第13講簡(jiǎn)單的數(shù)列問(wèn)題2知識(shí)概述知識(shí)概述在上一講中，我們學(xué)習(xí)了什么是等差數(shù)列，等差數(shù)列的求和公式，以及求項(xiàng)數(shù)、末項(xiàng)的公式。這一講，我們一起來(lái)學(xué)習(xí)如何利用這些公式，解決與等差數(shù)列有關(guān)的問(wèn)題。例題例題精學(xué)例1求所有被2除余數(shù)是1的三位數(shù)的和?！舅悸伏c(diǎn)撥】能被2整除的三位數(shù)中，最小的是100,所以被2除余數(shù)是1的三位數(shù)中最小的是101,用同樣的方法，我們還可以知道三位數(shù)中最大的被2除余1的數(shù)是999。這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)是101,末項(xiàng)是999,可以用等差數(shù)列的公式來(lái)計(jì)算。所”求的三位數(shù)的和是101+103+105+…+999,只要求出項(xiàng)數(shù)，再求和就迎刃而解了。例題例題精學(xué)例21～100中所有不能被5或9整除的數(shù)的和是多少?【思路點(diǎn)撥】1～100中不能被5或9整除的數(shù)很多，如果都要找出來(lái)會(huì)很困難?？刹豢梢該Q個(gè)角度去想呢?我們可以換一個(gè)角度來(lái)想啊，既然要找出不能被5或9整除的數(shù)很困難，那么就去找能被5或9整除的數(shù)。這樣的方法叫間接法，找出能被5或9整除的數(shù)，并求出它們的和，然后再?gòu)?～100的和中減去它們的和，就是這題要求的答案啦!1～100中能被5整除的數(shù)是5,10,15,…,100,這個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是20,1～100中間能被9整除的數(shù)9,18,27,…,99,這個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是11。要注意，在這些數(shù)中有一些數(shù)是重復(fù)的；比如45,90,既能被5整除，也能被9整除，所以在減的時(shí)候要注意不要減兩次。例題例題精學(xué)例3用3根等長(zhǎng)的火柴棍擺成一個(gè)等邊三角形，用這樣的等邊三角形，按下圖所示鋪滿一個(gè)大的等邊三角形，如果這個(gè)大的等邊三角形的底邊能放10根火柴棍，那么這個(gè)大的等邊三角形中一共要放多少根火柴?【思路點(diǎn)撥】仔細(xì)觀察，這些三角形的排列是有規(guī)律的。如果把圖中最上端的一個(gè)三角形看做第一層，與第一層緊相連的3個(gè)三角形(2個(gè)向上的三角形；一個(gè)向下的三角形)看做第二層，那么這個(gè)圖中一共有10層三角形。不難看出，這10層三角形每層所需火柴棍根數(shù)，自上而下依次為：3,6,9,…,3×10。它們成等差數(shù)列，且首項(xiàng)為3,公差為3,項(xiàng)數(shù)為10。例題例題精學(xué)例4盒子里放有1只球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里將這只球拿出，變成4只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出2只球，將每只球各變成4只球后放回到盒子里……第十次從盒子里拿出10只球，將每只球各變成4只球后放回到盒子里。這時(shí)盒子里共有多少只球【思路點(diǎn)撥】每次都是把拿出的球每只變成4只球。1只球變成4只球，實(shí)際上多了3只球。第一次是拿出1只球，放回去多了3只球，第二次是拿出2只球，放回去多了6只球?！拔抑懒耍@樣依次是多了3×1,3×2,…第十次多了3×10只球。因此拿了10次后，可以用一個(gè)數(shù)列的和來(lái)計(jì)算，再加上原來(lái)盒子里有的1只就是球的總數(shù)。例題例題精學(xué)例5有10個(gè)朋友聚會(huì)，見(jiàn)面時(shí)如果每個(gè)人和其余的每個(gè)人只握一次手，那么10個(gè)人共握手多少次?