高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：數(shù)列與函數(shù)同步訓(xùn)練在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，數(shù)列與函數(shù)的交匯題型是高考的熱點與難點。數(shù)列作為定義域為正整數(shù)集（或其有限子集）的特殊函數(shù)，其通項公式、前\(n\)項和均與函數(shù)的表達式、性質(zhì)密切相關(guān)。熟練掌握數(shù)列與函數(shù)的同步應(yīng)用，既能深化對函數(shù)思想的理解，又能提升數(shù)列問題的解決能力。本文將從知識梳理、題型分析、同步訓(xùn)練三個維度，系統(tǒng)剖析數(shù)列與函數(shù)的結(jié)合點，助力同學(xué)們突破這一專題。一、知識梳理：數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系數(shù)列的本質(zhì)是特殊的函數(shù)：對于數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)，其通項公式\(a_n=f(n)\)可看作定義域為正整數(shù)集\(\boldsymbol{N^*}\)（或\(\{1,2,\dots,n\}\)）的函數(shù)，前\(n\)項和\(S_n=g(n)\)同理。結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，可從以下角度理解數(shù)列：1.通項公式的函數(shù)特征等差數(shù)列：通項\(a_n=a_1+(n-1)d=dn+(a_1-d)\)，當(dāng)\(d\neq0\)時，是一次函數(shù)（斜率為公差\(d\)）；當(dāng)\(d=0\)時，是常函數(shù)。等比數(shù)列：通項\(a_n=a_1q^{n-1}\)（\(q>0\)且\(q\neq1\)），是指數(shù)型函數(shù)（底數(shù)為公比\(q\)）。2.前\(n\)項和的函數(shù)特征等差數(shù)列：前\(n\)項和\(S_n=\fraca6ykeio{2}n^2+\left(a_1-\fracusiwy6g{2}\right)n\)，是無常數(shù)項的二次函數(shù)，其圖象為拋物線上的離散點，對稱軸為\(n=\frac{1}{2}-\frac{a_1}g6a6aqu\)。等比數(shù)列：前\(n\)項和\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)（\(q\neq1\)），可變形為\(S_n=A-Aq^n\)（\(A=\frac{a_1}{1-q}\)），類似指數(shù)函數(shù)的變形。3.數(shù)列的性質(zhì)與函數(shù)性質(zhì)的對應(yīng)單調(diào)性：數(shù)列的單調(diào)性可通過\(a_{n+1}-a_n\)（差法）或\(\frac{a_{n+1}}{a_n}\)（商法，等比數(shù)列）判斷，需注意數(shù)列定義域為正整數(shù)，與函數(shù)定義域為實數(shù)的區(qū)別。周期性：若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_{n+T}=a_n\)（\(T\)為正整數(shù)），則為周期數(shù)列，需結(jié)合正整數(shù)\(n\)的取值分析函數(shù)的周期性。二、題型分析：數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用題型1：利用函數(shù)單調(diào)性研究數(shù)列的最值或參數(shù)范圍例題：已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式為\(a_n=n^2-kn\)（\(n\in\boldsymbol{N^*}\)），若\(\{a_n\}\)是遞增數(shù)列，求實數(shù)\(k\)的取值范圍。解析：數(shù)列遞增的定義是“對任意\(n\in\boldsymbol{N^*}\)，有\(zhòng)(a_{n+1}>a_n\)”。計算相鄰項的差：\[a_{n+1}-a_n=(n+1)^2-k(n+1)-(n^2-kn)=2n+1-k\]要使\(a_{n+1}>a_n\)恒成立，需\(2n+1-k>0\)對所有\(zhòng)(n\in\boldsymbol{N^*}\)成立，即\(k<2n+1\)恒成立。由于\(n\in\boldsymbol{N^*}\)，\(2n+1\)的最小值在\(n=1\)時取得（為\(3\)），因此\(k<3\)。易錯點：若直接用函數(shù)\(f(x)=x^2-kx\)的單調(diào)性（對稱軸\(x=\frac{k}{2}\)），認為“\(f(x)\)在\([1,+\infty)\)遞增”即\(\frac{k}{2}\leq1\)（\(k\leq2\)），會忽略數(shù)列的“離散性”——即使對稱軸在\((1,2)\)之間，只要相鄰項差為正，數(shù)列仍遞增。因此，數(shù)列單調(diào)性需通過\(a_{n+1}-a_n\)判斷，而非直接套用函數(shù)的對稱軸。題型2：數(shù)列的周期性與函數(shù)周期的綜合例題：已知函數(shù)\(f(x)\)滿足\(f(x+2)=-f(x)\)，且當(dāng)\(x\in[0,2]\)時，\(f(x)=x^2\)。數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_n=f(n)\)（\(n\in\boldsymbol{N^*}\)），求\(a_{2023}\)的值。