中考一元二次方程解題專題訓(xùn)練一元二次方程作為初中代數(shù)的核心內(nèi)容，既是中考數(shù)學(xué)的高頻考點，也是后續(xù)學(xué)習(xí)二次函數(shù)、一元二次不等式的重要基礎(chǔ)。其考查形式涵蓋基礎(chǔ)解法、根的判別與關(guān)系、實際應(yīng)用及綜合拓展，對運算嚴謹性與思維靈活性要求較高。本專題將從解法體系、根的分析、實際建模到綜合應(yīng)用，逐步拆解解題邏輯，幫助考生建立系統(tǒng)的解題能力。一、基本解法：四類核心方法的適用場景與技巧（一）直接開平方法：特殊結(jié)構(gòu)的“速解通道”直接開平方法適用于完全平方型方程，即形如\((mx+n)^2=p\)（\(m\neq0\)，\(p\geq0\)）的方程。解題關(guān)鍵是將方程化為“平方等于常數(shù)”的形式，再對兩邊開平方。例題1：解方程\((2x-3)^2=16\)解題思路：方程左邊是完全平方，右邊為非負數(shù)，直接對兩邊開平方。步驟：1.開平方得\(2x-3=\pm4\)（注意“\(\pm\)”不能遺漏，否則漏解）；2.分情況討論：當(dāng)\(2x-3=4\)時，\(2x=7\)，解得\(x=\frac{7}{2}\)；當(dāng)\(2x-3=-4\)時，\(2x=-1\)，解得\(x=-\frac{1}{2}\)。易錯點：忽略“\(\pm\)”導(dǎo)致只得到一個解，需牢記平方根的雙重性。（二）因式分解法：“降次”的核心策略因式分解法的本質(zhì)是將二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一次方程，適用于方程一邊為0，另一邊可分解為兩個一次因式乘積的形式（如\(ax^2+bx+c=(mx+n)(px+q)\)）。常用方法有提取公因式、平方差、完全平方、十字相乘法。例題2：解方程\(x^2-5x+6=0\)解題思路：觀察二次三項式，嘗試十字相乘法分解。步驟：1.分解常數(shù)項6：\(6=(-2)\times(-3)\)，且\(-2+(-3)=-5\)（一次項系數(shù)），因此\(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\)；2.方程化為\((x-2)(x-3)=0\)；3.根據(jù)“若兩數(shù)乘積為0，則至少一個數(shù)為0”，得\(x-2=0\)或\(x-3=0\)，解得\(x_1=2\)，\(x_2=3\)。技巧：優(yōu)先嘗試因式分解（尤其是整數(shù)系數(shù)方程），可大幅簡化計算；若無法直接分解，再考慮配方法或公式法。（三）配方法：從“二次”到“一次”的轉(zhuǎn)化配方法是推導(dǎo)求根公式的基礎(chǔ)，適用于所有一元二次方程，尤其當(dāng)方程無法因式分解時。核心是通過“配方”將方程化為完全平方形式。例題3：用配方法解方程\(2x^2+4x-6=0\)解題思路：先將二次項系數(shù)化為1，再配方。步驟：1.兩邊除以2，得\(x^2+2x-3=0\)；2.移項：\(x^2+2x=3\)；3.配方：在等式兩邊加“一次項系數(shù)一半的平方”（即\((\frac{2}{2})^2=1\)），得\(x^2+2x+1=3+1\)；4.左邊化為完全平方：\((x+1)^2=4\)；5.開平方：\(x+1=\pm2\)，解得\(x_1=1\)，\(x_2=-3\)。易錯點：配方時易忘記“二次項系數(shù)化為1”，或漏加等式右邊的常數(shù)，需嚴格遵循“同加同減”原則。（四）公式法：通用解法的“萬能鑰匙”對于一般形式的一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），求根公式為\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)（其中\(zhòng)(\Delta=b^2-4ac\)為根的判別式）。公式法適用于所有可解的一元二次方程，尤其當(dāng)因式分解和配方法較復(fù)雜時。例題4：用公式法解方程\(3x^2-4x-2=0\)解題思路：先確定\(a,b,c\)，計算判別式，再代入公式。步驟：1.確定系數(shù)：\(a=3\)，\(b=-4\)，\(c=-2\)；2.計算判別式：\(\Delta=(-4)^2-4\times3\times(-2)=16+24=40\)（\(\Delta>0\)，方程有兩個不等實根）；3.代入公式：\(x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{40}}{2\times3}=\frac{4\pm2\sqrt{10}}{6}=\frac{2\pm\sqrt{10}}{3}\)；4.化簡得\(x_1=\frac{2+\sqrt{10}}{3}\)，\(x_2=\frac{2-\sqrt{10}}{3}\)。技巧：計算判別式時注意符號（尤其是\(b\)為負數(shù)時），根式需化簡至最簡形式。二、根的判別式：方程“有解”的密碼根的判別式\(\Delta=b^2-4ac\)決定了一元二次方程根的情況：\(\Delta>0\)?兩個不相等的實數(shù)根；\(\Delta=0\)?兩個相等的實數(shù)根；\(\Delta<0\)?無實數(shù)根（有兩個共軛虛根，初中階段不要求）。（一）由方程判斷根的情況例題5：判斷方程\(2x^2+3x-1=0\)的根的情況。解題思路：計算\(\Delta\)并比較與0的大小。步驟：1.確定\(a=2\)，\(b=3\)，\(c=-1\)；2.計算\(\Delta=3^2-4\times2\times(-1)=9+8=17\)；3.因為\(\Delta=17>0\)，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根。