1/1第2章直線(xiàn)和圓的方程章末測(cè)試（提升）單選題(1．不論為何實(shí)數(shù)，直線(xiàn)恒通過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】原方程可化為，由直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)可知，，解得，所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)故選：B2．已知過(guò)定點(diǎn)直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值，且截距之和最小，則直線(xiàn)的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】直線(xiàn)可變?yōu)椋赃^(guò)定點(diǎn)，又因?yàn)橹本€(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值，可知，令，所以直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，令，所以直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等，所以此時(shí)直線(xiàn)為：.故選：C.3．直線(xiàn)l:被圓C：截得的弦長(zhǎng)為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由題意得圓心到直線(xiàn)l:的距離為，故直線(xiàn)l:被圓C：截得的弦長(zhǎng)為，故選：B4．若方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由得，所以直線(xiàn)與半圓有個(gè)公共點(diǎn)，作出直線(xiàn)與半圓的圖形，如圖：當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)，，解得或（舍），由圖可知，當(dāng)直線(xiàn)與曲線(xiàn)有個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，，故選：B.5．若圓上存在點(diǎn)P，且點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)y＝x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q在圓上，則r的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，圓的圓心坐標(biāo)為（0，1），半徑為r，其關(guān)于直線(xiàn)y＝x的對(duì)稱(chēng)圓的方程為，根據(jù)題意，圓與圓有交點(diǎn)，既可以是外切，也可以是相交，也可以是內(nèi)切．又圓，所以圓與圓的圓心距為，所以只需，解得．故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.6．唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句為“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”，即將軍在白天觀(guān)望烽火臺(tái)之后黃昏時(shí)從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，已知軍營(yíng)所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B．5 C． D．【答案】A【解析】如圖所示，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，在直線(xiàn)上取點(diǎn)P，連接PC，則．由題意可得，解得，即點(diǎn)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)等號(hào)成立，所以“將軍飲馬”的最短總路程為．故選：A．7．如果圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為圓和圓相交，兩圓圓心距，由得，解得，即.故選：D8．已知直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)，則當(dāng)弦最短時(shí)，圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)切 B．外離 C．外切 D．相交【答案】B【解析】知直線(xiàn)即過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)?，故在圓內(nèi).故弦最短時(shí)直線(xiàn)垂直，又，所以，解得，此時(shí)圓的方程是.兩圓圓心之間的距離，半徑分別為5，3又，所以這兩圓外離.故選：B.二、多選題9．已知，若過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)：和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)：交于點(diǎn)（與，不重合），則（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為 B．直線(xiàn)垂直于C． D．的最大值為【答案】BD【解析】由題意可知，動(dòng)直線(xiàn)：，即，令，解得，即動(dòng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，同理可得動(dòng)直線(xiàn)：經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．又的方程可化為，，所以?xún)蓷l直線(xiàn)始終垂直，又是兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)，所以，所以．設(shè)，則，，所以（其中，，），所以的最大值是．故選：BD10．已知直線(xiàn)，圓，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線(xiàn)與圓一定有公共點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)直線(xiàn)被圓截得的弦最長(zhǎng)C．當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)，D．圓心到直線(xiàn)的距離的最大值為【答案】BCD【解析】由題意知直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，且點(diǎn)在圓外部，所以錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，的方程為，直線(xiàn)過(guò)圓心，截得的弦恰為直徑，故B正確；當(dāng)與圓相切時(shí)，，解得，故C正確；當(dāng)與垂直時(shí)，圓心到的距離取得最大值，其最大值為，故正確.故選：BCD.11．直線(xiàn)：與圓：相交于，兩點(diǎn)，則（