解析：先求函數(shù)\(f(x)\)的周期：由\(f(x+2)=-f(x)\)，得\(f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x)\)，故周期為\(4\)。數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的項為\(f(1),f(2),f(3),f(4),\dots\)，因此\(a_{2023}=f(2023)\)。計算\(2023\)除以\(4\)的余數(shù)：\(2023=4\times505+3\)，故\(f(2023)=f(3)\)。由\(f(x+2)=-f(x)\)，令\(x=1\)，得\(f(3)=f(1+2)=-f(1)\)。又\(x\in[0,2]\)時\(f(x)=x^2\)，故\(f(1)=1^2=1\)，因此\(f(3)=-1\)，即\(a_{2023}=-1\)。題型3：數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用題例題：已知函數(shù)\(f(x)=\log_2x-x+2\)，數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_n=f(n)\)（\(n\in\boldsymbol{N^*}\)，\(n\leq5\)），判斷\(\{a_n\}\)中是否存在連續(xù)三項成等比數(shù)列，并說明理由。解析：先計算\(n=1\)到\(5\)的\(a_n\)：\(a_1=\log_21-1+2=1\)\(a_2=\log_22-2+2=1\)\(a_3=\log_23-3+2=\log_23-1\approx0.585\)\(a_4=\log_24-4+2=0\)\(a_5=\log_25-5+2=\log_25-3\approx-0.678\)檢查連續(xù)三項的等比中項：若\(a_1,a_2,a_3\)成等比，則\(a_2^2=a_1\cdota_3\)，即\(1^2=1\times0.585\)，不成立；若\(a_2,a_3,a_4\)成等比，則\(a_3^2=a_2\cdota_4\)，即\(0.585^2\approx0.342=1\times0\)，不成立；若\(a_3,a_4,a_5\)成等比，則\(a_4^2=a_3\cdota_5\)，即\(0^2=0.585\times(-0.678)\)，不成立。因此，數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中不存在連續(xù)三項成等比數(shù)列。三、同步訓(xùn)練：鞏固數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用基礎(chǔ)訓(xùn)練（夯實概念）1.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項\(a_n=2n-3\)，判斷它是否為等差數(shù)列，并結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)說明理由。2.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項\(a_n=3\cdot2^{n-1}\)，求前\(n\)項和\(S_n\)，并指出\(S_n\)的函數(shù)類型。提升訓(xùn)練（綜合應(yīng)用）1.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項\(a_n=n+\frac{1}{a}\)（\(a\)為常數(shù)），若\(\{a_n\}\)是遞增數(shù)列，求\(a\)的取值范圍。2.函數(shù)\(f(x)\)是周期為\(3\)的奇函數(shù)，且\(f(1)=1\)。數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_n=f(n)\)，求\(a_{2024}\)的值。拓展訓(xùn)練（創(chuàng)新思維）已知函數(shù)\(f(x)=x^2-2x\)，數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_n=f(n)\)，\(b_n=\frac{1}{a_n+2}\)（\(n\in\boldsymbol{N^*}\)）。（1）求數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)的前\(n\)項和\(T_n\)；（2）是否存在正整數(shù)\(n\)，使得\(T_n=\frac{5}{6}\)？若存在，求出\(n\)；若不存在，說明理由。四、總結(jié)提升：方法與易錯點歸納1.核心思想：數(shù)列是特殊的函數(shù)，解題時需靈活運用函數(shù)的單調(diào)性、周期性、最值等性質(zhì)，但需注意數(shù)列的定義域為正整數(shù)集：研究單調(diào)性時，優(yōu)先用\(a_{n+1}-a_n\)（或\(\frac{a_{n+1}}{a_n}\)）判斷，避免直接套用函數(shù)的“連續(xù)單調(diào)性”；研究周期性時，需結(jié)合正整數(shù)\(n\)的取值，將函數(shù)周期轉(zhuǎn)化為數(shù)列的周期。2.易錯點提醒：等差數(shù)列前\(n\)項和\(S_n\)是無常數(shù)項的二次函數(shù)，若\(S_n=An^2+Bn+C\)（\(C\neq0\)），則數(shù)列不是等差數(shù)列（需驗證\(n\geq2\)時\(a_n=S_n-S_{n-1}\)，且\(a_1=S_1