浙教版九年級數(shù)學(xué)二次函數(shù)專題講解與習(xí)題二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)代數(shù)體系的核心內(nèi)容，既是九年級數(shù)學(xué)的重點(diǎn)難點(diǎn)，也是銜接高中函數(shù)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵紐帶。浙教版教材圍繞“定義—圖像—性質(zhì)—應(yīng)用”展開二次函數(shù)的學(xué)習(xí)，我們將從概念本質(zhì)、圖像規(guī)律、解析式求解到實(shí)際應(yīng)用系統(tǒng)梳理核心要點(diǎn)，輔以針對性習(xí)題鞏固，幫助同學(xué)們構(gòu)建完整的知識(shí)體系。一、二次函數(shù)的定義與表達(dá)式形式（一）定義辨析形如\(\boldsymbol{y=ax^2+bx+c}\)（\(a、b、c\)為常數(shù)，且\(\boldsymbol{a\neq0}\)）的函數(shù)稱為二次函數(shù)。其中，\(a\)決定二次項(xiàng)的“存在性”（次數(shù)為2且系數(shù)非零），\(b\)是一次項(xiàng)系數(shù)，\(c\)是常數(shù)項(xiàng)（\(b=0\)時(shí)函數(shù)為\(y=ax^2+c\)，\(c=0\)時(shí)函數(shù)過原點(diǎn)）。（二）三種表達(dá)式形式1.一般式：\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）適用場景：已知函數(shù)圖像上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，或題目未明確頂點(diǎn)、交點(diǎn)等特殊信息時(shí)。2.頂點(diǎn)式：\(y=a(x-h)^2+k\)（\(a\neq0\)）其中\(zhòng)((h,k)\)是拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，對稱軸為直線\(x=h\)。適用場景：已知頂點(diǎn)坐標(biāo)（或?qū)ΨQ軸、最值）和一個(gè)其他點(diǎn)的坐標(biāo)。3.交點(diǎn)式：\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)（\(a\neq0\)）其中\(zhòng)(x_1、x_2\)是拋物線與\(x\)軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（即方程\(ax^2+bx+c=0\)的兩根）。適用場景：已知拋物線與\(x\)軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)和一個(gè)其他點(diǎn)的坐標(biāo)。二、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)（一）圖像特征二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，形狀由\(|a|\)決定：\(|a|\)越大，拋物線開口越窄；\(|a|\)越小，開口越寬。（二）核心性質(zhì)（以\(y=ax^2+bx+c\)為例）拋物線的開口方向由\(a\)的符號決定：\(a>0\)時(shí)開口向上（呈“U”型），\(a<0\)時(shí)開口向下（呈“倒U”型）。對稱軸是拋物線的“對稱中線”，公式為\(\boldsymbol{x=-\frac{2a}}\)；頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，坐標(biāo)為\(\boldsymbol{\left(-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)}\)（可通過將對稱軸代入函數(shù)求得）。增減性與開口方向、對稱軸密切相關(guān)：若\(a>0\)，在對稱軸左側(cè)（\(x<-\frac{2a}\)），\(y\)隨\(x\)增大而減??；在對稱軸右側(cè)（\(x>-\frac{2a}\)），\(y\)隨\(x\)增大而增大。