考研數(shù)學(xué)經(jīng)典真題及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，下列無窮小量中最高階的是（）A.\(x^2\)B.\(1-\cosx\)C.\(\sqrt{1+x^2}-1\)D.\(x-\sinx\)答案：D2.設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在\(x=0\)處連續(xù)，且\(\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=1\)，則（）A.\(f(0)=0\)且\(f^\prime(0)=0\)B.\(f(0)=0\)且\(f^\prime(0)=1\)C.\(f(0)=0\)且\(f^\prime(0)=2\)D.\(f(0)=1\)且\(f^\prime(0)=2\)答案：C3.設(shè)函數(shù)\(y=f(x)\)由方程\(e^{2x+y}-\cos(xy)=e-1\)所確定，則曲線\(y=f(x)\)在點(diǎn)\((0,1)\)處的切線方程為（）A.\(x-2y+2=0\)B.\(x+2y-2=0\)C.\(2x-y+1=0\)D.\(2x+y-1=0\)答案：C4.設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([-1,1]\)上連續(xù)，則\(x=0\)是函數(shù)\(g(x)=\frac{\int_{0}^{x}f(t)dt}{x}\)的（）A.跳躍間斷點(diǎn)B.可去間斷點(diǎn)C.無窮間斷點(diǎn)D.振蕩間斷點(diǎn)答案：B5.設(shè)\(A\)為\(3\)階矩陣，將\(A\)的第\(2\)列加到第\(1\)列得矩陣\(B\)，再交換\(B\)的第\(2\)行與第\(3\)行得單位矩陣。記\(P_1=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)，\(P_2=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\)，則\(A=\)（）A.\(P_1P_2\)B.\(P_1^{-1}P_2\)C.\(P_2P_1\)D.\(P_2P_1^{-1}\)答案：D6.設(shè)\(A\)為\(n\)階實(shí)對(duì)稱矩陣，\(P\)為\(n\)階可逆矩陣。已知向量\(\xi\)是\(A\)的屬于特征值\(\lambda\)的特征向量，則矩陣\((P^{-1}AP)^T\)屬于特征值\(\lambda\)的特征向量是（）A.\(P^{-1}\xi\)B.\(P^T\xi\)C.\(P\xi\)D.\((P^{-1})^T\xi\)答案：B7.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的概率密度為\(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}x,&0\ltx\lt2\\0,&其他\end{cases}\)，以\(Y\)表示對(duì)\(X\)的三次獨(dú)立重復(fù)觀察中事件\(\{X\leq1\}\)出現(xiàn)的次數(shù)，則\(P\{Y=2\}=\)（）A.\(\frac{9}{64}\)B.\(\frac{27}{64}\)C.\(\frac{3}{64}\)D.\(\frac{1}{64}\)答案：A8.設(shè)總體\(X\)服從參數(shù)為\(2\)的指數(shù)分布，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)為來自總體\(X\)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則當(dāng)\(n\to\infty\)時(shí)，\(Y_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2\)依概率收斂于（）A.\(\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(1\)D.\(2\)答案：C9.設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在\((-\infty,+\infty)\)內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則\(f(x)\)有（）A.一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)B.兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)C.兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)D.三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)答案：C10.設(shè)\(A,B\)為滿足\(AB=O\)的任意兩個(gè)非零矩陣，則必有（）A.\(A\)的列向量組線性相關(guān)，\(B\)的行向量組線性相關(guān)B.\(A\)的列向量組線性相關(guān)，\(B\)的列向量組線性相關(guān)C.\(A\)的行向量組線性相關(guān)，\(B\)的行向量組線性相關(guān)D.\(A\)的行向量組線性相關(guān)，\(B\)的列向量組線性相關(guān)答案：A二、多項(xiàng)選擇題1.設(shè)函數(shù)\(f(x)\)連續(xù)，則下列函數(shù)中，必為偶函數(shù)的有（）A.\(\int_{0}^{x}f(t^2)dt\)B.\(\int_{0}^{x}f^2(t)dt\)C.\(\int_{0}^{x}t[f(t)-f(-t)]dt\)D.\(\int_{0}^{x}t[f(t)+f(-t)]dt\)答案：AD2.設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在\(x=0\)的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且\(f(0)\neq0,f^\prime(0)\neq0\)，若\(af(h)+bf(2h)-f(0)\)在\(h\to0\)時(shí)是比\(h\)高階的無窮小，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.\(a=2\)B.\(b=-1\)C.\(a+b=1\)D.\(a-b=1\)答案：ABC3.下列關(guān)于函數(shù)\(y=f(x)\)導(dǎo)數(shù)與微分的說法正確的是（）A.若\(y=f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)，則\(y=f(x)\)在\(x_0\)處一定連續(xù)B.若\(y=f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)，則\(y=f(x)\)在\(x_0\)處一定可導(dǎo)C.若\(y=f(x)\)在\(x_0\)處可微，則\(y=f(x)\)在\(x_0\)處一定可導(dǎo)D.若\(y=f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)，則\(y=f(x)\)在\(x_0\)處一定可微答案：ACD4.設(shè)\(A\)為\(n\)階矩陣，下列說法正確的是（）A.若\(A\)可逆，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)也可逆B.若\(A\)不可逆，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)的秩一定為\(0\)C.若\(A\)是正交矩陣，則\(|A|=\pm1\)D.