線(xiàn)性代數(shù)考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(\vertA\vert=\)（）A.-2B.2C.10D.-10答案：A2.若\(n\)階方陣\(A\)可逆，則\(r(A)=\)（）A.\(n-1\)B.1C.\(n\)D.0答案：C3.向量組\(\alpha_{1}=(1,0,0),\alpha_{2}=(0,1,0),\alpha_{3}=(0,0,1)\)是（）A.線(xiàn)性相關(guān)B.線(xiàn)性無(wú)關(guān)C.無(wú)法確定D.以上都不對(duì)答案：B4.設(shè)\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(Ax=0\)只有零解的充分必要條件是（）A.\(m\gtn\)B.\(m=n\)C.\(r(A)=n\)D.\(r(A)=m\)答案：C5.設(shè)\(A\)，\(B\)為同階方陣，則\((A+B)^{2}=\)（）A.\(A^{2}+2AB+B^{2}\)B.\(A^{2}+AB+BA+B^{2}\)C.\(A^{2}+B^{2}\)D.以上都不對(duì)答案：B6.設(shè)\(\lambda\)是方陣\(A\)的特征值，則\(\lambda^{2}\)是（）的特征值。A.\(A^{2}\)B.\(2A\)C.\(A+I\)D.\(A-I\)答案：A7.設(shè)\(A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)，則\(A\)的特征值為（）A.1，2，3B.-1，-2，-3C.0，1，2D.0，2，3答案：A8.二次型\(f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+3x_{3}^{2}\)的矩陣是（）A.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&1\\1&1&3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\\3&3&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\2&2&0\\3&0&3\end{pmatrix}\)答案：A9.若\(A\)是正交矩陣，則\(\vertA\vert=\)（）A.1B.-1C.\(\pm1\)D.0答案：C10.設(shè)\(V=\{x=(x_{1},x_{2},x_{3})\vertx_{1}+x_{2}+x_{3}=0\}\)，則\(V\)是（）A.向量空間B.不是向量空間C.無(wú)法確定D.以上都不對(duì)答案：A二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，則下列等式正確的是（）A.\((AB)^{T}=B^{T}A^{T}\)B.\((A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}\)C.\((kA)^{T}=kA^{T}\)（\(k\)為常數(shù)）D.\((A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1}\)答案：ABCD2.下列向量組中線(xiàn)性相關(guān)的是（）A.\(\alpha_{1}=(1,1,1),\alpha_{2}=(1,2,3),\alpha_{3}=(1,3,6)\)B.\(\alpha_{1}=(1,0,0),\alpha_{2}=(0,1,0),\alpha_{3}=(0,0,1)\)C.\(\alpha_{1}=(1,2,3),\alpha_{2}=(2,4,6)\)D.\(\alpha_{1}=(1,-1,0),\alpha_{2}=(0,1,-1),\alpha_{3}=(-1,0,1)\)答案：AC3.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)為\(A\)的特征值，\(x\)為對(duì)應(yīng)的特征向量，則（）A.\(\lambda^{2}\)是\(A^{2}\)的特征值B.\(\lambda+1\)是\(A+I\)的特征值C.\(k\lambda\)是\(kA\)的特征值（\(k\)為常數(shù)）D.\(\frac{1}{\lambda}\)是\(A^{-1}\)的特征值（\(\lambda\neq0\)）答案：ABCD4.設(shè)\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}\)，則（）A.\(A\)可逆B.\(r(A)=3\)C.\(\vertA\vert=1\)D.\(A\)的行向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)答案：ABCD5.對(duì)于二次型\(f(x)=x^{T}Ax\)（\(A\)為對(duì)稱(chēng)矩陣），下列說(shuō)法正確的是（）A.若\(A\)正定，則\(f(x)\gt0\)對(duì)所有\(zhòng)(x\neq0\)成立B.若\(A\)負(fù)定，則\(f(x)\lt0\)對(duì)所有\(zhòng)(x\neq0\)成立C.若\(A\)半正定，則\(f(x)\geqslant0\)對(duì)所有\(zhòng)(x\)成立D.若\(A\)半負(fù)定，則\(f(x)\leqslant0\)對(duì)所有\(zhòng)(x\)成立答案：ABCD6.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=BA\)，則（）A.\(A\)與\(B\)有相同的特征向量B.\(A\)與\(B\)可同時(shí)對(duì)角化C.\(A+B\)的特征值為\(A\)與\(B\)特征值之和D.\(AB\)的特征值為\(A\)與\(B\)特征值之積答案：BD7.設(shè)\(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，則\(A\)可逆的充分必要條件是（）A.\(ad-bc\neq0\)B.\(r(A)=2\)C.\(A\)的行向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)D.\(A\)的列向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)答案：ABCD8.