若\(a<0\)，在對稱軸左側(cè)，\(y\)隨\(x\)增大而增大；在對稱軸右側(cè)，\(y\)隨\(x\)增大而減小。最值是頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)：\(a>0\)時(shí)，頂點(diǎn)是最低點(diǎn)，函數(shù)有最小值\(\frac{4ac-b^2}{4a}\)（當(dāng)\(x=-\frac{2a}\)時(shí)取得）；\(a<0\)時(shí)，頂點(diǎn)是最高點(diǎn)，函數(shù)有最大值\(\frac{4ac-b^2}{4a}\)（當(dāng)\(x=-\frac{2a}\)時(shí)取得）。（三）圖像的平移規(guī)律拋物線的平移本質(zhì)是頂點(diǎn)的平移，遵循“上加下減常數(shù)項(xiàng)，左加右減自變量”的原則：上下平移：將\(y=ax^2\)向上平移\(k\)個(gè)單位（\(k>0\)）得\(y=ax^2+k\)；向下平移\(k\)個(gè)單位得\(y=ax^2-k\)。左右平移：將\(y=ax^2\)向左平移\(h\)個(gè)單位（\(h>0\)）得\(y=a(x+h)^2\)；向右平移\(h\)個(gè)單位得\(y=a(x-h)^2\)。三、二次函數(shù)解析式的確定（待定系數(shù)法）求解二次函數(shù)解析式的核心是根據(jù)已知條件選擇合適的表達(dá)式形式，代入點(diǎn)的坐標(biāo)列方程（組）求解\(a、b、c\)（或\(a、h、k\)、\(x_1、x_2\)）。（一）已知三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)——用一般式例1：已知二次函數(shù)圖像過點(diǎn)\((1,0)\)、\((2,3)\)、\((0,-5)\)，求其解析式。解：設(shè)解析式為\(y=ax^2+bx+c\)，代入三點(diǎn)坐標(biāo)得：\[\begin{cases}a+b+c=0\\4a+2b+c=3\\c=-5\end{cases}\]將\(c=-5\)代入前兩式，解得\(a=1\)，\(b=4\)，故解析式為\(\boldsymbol{y=x^2+4x-5}\)。（二）已知頂點(diǎn)和一個(gè)點(diǎn)——用頂點(diǎn)式例2：拋物線頂點(diǎn)為\((2,-3)\)，且過點(diǎn)\((3,1)\)，求解析式。解：設(shè)頂點(diǎn)式為\(y=a(x-2)^2-3\)，代入\((3,1)\)得：\(1=a(3-2)^2-3\)，解得\(a=4\)，故解析式為\(\boldsymbol{y=4(x-2)^2-3}\)（展開為\(y=4x^2-16x+13\)）。（三）已知與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)和一個(gè)點(diǎn)——用交點(diǎn)式例3：拋物線與x軸交于\((1,0)\)、\((3,0)\)，且過點(diǎn)\((2,-2)\)，求解析式。解：設(shè)交點(diǎn)式為\(y=a(x-1)(x-3)\)，代入\((2,-2)\)得：\(-2=a(2-1)(2-3)\)，解得\(a=2\)，故解析式為\(\boldsymbol{y=2(x-1)(x-3)}\)（展開為\(y=2x^2-8x+6\)）。四、二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用二次函數(shù)的應(yīng)用核心是建立函數(shù)模型，通過分析實(shí)際問題中的等量關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為“求函數(shù)最值”或“解方程（組）”。（一）利潤最大化問題例4：某商店銷售某種商品，每件成本50元，售價(jià)60元時(shí)可售800件；售價(jià)每提高1元，銷量減少20件。問售價(jià)定為多少時(shí)，利潤最大？最大利潤是多少？分析：設(shè)售價(jià)為\(x\)元，利潤為\(y\)元。單件利潤：\(x-50\)；銷量：\(800-20(x-60)=2000-20x\)；利潤公式：\(y=(x-50)(2000-20x)=-20x^2+3000x-____\)。由\(a=-20<0\)，對稱軸\(x=-\frac{3000}{2\times(-20)}=75\)，故售價(jià)75元時(shí)，最大利潤\(y=-20\times75^2+3000\times75-____=____\)元。