【思路點(diǎn)撥】設(shè)10個(gè)人分別為A1,A2,A3,…,A10,我們可以舉例來(lái)分析。從A1算起，A1和A2,A3,…,A10,這9個(gè)人中的每個(gè)人握手1次，共握手9次；由于A2已和A1握過(guò)手，所以A2只能和A3,…,A10這8個(gè)人中的每個(gè)人握手1次，共握手8次。依次類推，每次握手的次數(shù)是在遞減的，最后，A,只能和A握手一次。將以上的握.手次數(shù)求和即可。同步精練同步精練1.求所有的除以4后余1的兩位數(shù)的和。2.在1～100這100個(gè)數(shù)中，所有不能被9整除的奇數(shù)的和是多少?3.用相同的小立方體擺成如下圖的形狀，如果共擺成10層，那么最下面一層有多少個(gè)小立方體?4.如圖，有一個(gè)六邊形點(diǎn)陣，它的中心是一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)為第一層，第二層每邊兩個(gè)點(diǎn)，第三層每邊三個(gè)點(diǎn)……這個(gè)六邊形點(diǎn)陣共100層，求這個(gè)點(diǎn)陣共有多少個(gè)點(diǎn)?5.24個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是1992,其中最大的一個(gè)偶數(shù)是幾?6.時(shí)鐘在每個(gè)整點(diǎn)敲打報(bào)時(shí)，敲打的次數(shù)等于該鐘點(diǎn)數(shù)，每半點(diǎn)也敲一下。時(shí)鐘一晝夜總共敲打多少次?7.平面上共有10個(gè)點(diǎn)，沒(méi)有3個(gè)點(diǎn)在一條直線上。過(guò)這些點(diǎn)最多可以畫(huà)出多少條直線?8.在北京與上海之間往返的火車，除起點(diǎn)站和終點(diǎn)站外，還要?？?個(gè)火車站。問(wèn)：一共要準(zhǔn)備多少種火車票?9.小明計(jì)算從1開(kāi)始若干個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，結(jié)果不小心把1當(dāng)做10來(lái)計(jì)算，得出的錯(cuò)誤結(jié)果恰好是100。你知道小明算的是哪些自然數(shù)的和嗎?正確的結(jié)果應(yīng)該是多少?10.一次朋友聚會(huì)，大家見(jiàn)面時(shí)總共握手28次。如果參加聚會(huì)的人和其余的每個(gè)人只握手一次，參加聚會(huì)的共有多少人?課后作業(yè)課后作業(yè)1.求所有被4除余數(shù)是1的三位數(shù)的和。2.1至100內(nèi)所有不能被5或9整除的數(shù)的和是多少?3.用相同的立方體擺成如右圖的形式，如果共擺成10層，那么最下面一層有多少個(gè)立方體?4.如右圖，有一個(gè)六邊形點(diǎn)陣，它的中心是1個(gè)點(diǎn)，算做第一層，第二層每邊2個(gè)點(diǎn)，第三層每邊3個(gè)點(diǎn)，…,這個(gè)六邊形點(diǎn)陣共100層，求這個(gè)點(diǎn)陣共有多少個(gè)點(diǎn)。5.用三根等長(zhǎng)的小棒擺成一個(gè)等邊三角形，用這樣的等邊三角形，按照右面的圖形再擺成一個(gè)大的等邊三角形，如果這個(gè)大的等邊三角形的底邊放了20根小棒，那么這個(gè)大的等邊三角形中一共要放多少根小棒?6.15個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是1995,其中最小的奇數(shù)是多少?7.盒子里放有一只球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里將這1只球拿出，變成4只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出2只球，將每只球各變成4只后放回盒子里……第二十次從盒子里拿出20只球，將每只球各變成4只球后放回盒子里。這時(shí)盒子里共有多少只球?8.平面上共有10個(gè)點(diǎn)，沒(méi)有3個(gè)點(diǎn)在一條