的圓心為I，且圓與邊、、相切于N、M、K，可得，，，又因為，所以，又，解得，．可得M的橫坐標為1，即I的橫坐標為1，即選項B正確；對于C：在橢圓中，，，則．由，得，解得a＝3．則的離心率，即選項C正確；對于D：因為，，則，．若，則．又c＝2，，解得，．則橢圓的方程為，即選項D正確．故選：A.2．（多選）已知雙曲線的左、右焦點分別為，且，A，P，B為雙曲線上不同的三點，且A，B兩點關于原點對稱，直線與斜率的乘積為1，則（

）A．B．雙曲線C的離心率為C．直線傾斜角的取值范圍為D．若，則三角形的面積為2【答案】ABD【解析】設焦距為，則，設，則，，作差得，即，，故，又，所以，A正確；而離心率，B正確；雙曲線C的漸近線方程為，直線過原點，由題可知直線與C有兩個不同的交點，所以直線傾斜角的取值范圍為，C錯誤；若，則，由雙曲線的定義以及選項A的結論可得，故，又，可得，所以三角形的面積為，D正確．故選：ABD.3．（多選）已知方程表示的曲線為C，則下列四個結論中正確的是（

）A．當時，曲線C是橢圓B．當或時，曲線C是雙曲線C．若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，則D．若曲線C是焦點在y軸上的橢圓，則【答案】BC【解析】當曲線C是橢圓時，解得或，故A錯誤；當曲線C是雙曲線時，，解得或，故B正確；若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，則解得，故C正確；若曲線C是焦點在y軸上的橢圓，則，解得，故D錯誤．故選:BC．4．（多選）已知雙曲線的左、右兩個頂點分別是，左、右兩個焦點分別是，是雙曲線上異于的任意一點，給出下列結論，其中正確的是（

）A．B．直線，的斜率之積等于定值C．使得為等腰三角形的點P有且僅有四個D．若，則【答案】BD【解析】由題意，點是雙曲線上異于的任意一點，設，對于A中，由雙曲線的定義知，，所以A錯誤；對于B中，由，，可得，又由，所以，可得，所以B正確；對于C中，若P在第一象限，則當時，，為等腰三角形；當時，，也為等腰三角形，故點P在第一象限且使得為等腰三角形的點P有兩個．同理可得，在第二、三、四象限且使得為等腰三角形的點P也各有兩個，因此使得為等腰三角形的點P共有八個，所以C錯誤．對于D中，由，得，從而，所以D正確．故選：BD．5．（多選）設雙曲線的兩個焦點分別是，，以線段為直徑的圓交雙曲線于A，B，C，D四點，若A，B，C，D，，恰為正六邊形的六個頂點，則下列說法正確的是（

）A． B．四邊形ABCD的面積為C．雙曲線的離心率為 D．雙曲線的漸近線方程為【答案】ABC【解析】不妨設點為左焦點，如圖所示，因為，，所以，又，所以，A正確；根據(jù)對稱性，可知四邊形ABCD為矩形，又，，所以四邊形ABCD的面積為，B正確；由雙曲線的定義可得，即，則離心率，C正確；因為，所以，所以雙曲線的漸近線方程為，D錯誤．故選ABC．一題多解對于A選項還可以如下求解：為圓的直徑，點B在圓上，則，