天津大學(xué)高數(shù)考試試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定義域是（）A.\(x>1\)B.\(x\neq2\)C.\(x>1\)且\(x\neq2\)D.\(x\geq1\)且\(x\neq2\)2.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，與\(x\)等價(jià)無窮小的是（）A.\(\sin2x\)B.\(1-\cosx\)C.\(\ln(1+x)\)D.\(2^x-1\)3.函數(shù)\(y=x^3-3x\)的駐點(diǎn)是（）A.\(x=1\)B.\(x=-1\)C.\(x=\pm1\)D.\(x=0\)4.若\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)是\(e^{-x}\)，則\(f^\prime(x)\)=（）A.\(e^{-x}\)B.\(-e^{-x}\)C.\(e^{x}\)D.\(-e^{x}\)5.\(\int\frac{1}{x^2}dx\)=（）A.\(\frac{1}{x}+C\)B.\(-\frac{1}{x}+C\)C.\(\frac{2}{x^3}+C\)D.\(-\frac{2}{x^3}+C\)6.曲線\(y=\frac{1}{x}\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(2\)D.\(-2\)7.極限\(\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x+1}{2x^2-x+3}\)=（）A.\(\frac{3}{2}\)B.\(\frac{2}{3}\)C.\(0\)D.\(\infty\)8.函數(shù)\(y=\sqrt{4-x^2}\)的定義域是（）A.\([-2,2]\)B.\((-2,2)\)C.\([-2,2)\)D.\((-2,2]\)9.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，在\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)，且\(f(a)=f(b)\)，則在\((a,b)\)內(nèi)至少存在一點(diǎn)\(\xi\)，使得（）A.\(f^\prime(\xi)>0\)B.\(f^\prime(\xi)=0\)C.\(f^\prime(\xi)<0\)D.\(f^\prime(\xi)\)不存在10.\(\int_{0}^{1}x^2dx\)=（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(1\)D.\(0\)答案：1.C2.C3.C4.D5.B6.B7.A8.A9.B10.A二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2+1\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=x^3\)2.下列極限存在的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)D.\(\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}\)3.函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)的充要條件是（）A.左導(dǎo)數(shù)存在B.右導(dǎo)數(shù)存在C.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)D.函數(shù)在\(x_0\)處連續(xù)4.下列積分中，值為\(0\)的有（）A.\(\int_{-1}^{1}x^3dx\)B.\(\int_{-1}^{1}\sinxdx\)C.\(\int_{-1}^{1}x^2dx\)D.\(\int_{-1}^{1}\cosxdx\)5.曲線\(y=x^3-3x^2+2\)的拐點(diǎn)是（）A.\((0,2)\)B.\((1,0)\)C.\((2,-2)\)D.\((3,2)\)6.下列函數(shù)中，在\((-\infty,+\infty)\)上單調(diào)遞增的有（）A.\(y=e^x\)B.\(y=x^3\)C.\(y=\lnx\)D.\(y=-x^2\)7.若\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)為\(F(x)\)，則（）A.\(\intf(x)dx=F(x)+C\)B.\(F^\prime(x)=f(x)\)C.\(\intF^\prime(x)dx=F(x)+C\)D.\(f^\prime(x)=F(x)\)8.下列無窮小量中，當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，與\(x\)是同階無窮小的有（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(\sinx\)D.\(1-\cosx\)9.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的間斷點(diǎn)有（）A.\(x=0\)B.\(x=1\)C.無窮間斷點(diǎn)D.可去間斷點(diǎn)10.定積分的性質(zhì)包括（）A.\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）B.\(\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx\)C.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)D.\(\int_{a}^f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^f(x)dx\)（\(a<c<b\)）答案：1.AB2.ABD3.ABC4.AB5.BC6.AB7.ABC8.AC9.BC10.ABCD三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}\)的定義域是\(\{1\}\)。（）2.無窮小量與無窮大量的乘積是無窮小量。（）3.若\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處一定連續(xù)。（）4.函數(shù)\(y=x^2\)在\((-\infty,0)\)上單調(diào)遞減。（）5.\(\int\sinxdx=\cosx+C\)。（）6.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記號(hào)無關(guān)。（）7.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）8.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，則\(\int_{a}^f(x)dx\)一定存在。（）9.函數(shù)\(y=\lnx\)的導(dǎo)數(shù)是\(\frac{1}{x}\)。（）10.曲線\(y=x^3\)沒有拐點(diǎn)。（）答案：1.√2.×3.√4.√5.×6.√7.×8.√9.√10.×四、簡答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+2\)的單調(diào)區(qū)間。答案：先求導(dǎo)\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime>0\)，得\(x<0\)或\(x>2\)，此為單調(diào)遞增區(qū)間；令\(y^\prime<0\)，得\(0<x<2\)，此為單調(diào)遞減區(qū)間。2.計(jì)算\(\int\frac{1}{x^2+1}dx\)。答案：根據(jù)基本積分公式，\(\int\frac{1}{x^2+1}dx=\arctanx+C\)。3.求極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\)。答案：利用等價(jià)無窮小替換，當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(\sin3x\sim3x\)，則\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{3x}{x}=3\)。4.簡述函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。答案：函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)。可導(dǎo)要求函數(shù)在該點(diǎn)的變化率存在，這必然保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)；而連續(xù)函數(shù)可能在某些點(diǎn)處切線不存在，即不可導(dǎo)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2-1}\)的間斷點(diǎn)類型。答案：函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{(x+1)(x-1)}\)，間斷點(diǎn)為\(x=\pm1\)。當(dāng)\(x\to\pm1\)時(shí)，函數(shù)極限為無窮大，所以\(x=\pm1\)都是無窮間斷點(diǎn)。2.探討定積分在求平面圖形面積中的應(yīng)用原理。答案：定積分的幾何意義是曲邊梯形面積的代數(shù)和。對于由曲線\(y=f(x)\)，\(x=a\)，\(x=b\)及\(x\)軸圍成的圖形，\(\int_{a}^|f(x)|dx\)就表示其面積。通過分割、近似、求和、取極限得到精確面積值。3.分析函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系，并舉例說明。答案：函數(shù)導(dǎo)數(shù)大于\(0\)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；導(dǎo)數(shù)小于\(0\)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減。例如\(y=x^2\)，\(y