長沙數(shù)學(xué)招聘真題及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.若集合\(A=\{x|x^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x|0<x<6,x\inN\}\)，則滿足\(A\subseteqC\subseteqB\)的集合\(C\)的個(gè)數(shù)為（）A.4B.8C.7D.16答案：B2.函數(shù)\(y=\log_2(4-x^2)\)的定義域?yàn)椋ǎ〢.\((-2,2)\)B.\([-2,2]\)C.\((-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\)D.\((-\infty,-2]\cup[2,+\infty)\)答案：A3.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(x,-4)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(x\)的值為（）A.-2B.2C.-8D.8答案：A4.在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3+a_5=10\)，則\(a_4\)的值為（）A.5B.6C.8D.10答案：A5.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)答案：B6.直線\(3x+4y-12=0\)與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為（）A.6B.12C.24D.60答案：A7.圓\(x^2+y^2-4x+6y=0\)的圓心坐標(biāo)和半徑分別是（）A.\((2,-3)\)，\(\sqrt{13}\)B.\((-2,3)\)，\(\sqrt{13}\)C.\((2,-3)\)，\(13\)D.\((-2,3)\)，\(13\)答案：A8.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+1\)的極小值點(diǎn)為（）A.0B.2C.-2D.1答案：B9.從\(1,2,3,4,5\)這\(5\)個(gè)數(shù)字中任取\(3\)個(gè)不同的數(shù)字，組成一個(gè)三位數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的概率為（）A.\(\frac{1}{5}\)B.\(\frac{2}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(\frac{4}{5}\)答案：B10.已知\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，當(dāng)\(x\geqslant0\)時(shí)，\(f(x)=x^2+2x\)，則\(f(-1)\)的值為（）A.-3B.3C.-1D.1答案：A二、多項(xiàng)選擇題1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\ln|x|\)D.\(y=2^x\)答案：ABC2.下列說法正確的是（）A.若直線\(l_1\)：\(A_1x+B_1y+C_1=0\)與直線\(l_2\)：\(A_2x+B_2y+C_2=0\)平行，則\(\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq\frac{C_1}{C_2}\)B.過點(diǎn)\((x_0,y_0)\)且斜率為\(k\)的直線方程為\(y-y_0=k(x-x_0)\)C.圓\(x^2+y^2=r^2\)的圓心到直線\(Ax+By+C=0\)的距離\(d=\frac{|C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)D.若兩圓\(x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1=0\)與\(x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2=0\)外切，則\(\sqrt{(D_1-D_2)^2+(E_1-E_2)^2}=|r_1+r_2|\)答案：ABD3.已知\(a,b,c\)為正實(shí)數(shù)，且\(a+b+c=1\)，則下列結(jié)論正確的有（）A.\(ab+bc+ca\leqslant\frac{1}{3}\)B.\(a^2+b^2+c^2\geqslant\frac{1}{3}\)C.\(\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}\geqslant9\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt+\sqrt{c}\leqslant\sqrt{3}\)答案：ABCD4.以下關(guān)于數(shù)列的說法正確的是（）A.若\(\{a_n\}\)是等差數(shù)列，\(a_m+a_n=a_p+a_q\)，則\(m+n=p+q\)B.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(a_1=1\)，\(q=2\)，則\(S_5=31\)C.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=n^2\)，則\(a_n=2n-1\)D.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_{n+1}=2a_n\)，則\(\{a_n\}\)是等比數(shù)列答案：BC5.對于函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為\(\pi\)B.函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)\((\frac{\pi}{3},0)\)對稱C.函數(shù)在\([-\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12}]\)上單調(diào)遞增D.函數(shù)圖象可以由\(y=\sin2x\)的圖象向左平移\(\frac{\pi}{3}\)個(gè)單位得到答案：AB6.已知\(f(x)\)是定義在\(R\)上的可導(dǎo)函數(shù)，且\(f^\prime(x)\)是\(f(x)\)的導(dǎo)函數(shù)，下列說法正確的是（）A.若\(f^\prime(x)>0\)在\((a,b)\)上恒成立，則\(f(x)\)在\((a,b)\)上單調(diào)遞增B.若\(f(x)\)在\((a,b)\)上單調(diào)遞增，則\(f^\prime(x)>0\)在\((a,b)\)上恒成立C.若\(x_0\)是\(f(x)\)的極值點(diǎn)，則\(f^\prime(x_0)=0\)D.若\(f^\prime(x_0)=0\)，則\(x_0\)一定是\(f(x)\)的極值點(diǎn)答案：AC7.以下哪些是直線的方程形式（）A.點(diǎn)斜式B.斜截式C.兩點(diǎn)式D.截距式答案：ABCD8.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)\(A(1,0,2)\)，\(B(1,-3,1)\)，點(diǎn)\(M\)在\(y\)軸上，且\(M\)到\(A\)與\(M\)到\(B\)的距離相等，則\(M\)的坐標(biāo)為（）A.