若\(A\)是正定矩陣，則\(A\)的所有特征值都大于\(0\)答案：ACD5.設(shè)\(A,B\)為\(n\)階矩陣，且\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A\)與\(B\)有相同的特征值B.\(A\)與\(B\)有相同的特征向量C.\(A\)與\(B\)等價(jià)D.\(|A|=|B|\)答案：ACD6.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立，且\(X\simN(0,1)\)，\(Y\simN(1,1)\)，則（）A.\(P\{X+Y\leq0\}=\frac{1}{2}\)B.\(P\{X+Y\leq1\}=\frac{1}{2}\)C.\(P\{X-Y\leq0\}=\frac{1}{2}\)D.\(P\{X-Y\leq1\}=\frac{1}{2}\)答案：B7.設(shè)總體\(X\)的分布函數(shù)\(F(x;\theta)=\begin{cases}1-\frac{1}{x^{\theta}},&x\gt1\\0,&x\leq1\end{cases}\)，其中未知參數(shù)\(\theta\gt1\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，則（）A.\(\theta\)的矩估計(jì)量為\(\hat{\theta}=\frac{\overline{X}}{\overline{X}-1}\)B.\(\theta\)的極大似然估計(jì)量為\(\hat{\theta}=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\lnX_i}\)C.\(\theta\)的矩估計(jì)量為\(\hat{\theta}=\frac{\overline{X}-1}{\overline{X}}\)D.\(\theta\)的極大似然估計(jì)量為\(\hat{\theta}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\lnX_i}{n}\)答案：AB8.設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，在\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)，且\(f^\prime(x)\gt0\)，若極限\(\lim\limits_{x\toa^+}\frac{f(2x-a)}{x-a}\)存在，則（）A.\(f(a)=0\)B.\(f(b)\gt0\)C.\(f(x)\)在\([a,b]\)上單調(diào)遞增D.\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)答案：ABC9.設(shè)\(A\)是\(n\)階實(shí)對(duì)稱矩陣，\(P\)是\(n\)階可逆矩陣，\(Q=P^TAP\)，則（）A.\(A\)與\(Q\)合同B.\(A\)與\(Q\)相似C.\(r(A)=r(Q)\)D.\(A\)與\(Q\)有相同的特征值答案：AC10.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的概率分布為\(P\{X=k\}=\frac{c}{k!},k=0,1,2,\cdots\)，則（）A.\(c=e^{-1}\)B.\(X\)服從參數(shù)為\(1\)的泊松分布C.\(E(X)=1\)D.\(D(X)=1\)答案：ABCD三、判斷題1.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)，且\(f^\prime(x)\gt0\)，則\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)單調(diào)遞增。（√）2.若\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)\)存在，\(\lim\limits_{x\tox_0}g(x)\)不存在，則\(\lim\limits_{x\tox_0}[f(x)+g(x)]\)一定不存在。（√）3.若\(A\)是\(n\)階方陣，且\(|A|=0\)，則\(A\)的秩\(r(A)\ltn\)。（√）4.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)線性相關(guān)，則其中至少有一個(gè)向量可以由其余向量線性表示。（√）5.設(shè)\(X\)是隨機(jī)變量，若\(E(X^2)=[E(X)]^2\)，則\(D(X)=0\)。（√）6.若函數(shù)\(y=f(x)\)在\(x_0\)處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在，則\(y=f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)。（×）7.設(shè)\(A\)和\(B\)是\(n\)階方陣，若\(AB=O\)，則\(|A|=0\)或\(|B|=0\)。（√）8.若隨機(jī)變量\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立，則\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)。（√）9.函數(shù)\(y=f(x)\)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)。（×）10.若\(A\)是\(n\)階可逆矩陣，則\(A\)的行向量組和列向量組都線性無關(guān)。（√）四、簡(jiǎn)答題1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2-9x+5\)的單調(diào)區(qū)間與極值。答案：先求導(dǎo)\(y^\prime=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1)\)。令\(y^\prime=0\)，得\(x=-1\)或\(x=3\)。當(dāng)\(x\lt-1\)時(shí)，\(y^\prime\gt0\)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)\(-1\ltx\lt3\)時(shí)，\(y^\prime\lt0\)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)\(x\gt3\)時(shí)，\(y^\prime\gt0\)，函數(shù)單調(diào)遞增。所以極大值為\(y(-1)=10\)，極小值為\(y(3)=-22\)。單調(diào)遞增區(qū)間為\((-\infty,-1)\)和\((3,+\infty)\)，單調(diào)遞減區(qū)間為\((-1,3)\)。2.計(jì)算不定積分\(\int\frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}}dx\)。答案：令\(x=\tant\)，\(dx=\sec^2tdt\)，則\(\sqrt{1+x^2}=\sect\)，原積分化為\(\int\frac{\sec^2t}{\tan^2t\sect}dt=\int\frac{\cost}{\sin^2t}dt\)。再令\(u=\sint\)，\(du=\costdt\)，積分變?yōu)閈(\int\frac{1}{u^2}du=-\frac{1}{u}+C\)?；卮鶿(u=\sint\)，\(t=\arctanx\)，得\(-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}+C\)。3.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&