）A．直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)B．時(shí)，直線(xiàn)平分圓C．時(shí)，為等腰直角三角形D．時(shí)，弦最短【答案】AD【解析】對(duì)A，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，故直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，故A正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，圓的圓心為不滿(mǎn)足，故此時(shí)直線(xiàn)不過(guò)圓的圓心，故直線(xiàn)不平分圓，故B正確；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)圓的圓心，故無(wú)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，，故在圓內(nèi)，故當(dāng)弦最短時(shí)，與直線(xiàn)垂直.因?yàn)闀r(shí)，直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為1，故與直線(xiàn)垂直成立，故D正確；故選：AD三、填空題12．若過(guò)點(diǎn)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線(xiàn)的距離為_(kāi)_______．【答案】【解析】設(shè)圓心為，半徑為，則，由題設(shè)，且，當(dāng)，，可得或；當(dāng)，，方程無(wú)解；所以圓心為或，當(dāng)圓心為到的距離為；當(dāng)圓心為到的距離為；所以圓心到直線(xiàn)的距離為.故答案為：13．已知圓，點(diǎn)P是直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】圓，即，由于PA，PB分別切圓C于點(diǎn)A，B，則，，，所以，因?yàn)?，所以，又，所以，所以，即，所以最短時(shí)，最短，點(diǎn)C到直線(xiàn)的距離即為的最小值，所以，所以的最小值為故答案為：14．過(guò)圓外一點(diǎn)P作圓C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B.若△PAB為等邊三角形，則過(guò)D(2，1)的直線(xiàn)l被P點(diǎn)軌跡所截得的最短弦長(zhǎng)為_(kāi)_______.【答案】【解析】由題意知，連接PC，因?yàn)椤鱌AB為等邊三角形，所以∠APC＝30°，所以，所以P點(diǎn)軌跡的方程為.因?yàn)?，所以點(diǎn)D(2，1)在圓(x－1)2＋y2＝4的內(nèi)部.連接CD，結(jié)合圖形可知，當(dāng)l與CD垂直時(shí)，l被圓所截得的弦長(zhǎng)最短，最短弦長(zhǎng)為故答案為：四、解答題15.已知圓．(1)若直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，且與圓C相切，求直線(xiàn)的方程；(2)若圓D的半徑為3，圓心在直線(xiàn)上，且與圓C相切，求圓D的方程．【答案】(1)或；(2)或或或．【解析】（1）圓的圓心，半徑，因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，所以可設(shè)直線(xiàn)的方程為，因?yàn)橹本€(xiàn)與圓C相切，所以，整理得，則或，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為．所以直線(xiàn)的方程為或.（2）因?yàn)閳AD的圓心在直線(xiàn)上，所以可設(shè)，則．當(dāng)圓D與圓C外切時(shí)，，即，解得或，所以圓D的方程為或．當(dāng)圓D與圓C內(nèi)切時(shí)，，即，解得或，所以圓D的方程為或．綜上，圓D的方程為或或或．16.已知兩條直線(xiàn)，．(1)證明直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)若，不重合，且垂直于同一條直線(xiàn)，求a的值．(3)從①直線(xiàn)l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，②直線(xiàn)l在y軸上的截距為2，③直線(xiàn)l與坐標(biāo)軸形成的三角形的面積為1這三個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并作答．若，直線(xiàn)l與垂直，且________，求直線(xiàn)l的方程．【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)-1(3)答案見(jiàn)解析．【解析】（1）∵變形為，∴直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）∵，不重合，且垂直于同一條直線(xiàn)，∴，∴，∴．（3）方案一：選條件①．∵，∴直線(xiàn)，其斜率為2，又直線(xiàn)l與垂直，∴直線(xiàn)l的斜率為．∵直線(xiàn)l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，∴直線(xiàn)l的方程為，即．方案二：選條件②．由題意設(shè)直線(xiàn)l的方程為，令，則，則，即，∴直線(xiàn)l的方程為．方案三：選條件③．由題意設(shè)直線(xiàn)l的方程為，令，則，令，則，∴，解得，∴直線(xiàn)l的方程為．17．已知線(xiàn)段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是，端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)．(1)求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)P的軌跡的方程；(2)設(shè)圓與曲線(xiàn)的兩交點(diǎn)為M，N，求線(xiàn)段MN的長(zhǎng)；(3)若點(diǎn)C在曲線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在x軸上運(yùn)動(dòng)，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）設(shè)，，點(diǎn)A在圓，所以有：，P是A，B的中點(diǎn)，，即，得P得軌跡方程為：；（2）聯(lián)立方程和，得MN所在公共弦所在的直線(xiàn)方程，設(shè)到直線(xiàn)MN得距離為d，則,所以，；（3）作出關(guān)于軸得對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，如圖所示；連接與x軸交于Q點(diǎn)，點(diǎn)Q即為所求，此時(shí)，所以的最小值為.18.直線(xiàn)，相交于點(diǎn)，其中.(1)求證：、分別過(guò)定點(diǎn)、，并求點(diǎn)、的坐標(biāo)；(2)當(dāng)為何值時(shí)，的面積取得最大值，并求出最大值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，，(2)時(shí)，取得最大值【解析】（1）在直線(xiàn)的方程中，令可得，則直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，在直線(xiàn)的方程中，令可得，則直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)；（2）聯(lián)立直線(xiàn)、的方程，解得，即點(diǎn).，，，所以，；且，因此，當(dāng)時(shí)，取得最大值，即.19.已知圓M的方程為．(1)求過(guò)點(diǎn)與圓M相切的直線(xiàn)l的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作兩條相異直線(xiàn)分別與圓M相交于A(yíng)，B