\((0,-1,0)\)B.\((0,1,0)\)C.\((0,-2,0)\)D.\((0,2,0)\)答案：A9.已知\(a,b\)為非零向量，下列說法正確的是（）A.若\(\vert\vec{a}+\vec\vert=\vert\vec{a}\vert+\vert\vec\vert\)，則\(\vec{a}\)與\(\vec\)同向B.若\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，則\(\vec{a}\perp\vec\)C.若\(\vec{a}\cdot\vec<0\)，則\(\vec{a}\)與\(\vec\)夾角為鈍角D.\(\vert\vec{a}\cdot\vec\vert\leqslant\vert\vec{a}\vert\vert\vec\vert\)答案：ABD10.已知\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)（\(a\neq0\)），其導(dǎo)函數(shù)\(f^\prime(x)\)的圖象如下，則（）A.\(a>0\)B.\(c>0\)C.\(f(x)\)在\((-\infty,x_1)\)和\((x_2,+\infty)\)上單調(diào)遞增D.\(f(x)\)在\((x_1,x_2)\)上單調(diào)遞減答案：ABCD三、判斷題1.空集是任何集合的真子集。（×）2.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（×）3.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，則\(\alpha=\beta+2k\pi\)，\(k\inZ\)。（×）4.平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)\(F_1,F_2\)的距離之和等于常數(shù)（大于\(|F_1F_2|\)）的點(diǎn)的軌跡是橢圓。（√）5.若直線\(l\)與平面\(\alpha\)內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則\(l\perp\alpha\)。（×）6.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=2^n-1\)，則\(a_n=2^{n-1}\)。（√）7.函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)（\(A>0,\omega>0\)）的最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)。（√）8.若\(a>b>0\)，\(c>d>0\)，則\(ac>bd\)。（√）9.已知向量\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(x_1y_2-x_2y_1=0\)。（√）10.拋物線\(y^2=2px\)（\(p>0\)）的焦點(diǎn)坐標(biāo)是\((\frac{p}{2},0)\)。（√）四、簡答題1.求函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)在區(qū)間\([0,3]\)上的最值。答案：對函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)進(jìn)行配方得\(y=(x-1)^2+2\)。其對稱軸為\(x=1\)。當(dāng)\(x=1\)時(shí)，\(y\)取得最小值\(2\)；當(dāng)\(x=3\)時(shí)，\(y=3^2-2\times3+3=6\)；當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(y=0^2-2\times0+3=3\)。比較\(6\)和\(3\)，可知最大值為\(6\)。所以函數(shù)在區(qū)間\([0,3]\)上最小值是\(2\)，最大值是\(6\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，\(a_3=5\)，\(S_5=25\)，求\(a_n\)的通項(xiàng)公式。答案：設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的首項(xiàng)為\(a_1\)，公差為\(d\)。由\(a_3=5\)可得\(a_1+2d=5\)；由\(S_5=25\)，根據(jù)等差數(shù)列求和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)，有\(zhòng)(5a_1+\frac{5\times4}{2}d=25\)，即\(a_1+2d=5\)。聯(lián)立方程解得\(a_1=1\)，\(d=2\)。則\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。3.求過點(diǎn)\(P(2,-1)\)且與直線\(2x-3y+1=0\)垂直的直線方程。答案：已知直線\(2x-3y+1=0\)的斜率\(k_1=\frac{2}{3}\)。因?yàn)樗笾本€與已知直線垂直，所以兩條直線斜率乘積為\(-1\)，則所求直線斜率\(k=-\frac{3}{2}\)。由點(diǎn)斜式\(y-y_0=k(x-x_0)\)（其中\(zhòng)((x_0,y_0)=(2,-1)\)），可得\(y+1=-\frac{3}{2}(x-2)\)，整理得\(3x+2y-4=0\)。4.已知\(\sin\alpha=\frac{1}{3}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，求\(\cos(\alpha+\frac{\pi}{4})\)的值。答案：因?yàn)閈(\sin\alpha=\frac{1}{3}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，根據(jù)\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，可得\(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-(\frac{1}{3})^2}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}\)。再根據(jù)兩角和的余弦公式\(\cos(A+B)=\cosA\cosB-\sinA\sinB\)，則\(\cos(\alpha+\frac{\pi}{4})=\cos\alpha\cos\frac{\pi}{4}-\sin\alpha\sin\frac{\pi}{4}=(-\frac{2\sqrt{2}}{3})\times\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{3}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{4+\sqrt{2}}{6}\)。五、討論題1.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力？請結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行討