角平分線作為幾何圖形中角的“對稱分割線”，在中考數(shù)學(xué)的幾何證明與計算類題目中頻繁登場。從基礎(chǔ)的角度相等推導(dǎo)，到復(fù)雜的線段關(guān)系、面積比例問題，角平分線的應(yīng)用貫穿初中幾何體系。掌握其核心模型，能幫助考生快速識別解題線索，提升幾何思維的精準(zhǔn)度與解題效率。模型一：角平分線+垂線，構(gòu)造等腰三角形當(dāng)角平分線與角的一邊的垂線結(jié)合時，延長垂線與角的另一邊相交，可構(gòu)造等腰三角形，利用“三線合一”（角平分線、中線、高重合）簡化線段關(guān)系。例題：在△ABC中，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于D，求證：\(AB=AC+CD\)。解析：延長BD交AC的延長線于點E。由AD平分∠BAC，得\(\angleBAD=\angleEAD\)；又AD⊥BE，故\(\angleADB=\angleADE=90^\circ\)；結(jié)合公共邊AD，可證△ADB≌△ADE（ASA），因此\(AB=AE\)，\(BD=DE\)。觀察線段關(guān)系：\(AE=AC+CE\)，需證\(CD=CE\)。因BD=DE，∠BDC=∠EDC=90°（對頂角或平角推導(dǎo)），CD為公共邊，故△BDC≌△EDC（SAS），得\(CD=CE\)。最終\(AB=AE=AC+CE=AC+CD\)，得證。模型二：角平分線+平行線，等腰三角形再現(xiàn)角平分線與平行線結(jié)合時，利用“內(nèi)錯角相等”可推導(dǎo)出等腰三角形（等角對等邊），即“角平分線遇平行，等腰必呈現(xiàn)”。例題：在△ABC中，BO平分∠ABC，過點O作BC的平行線交AB于E，交AC于F，求證：\(BE=EO\)。解析：由EF∥BC，得\(\angleEOB=\angleOBC\)（內(nèi)錯角相等）；又BO平分∠ABC，故\(\angleEBO=\angleOBC\)；因此\(\angleEBO=\angleEOB\)，根據(jù)“等角對等邊”，得\(BE=EO\)。模型三：角平分線定理的比例應(yīng)用三角形內(nèi)角平分線分對邊所成的兩條線段，與這個角的兩邊對應(yīng)成比例（角平分線定理）。此模型常用于線段比例計算或證明，核心是“邊比=鄰邊比”。例題：在△ABC中，AD平分∠BAC，\(AB=5\)，\(AC=3\)，\(BC=7\)，求BD的長。解析：根據(jù)角平分線定理，\(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\)。設(shè)\(BD=5k\)，\(DC=3k\)（因\(\frac{BD}{DC}=\frac{5}{3}\)）；由\(BD+DC=BC=7\)，得\(5k+3k=7\)，解得\(k=\frac{7}{8}\)；因此\(BD=5k=5\times\frac{7}{8}=\frac{35}{8}\)。模型四：角平分線與面積結(jié)合（面積法）角平分線上的點到角兩邊的距離相等（即高相等），結(jié)合三角形面積公式\(S=\frac{1}{2}ah\)，可將面積比轉(zhuǎn)化為線段比，或通過面積求線段長度。例題：在△ABC中，AD平分∠BAC，\(AB=6\)，\(AC=4\)，△ABD的面積為12，求△ACD的面積。解析：設(shè)D到AB、AC的距離均為\(h\)（因AD平分∠BAC，距離相等）。對△ABD，面積\(S_{\triangleABD}=\frac{1}{2}\timesAB\timesh=12\)，代入\(AB=6\)，得\(\frac{1}{2}\times6\timesh=12\)，解得\(h=4\)；對△ACD，面積\(S_{\triangleACD}=\frac{1}{2}\timesAC\timesh=\frac{1}{2}\times4\times4=8\)。模型應(yīng)用總結(jié)角平分線的核心應(yīng)用模型，本質(zhì)是圍繞“角相等”“等腰三角形”“比例關(guān)系”“面積關(guān)系”展開。解題時需關(guān)注：1.圖形中角平分線與垂線、平行線的組合，優(yōu)先嘗試構(gòu)造等腰三角形；2.涉及線段比例時，聯(lián)想角平分線定理（或其逆定理）；