（二）由根的情況求參數(shù)范圍例題6：已知關(guān)于\(x\)的方程\(kx^2-2x+1=0\)有兩個相等的實數(shù)根，求\(k\)的值。解題思路：“兩個相等實根”說明\(\Delta=0\)，且方程為一元二次方程（\(k\neq0\)）。步驟：1.確定系數(shù)：\(a=k\)，\(b=-2\)，\(c=1\)；2.由\(\Delta=0\)得：\((-2)^2-4\timesk\times1=0\)，即\(4-4k=0\)；3.解得\(k=1\)，且\(k=1\neq0\)，符合一元二次方程定義。易錯點：忽略“一元二次方程”的前提（\(a\neq0\)），若題目未明確方程類型，需分“一元一次”和“一元二次”討論（如\(k=0\)時方程變?yōu)閈(-2x+1=0\)，只有一個根，不符合題意）。三、韋達定理：根與系數(shù)的“隱形紐帶”對于一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)，且\(\Delta\geq0\)），若根為\(x_1,x_2\)，則有：\(x_1+x_2=-\frac{a}\)，\(x_1\cdotx_2=\frac{c}{a}\)。（一）已知一根，求另一根及參數(shù)例題7：已知方程\(x^2-5x+m=0\)的一個根為\(2\)，求另一個根及\(m\)的值。解題思路：利用韋達定理的和、積關(guān)系。方法一（韋達定理）：設(shè)另一根為\(x_2\)，則\(2+x_2=5\)（由\(x_1+x_2=5\)），解得\(x_2=3\)；又\(2\times3=m\)（由\(x_1\cdotx_2=m\)），得\(m=6\)。方法二（代入法）：將\(x=2\)代入方程，得\(4-10+m=0\)，解得\(m=6\)；原方程為\(x^2-5x+6=0\)，因式分解得\((x-2)(x-3)=0\)，另一根為\(3\)。（二）代數(shù)式求值：轉(zhuǎn)化為“和”與“積”例題8：已知方程\(2x^2-3x-1=0\)的兩根為\(x_1,x_2\)，求\(x_1^2+x_2^2\)的值。解題思路：利用完全平方公式將\(x_1^2+x_2^2\)轉(zhuǎn)化為\((x_1+x_2)^2-2x_1x_2\)，再用韋達定理。步驟：1.由韋達定理，\(x_1+x_2=\frac{3}{2}\)，\(x_1\cdotx_2=-\frac{1}{2}\)；2.代入公式：\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\left(\frac{3}{2}\right)^2-2\times\left(-\frac{1}{2}\right)\)；3.計算得：\(\frac{9}{4}+1=\frac{13}{4}\)。四、實際應(yīng)用：從“數(shù)學(xué)符號”到“生活場景”的建模一元二次方程的實際應(yīng)用需經(jīng)歷“設(shè)元→列方程→解方程→檢驗合理性”四步，常見場景包括增長率、面積問題、利潤問題等。（一）增長率問題：“復(fù)利”思維的體現(xiàn)例題9：某廠2023年的產(chǎn)值為100萬元，2025年計劃達到144萬元，求這兩年的年平均增長率。解題思路：設(shè)年平均增長率為\(x\)，則2024年產(chǎn)值為\(100(1+x)\)，2025年為\(100(1+x)^2\)。步驟：1.設(shè)未知數(shù)：年平均增長率為\(x\)（\(x>0\)）；2.列方程：\(100(1+x)^2=144\)；3.解方程：兩邊除以100得\((1+x)^2=1.44\)，開平方得\(1+x=\pm1.2\)；正根：\(1+x=1.2\)，解得\(x=0.2=20\%\)；負根：\(1+x=-1.2\)，解得\(x=-2.2\)（舍去，增長率為正）；4.檢驗：\(100\times(1+20\%)^2=144\)，符合題意。（二）面積問題：“圖形分割”的方程表達例題10：用長20m的籬笆圍一個矩形花圃，一面靠墻（墻長12m），要使面積為48m2，求矩形的長和寬。解題思路：設(shè)垂直于墻的邊長為\(x\)m，則平行于墻的邊長為\((20-2x)\)m（需滿足\(20-2x\leq12\)，即\(x\geq4\)）。步驟：1.設(shè)未知數(shù)：垂直于墻的邊長為\(x\)m，則平行于墻的邊長為\(20-2x\)m；2.列方程：\(x(20-2x)=48\)，整理得\(x^2-10x+24=0\)；3.解方程：因式分解得\((x-4)(x-6)=0\)，解得\(x_1=4\)，\(x_2=6\)；4.檢驗：當(dāng)\(x=4\)時，平行于墻的邊長為\(20-8=12\)m（符合墻長12m）；當(dāng)\(x=6\)時，平行于墻的邊長為\(20-12=8\)m（符合）；因此長為12m、寬為4m，或長為8m、寬為6m（需結(jié)合實際，通常長≥寬，故長12m、寬4m或長8m、寬6m均合理）。五、綜合題型：能力的“進階試煉”（一）含參方程的分類討論例題11：已知關(guān)于\(x\)的方程\((m-1)x^2+2x+1=0\)有實數(shù)根，求\(m\)的取值范圍。解題思路：需分“一元一次方程”（\(m-1=0\)）和“一元二次方程”（\(m-1\neq0\)）討論。步驟：1.當(dāng)\(m-1=0\)（即\(m=1\)）時，方程變?yōu)閈(2x+1=0\)，解得\(x=-\frac{1}{2}\)，有實數(shù)根；2.當(dāng)\(m-1\neq0\)（即\(m\neq1\)）時，方程為一元二次方程，需\(\Delta\geq0\)：\(\Delta=2^2-4\times(m-1)\times1=