2024屆新高三開學(xué)摸底考試卷（全國(guó)通用）理科數(shù)學(xué)·答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)123456789101112ABDCBBCBADBC13． 14．16415． 16．117．【解析】（1）證明：取AB的中點(diǎn),連接,則由題意知為正三角形,所以,由等腰梯形知,設(shè),則,,故,即得,所以,（2分）因?yàn)槠矫嫫矫?,平面平面,平面PAD,所以平面,又平面,所以,（4分）因?yàn)?,平面,所以平面,因?yàn)槠矫?所以.（6分）（2）由（1）得,,兩兩垂直,以為坐標(biāo)原點(diǎn),,,所在直線分別為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)槠矫?所以平面所成的角為,設(shè),則,,則,,,,則,,,（8分）設(shè)平面PAB的法向量為,則,即

,取,則,（9分）設(shè)平面PBC的法向量為,則,即,取,則,（10分）所以,所以二面角的正弦值為.（12分）18．【解析】（1）,當(dāng)時(shí),,即,得或（舍去）.（1分）由,……①得,……②得：,化簡(jiǎn)得.（3分）因?yàn)?所以,,即數(shù)列是以4為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,（5分）所以.（6分）（2）存在.（7分）當(dāng),時(shí),會(huì)得到數(shù)列中原次序的一列等比數(shù)列,此時(shí)的公比,是最小的,此時(shí)該等比數(shù)列的項(xiàng)均為偶數(shù),均在數(shù)列中；（8分）下面證明此時(shí)的公比最?。?假若取,公比為,則為奇數(shù),不可能在數(shù)列中.（10分）所以.又,所以,即的通項(xiàng)公式為,故.（12分）19.【解析】（1）（i）依題意得列聯(lián)表如下：正確識(shí)別錯(cuò)誤識(shí)別合計(jì)組軟件402060組軟件202040合計(jì)6040100（2分）因?yàn)?（3分）且,所以沒有的把握認(rèn)為軟件類型和是否正確識(shí)別有關(guān)；（5分）（ii）由（i）得,（6分）故方案二在一次測(cè)試中通過的概率為；（8分）（2）方案二每次測(cè)試通過的概率為,所以當(dāng)時(shí),取到到最大值,（10分）又,此時(shí),因?yàn)槊看螠y(cè)試都是獨(dú)立事件,故次實(shí)驗(yàn)測(cè)試通過的次數(shù),期望值,因?yàn)?所以所以測(cè)試至少27次,此時(shí).（12分）20．【解析】（1）由題可得,故可得,（2分）則,（3分）故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（4分）（2）由（1）中所求可得點(diǎn)A,的坐標(biāo)分別為,又雙曲線漸近線為,顯然直線的斜率不為零,故設(shè)其方程為,,（5分）聯(lián)立雙曲線方程可得：,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,則,,；（6分）又直線方程為：,令,則,故點(diǎn)的坐標(biāo)為；直線方程為：,令,則,故點(diǎn)的坐標(biāo)為；（7分）則故為定值.（8分）（3）當(dāng)直線斜率不存在時(shí),對(duì)曲線,令,解得,故點(diǎn)的坐標(biāo)為,此時(shí),在三角形中,,故可得,則存在常數(shù),使得成立；（9分）當(dāng)直線斜率存在時(shí),不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,,直線的傾斜角為,直線的傾斜角為,則,,假設(shè)存在常數(shù),使得成立,即,則一定有,也即；又；；又點(diǎn)的坐標(biāo)滿足,則,故；（11分）故假設(shè)成立,存在實(shí)數(shù)常數(shù),使得成立；綜上所述,存在常數(shù),使得恒成立.（12分）21.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?（1分）①若時(shí),10+0極小值極大值（2分）②若時(shí),恒成立,單調(diào)遞減,③若時(shí)10+0極小值極大值（3分）④若時(shí),時(shí),單調(diào)遞減；時(shí),單調(diào)遞增.綜上所述,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,,單調(diào)遞增,單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,單調(diào)遞增.（4分）（2）（i）由（1）知當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,單調(diào)遞減.所以存在三個(gè)零點(diǎn),只需和即可,所以且,整理得且.此時(shí),,（6分）令,易知在上單調(diào)遞減有,所以.（8分）（ii）由（1）知,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,單調(diào)遞減所以.若存在三個(gè)零點(diǎn),只需和即可,所以且,整理得,因?yàn)?設(shè),則方程,即為記,則為方程三個(gè)不同的根,（10分）設(shè).要證：,即證：,即證：,而且,所以,所以,即證：,即證：,即證：,記,則,所以在為增函數(shù),所以所以,設(shè),則,所以在上是增函數(shù),所以所以,即所以若,則.（12分）22.【解析】（1）把,代入,得曲線的極坐標(biāo)方程為,即．（2分）將中的參數(shù)消去,得曲線的普通方程為,把,代入,得曲線的極坐標(biāo)方程為,即．（5分）（2）由題得,,,,（7分）因?yàn)?所以,其中,,當(dāng),即時(shí),的面積取得最大值．（10分）23.【解析】（1）函數(shù)的最小值為,此時(shí),（1分）當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,函數(shù)