（二）幾何圖形的面積問題例5：用長30m的籬笆圍矩形菜園（一邊靠墻，墻長18m），問長、寬各為多少時(shí)面積最大？最大面積是多少？分析：設(shè)垂直于墻的邊長為\(x\)m，則平行于墻的邊長為\(30-2x\)m（需滿足\(30-2x\leq18\)，即\(x\geq6\)）。面積\(y=x(30-2x)=-2x^2+30x\)，對稱軸\(x=\frac{30}{4}=7.5\)（在\(x\geq6\)范圍內(nèi)），故寬\(x=7.5\)m，長\(30-2\times7.5=15\)m（≤18，符合），最大面積\(y=-2\times7.5^2+30\times7.5=112.5\)m2。五、專題習(xí)題與解析（一）基礎(chǔ)鞏固題1.若函數(shù)\(y=(m-2)x^{m^2-2}+x-1\)是二次函數(shù)，則\(m=\_\_\_\_\)。解析：二次函數(shù)要求“最高次為2且二次項(xiàng)系數(shù)非零”，故\(m^2-2=2\)且\(m-2\neq0\)，解得\(\boldsymbol{m=-2}\)。2.拋物線\(y=-2(x+3)^2+5\)的開口方向?yàn)閈_\_\_，頂點(diǎn)坐標(biāo)為\_\_\_，對稱軸為\_\_\_。解析：由頂點(diǎn)式\(y=a(x-h)^2+k\)，\(a=-2<0\)故開口向下；頂點(diǎn)\(\boldsymbol{(-3,5)}\)，對稱軸\(\boldsymbol{x=-3}\)。3.已知拋物線過\((0,1)\)、\((1,0)\)、\((-1,3)\)，求解析式。解析：設(shè)一般式\(y=ax^2+bx+c\)，代入得：\[\begin{cases}c=1\\a+b+1=0\\a-b+1=3\end{cases}\]解得\(a=1\)，\(b=-2\)，故解析式為\(\boldsymbol{y=x^2-2x+1}\)（即\(y=(x-1)^2\)）。（二）能力提升題4.某拋物線與\(y=2x^2\)形狀相同，開口相反，且頂點(diǎn)為\((1,-3)\)，求其解析式。解析：“形狀相同”即\(|a|=2\)，“開口相反”即\(a=-2\)，頂點(diǎn)式為\(\boldsymbol{y=-2(x-1)^2-3}\)（展開為\(y=-2x^2+4x-5\)）。5.某跳水運(yùn)動(dòng)員的跳水軌跡為拋物線，起跳點(diǎn)\(A(0,1)\)，最高點(diǎn)\(B(2,3)\)，入水點(diǎn)\(C\)在x軸上，求點(diǎn)\(C\)的坐標(biāo)。解析：設(shè)頂點(diǎn)式\(y=a(x-2)^2+3\)，代入\(A(0,1)\)得\(1=4a+3\)，解得\(a=-\frac{1}{2}\)，故解析式為\(y=-\frac{1}{2}(x-2)^2+3\)。令\(y=0\)，解方程\(-\frac{1}{2}(x-2)^2+3=0\)，得\(x=2\pm\sqrt{6}\)，因入水在右側(cè)，故\(\boldsymbol{C(2+\sqrt{6},0)}\)（或近似\((4.45,0)\)）。（三）實(shí)際應(yīng)用題6.某工廠生產(chǎn)一種零件，成本20元/個(gè)，售價(jià)30元/個(gè)時(shí)日銷200個(gè)。調(diào)研發(fā)現(xiàn)：售價(jià)每漲1元，日銷減少10個(gè)；售價(jià)每降1元，日銷增加10個(gè)。問售價(jià)定為多少時(shí)，日利潤最大？最大利潤是多少？解析：設(shè)售價(jià)為\(x\)元，利潤為\(y\)元。當(dāng)\(x\geq30\)時(shí)，銷量\(=200-10(x-30)=500-10x\)，利潤\(y=(x-20)(500-10x)=-10x^2+700x-____\)，對稱軸\(x=35\)，此時(shí)\(y=-10\times35^2+700\times35-____=2250\)。當(dāng)\(x<30\)時(shí)，銷量\(=200+10(30-x)=500-10x\)（與上式相同），利潤函數(shù)仍為\(y=-10x^2+700x-____\)，對稱軸\(x=35\)不在此區(qū)間，故\(x<30\)時(shí)\(y\)隨\(x\)增大而增大，當(dāng)\(x=30\)時(shí)，\(y=(30-20)\time