中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)專題復(fù)習(xí)試題解析函數(shù)作為中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，貫穿代數(shù)、幾何等多個(gè)板塊，是高考及中考的重點(diǎn)考查對(duì)象。復(fù)習(xí)函數(shù)專題時(shí)，需從概念理解、性質(zhì)分析、圖像變換、實(shí)際應(yīng)用等維度系統(tǒng)梳理，結(jié)合典型試題解析提煉解題策略，提升思維的嚴(yán)謹(jǐn)性與靈活性。一、函數(shù)概念與定義域問(wèn)題函數(shù)的核心是“非空數(shù)集到非空數(shù)集的對(duì)應(yīng)關(guān)系”，定義域是函數(shù)的“生命范圍”，需結(jié)合各類限制條件（根式、分式、對(duì)數(shù)、三角函數(shù)等）分析。例題1：求函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x-2}+\frac{1}{x-3}\)的定義域?？键c(diǎn)：二次根式（被開(kāi)方數(shù)非負(fù)）、分式（分母不為零）的定義域限制。解析：二次根式要求\(x-2\geq0\impliesx\geq2\)；分式要求\(x-3\neq0\impliesx\neq3\)。取交集得定義域：\([2,3)\cup(3,+\infty)\)。方法總結(jié)：定義域求解需“逐一分析限制條件，最終取交集”。常見(jiàn)限制包括：根式：被開(kāi)方數(shù)\(\geq0\)；分式：分母\(\neq0\)；對(duì)數(shù)：真數(shù)\(>0\)，底數(shù)\(>0\)且\(\neq1\)；三角函數(shù)：如\(\tanx\)的定義域?yàn)閈(x\neqk\pi+\frac{\pi}{2}(k\in\mathbb{Z})\)。二、函數(shù)的單調(diào)性與最值單調(diào)性是函數(shù)“變化趨勢(shì)”的直觀體現(xiàn)，最值常與單調(diào)性、區(qū)間范圍結(jié)合考查，需掌握定義法（作差、變形、定號(hào)）與導(dǎo)數(shù)法（高中階段）。例題2：判斷函數(shù)\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上的單調(diào)性?？键c(diǎn)：利用定義法證明單調(diào)性，分段分析區(qū)間內(nèi)的變化趨勢(shì)。解析：設(shè)\(0<x_1<x_2\)，作差得：\[f(x_2)-f(x_1)=\left(x_2+\frac{1}{x_2}\right)-\left(x_1+\frac{1}{x_1}\right)=(x_2-x_1)+\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}=(x_2-x_1)\cdot\frac{x_1x_2-1}{x_1x_2}\]因\(x_2-x_1>0\)，\(x_1x_2>0\)，故符號(hào)由\(x_1x_2-1\)決定：若\(x_1,x_2\in(0,1)\)，則\(x_1x_2<1\impliesf(x_2)-f(x_1)<0\impliesf(x)\)單調(diào)遞減；若\(x_1,x_2\in[1,+\infty)\)，則\(x_1x_2\geq1\impliesf(x_2)-f(x_1)\geq0\impliesf(x)\)單調(diào)遞增。方法總結(jié)：定義法步驟：設(shè)元（\(x_1<x_2\)）→作差→變形（因式分解、通分等）→定號(hào)→結(jié)論；導(dǎo)數(shù)法：若\(f’(x)>0\)，函數(shù)單調(diào)遞增；若\(f’(x)<0\)，單調(diào)遞減（高中階段適用）；分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)需結(jié)合“同增異減”（復(fù)合函數(shù)單調(diào)性）或區(qū)間分界點(diǎn)分析。三、函數(shù)的奇偶性與周期性奇偶性反映函數(shù)圖像的“對(duì)稱美”（關(guān)于y軸或原點(diǎn)對(duì)稱），周期性則體現(xiàn)“重復(fù)規(guī)律”，兩者常結(jié)合性質(zhì)推導(dǎo)解析式或求值。例題3：已知\(f(x)\)是定義在\(\mathbb{R}\)上的奇函數(shù)，當(dāng)\(x>0\)時(shí)，\(f(x)=x^2-2x\)，求\(f(x)\)的解析式?？键c(diǎn)：奇函數(shù)的定義（\(f(-x)=-f(x)\)）與分段函數(shù)解析式推導(dǎo)。解析：奇函數(shù)滿足\(f(0)=0\)（定義域含0時(shí)）。當(dāng)\(x<0\)時(shí)，\(-x>0\)，代入已知解析式得：\[f(-x)=(-x)^2-2(-x)=x^2+2x\]由奇函數(shù)定義\(f(-x)=-f(x)\)，得\(-f(x)=x^2+2x\impliesf(x)=-x^2-2x\)。綜上，解析式為：\[f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x>0\\0,&x=0\\-x^2-2x,&x<0\end{cases}\]方法總結(jié)：奇偶性核心：\(f(-x)=\pmf(x)\)，需分區(qū)間討論（\(x>0\)、\(x<0\)、\(x=0\)）；周期性：若\(f(x+T)=f(x)\)，則周期為\(T\)，常結(jié)合奇偶性推導(dǎo)“\(f(x+nT)=f(x)\)”簡(jiǎn)化計(jì)算。四、函數(shù)圖像與變換函數(shù)圖像是“數(shù)與形”的橋梁，掌握平移、伸縮、對(duì)稱變換，可快速分析函數(shù)性質(zhì)（如零點(diǎn)、最值）。例題4：將函數(shù)\(y=2^x\)的圖像經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到\(y=2^{x-1}+3\)的圖像？考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的圖像變換（平移規(guī)則）。解析：圖像變換遵循“左加右減（針對(duì)\(x\)），上加下減（針對(duì)\(y\)）”：從\(y=2^x\)到\(y=2^{x-1}\)：\(x\)替換為\(x-1\)，對(duì)應(yīng)向右平移1個(gè)單位（“右減”）；從\(y=2^{x-1}\)到\(y=2^{x-1}+3\)：整體加3，對(duì)應(yīng)向上平移3個(gè)單位（“上加”）。方法總結(jié)：平移：\(y=f(x)\toy=f(x-h)+k\)，\(h>0\)右移\(h\)，\(k>0\)上移\(k\)；伸縮：\(y=f(ax)\)（橫坐標(biāo)伸縮\(\frac{1}{|a|}\)倍），\(y=af(x)\)（縱坐標(biāo)伸縮\(|a|\)倍）；對(duì)稱：關(guān)于\(x\)軸對(duì)稱（\(y\to-y\)）、關(guān)于\(y\)軸對(duì)稱（\(x\to-x\)）、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（\(x\to-x,y\to-y\)）。五、函數(shù)零點(diǎn)與方程的根函數(shù)零點(diǎn)是“\(f(x)=0\)的解”，與方程根、圖像交點(diǎn)等價(jià)，需結(jié)合單調(diào)性、極值、零點(diǎn)存在定理分析個(gè)數(shù)。例題5：求函數(shù)\(f(x)=x^3-3x+1\)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)?？键c(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性、極值，結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)。解析：求導(dǎo)得\(f’(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)，令\(f’(x)=0\)，得極值點(diǎn)\(x=\pm1\)。分析單調(diào)性：\(x\in(-\infty,-1)\)時(shí)，\(f’(x)>0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增；\(x\in(-1,1)\)時(shí)，\(f’(x)<0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞減；\(x\in(1,+\infty)\)時(shí)，\(f’(x)>0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增。計(jì)算極值：\(f(-1)=(-1)^3-3(-1)+1=3\)；\(f(1)=1^3-3(1)+1=-1\)。結(jié)合極限：\(x\to-\infty\)時(shí)，\(f(x)\to-\infty\)；\(x\to+\infty\)時(shí)，\(f(x)\to+\infty\)。由零點(diǎn)存在定理：\((-\infty,-1)\)：\(f(x)\)從\(-\infty\)增到\(3\)，有1個(gè)零點(diǎn)；\((-1,1)\)：\(f(x)\)從\(3\)減到\(-1\)，有1個(gè)零點(diǎn)；\((1,+\infty)\)：\(f(x)\)從\(-1\)增到\(+\infty\)，有1個(gè)零點(diǎn)。綜上，\(f(x)\)有\(zhòng)(3\)個(gè)零點(diǎn)。方法總結(jié)：零點(diǎn)個(gè)數(shù)分析步驟：求導(dǎo)（或觀察單調(diào)性）→找極值點(diǎn)→計(jì)算極值→結(jié)合端點(diǎn)（或極限）函數(shù)值符號(hào)→用零點(diǎn)存在定理判斷；若函數(shù)單調(diào)，則至多1個(gè)零點(diǎn)；若有多個(gè)極值，需分區(qū)間討論。六、函數(shù)應(yīng)用題函數(shù)應(yīng)用題是“數(shù)學(xué)建?！钡暮诵妮d體，需從實(shí)際問(wèn)題中抽象出函數(shù)關(guān)系（如一次、二次、指數(shù)函數(shù)），再結(jié)合性質(zhì)求解。例題6：某商品進(jìn)價(jià)40元/件，售價(jià)50元/件時(shí)月售210件；售價(jià)每漲1元，月售少10件（售價(jià)≤65元）。設(shè)售價(jià)漲\(x\)元（\(x\)為正整數(shù)），月利潤(rùn)為\(y\)元。（1）求\(y\)與\(x\)的函數(shù)關(guān)系式及\(x\)的范圍；（2）售價(jià)定為多少時(shí)利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)多少？考點(diǎn)：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（利潤(rùn)模型）。解析：（1）利潤(rùn)=（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）×銷(xiāo)售量。售價(jià)：\(50+x\)元，進(jìn)價(jià)40元，故每件利潤(rùn)\(10+x\)元；銷(xiāo)售量：\(210-10x\)件（每漲1元少賣(mài)10件）。因此，\(y=(10+x)(210-10x)=-10x^2+110x+2100\)。自變量范圍：售價(jià)≤65→\(50+x\leq65\impliesx\leq15\)，且\(x\)為正整數(shù)（或\(0\leqx\leq15\)，\(x\in\mathbb{Z}\)）。（2）\(y=-10x^2+110x+2100\)是開(kāi)口向下的二次函數(shù)，對(duì)稱軸\(x=-\frac{2a}=\frac{110}{20}=5.5\)。因\(x\)為整數(shù)，故\(x=5\)或\(x=6\)時(shí)利潤(rùn)最大。計(jì)算得：\(x=5\)時(shí)，\(y=-10\times25+110\times5+2100=2400\)；\(x=6\)時(shí)，\(y=-10\times36+110\times6+2100=2400\)。故售價(jià)為\(50+5=55\)元或\(50+6=56\)元時(shí)，最大利潤(rùn)2400元。方法總結(jié)：建模步驟：明確變量（利潤(rùn)、銷(xiāo)量、成本等）→建立函數(shù)關(guān)系（一次、二次、分式等）→確定自變量范圍（實(shí)際意義限制）；最值求解：二次函數(shù)用“頂點(diǎn)法”或“區(qū)間端點(diǎn)法”，分式函數(shù)用“均值不等式”或“導(dǎo)數(shù)法”。復(fù)習(xí)總結(jié)：函數(shù)專題的核心思維函數(shù)復(fù)習(xí)需構(gòu)建“概念→性質(zhì)→圖像→應(yīng)