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，若\(Ax=0\)有非零解，則（）A.\(\vertA\vert=0\)B.\(r(A)\ltn\)C.\(A\)的列向量組線(xiàn)性相關(guān)D.\(A\)的行向量組線(xiàn)性相關(guān)答案：ABC9.下列矩陣是正交矩陣的是（）A.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}&0\\-\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{pmatrix}\)答案：ABCD10.設(shè)\(V_{1}\)，\(V_{2}\)是向量空間\(V\)的子空間，則（）A.\(V_{1}\capV_{2}\)是\(V\)的子空間B.\(V_{1}+V_{2}\)是\(V\)的子空間C.\(V_{1}\cupV_{2}\)是\(V\)的子空間D.若\(V_{1}\subseteqV_{2}\)，則\(V_{2}\)是\(V_{1}\)的子空間答案：AB三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，則\((A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2}\)。（×）2.若\(n\)階方陣\(A\)的行列式\(\vertA\vert\neq0\)，則\(A\)的行向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)。（√）3.設(shè)\(\alpha=(1,2,3)\)，\(\beta=(4,5,6)\)，則\(\alpha\cdot\beta=32\)。（√）4.若\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)為\(A\)的特征值，則\(A-\lambdaI\)不可逆。（√）5.二次型\(f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}\)的矩陣為\(\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}\)。（√）6.設(shè)\(A\)為\(3\times4\)矩陣，則\(Ax=0\)必有非零解。（√）7.若\(A\)為正交矩陣，則\(A^{T}=A^{-1}\)。（√）8.設(shè)\(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}\)是線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量組，則\(\alpha_{1}+\alpha_{2},\alpha_{2}+\alpha_{3},\alpha_{3}+\alpha_{1}\)也是線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量組。（√）9.若\(A\)為\(n\)階方陣，\(r(A)=n-1\)，則\(Ax=0\)的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為1。（√）10.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，若\(A^{2}=I\)，則\(A=I\)或\(A=-I\)。（×）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述矩陣可逆的定義及其判定方法。答案：定義：設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，如果存在\(n\)階方陣\(B\)，使得\(AB=BA=I\)，則稱(chēng)\(A\)可逆，\(B\)為\(A\)的逆矩陣。判定方法：\(n\)階方陣\(A\)可逆的充分必要條件是\(\vertA\vert\neq0\)，或者\(yùn)(r(A)=n\)，或者\(yùn)(A\)的行（列）向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)等。2.什么是向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組？如何求向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組？答案：向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組是向量組的一個(gè)部分組，它滿(mǎn)足自身線(xiàn)性無(wú)關(guān)，且向量組中的任何向量都可由這個(gè)部分組線(xiàn)性表示。求法：將向量組構(gòu)成矩陣，通過(guò)初等行變換化為行階梯形矩陣，首非零元所在列對(duì)應(yīng)的原向量組中的向量構(gòu)成極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組。3.簡(jiǎn)述特征值與特征向量的定義。答案：設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，如果存在數(shù)\(\lambda\)和非零向量\(x\)，使得\(Ax=\lambdax\)，則\(\lambda\)稱(chēng)為\(A\)的特征值，\(x\)稱(chēng)為\(A\)對(duì)應(yīng)于特征值\(\lambda\)的特征向量。4.什么是正定二次型？如何判定二次型正定？答案：正定二次型是對(duì)于二次型\(f(x)=x^{T}Ax\)（\(A\)為對(duì)稱(chēng)矩陣），當(dāng)\(x\neq0\)時(shí)，\(f(x)>0\)恒成立。判定方法：\(A\)的所有順序主子式都大于零則二次型正定。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論矩陣的秩與線(xiàn)性方程組解的關(guān)系。答案：對(duì)于線(xiàn)性方程組\(Ax=b\)，若\(r(A)=r(A,b)\)，方程組有解。當(dāng)\(r(A)=n\)（\(n\)為未知數(shù)個(gè)數(shù)）時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)\(r(A)<n\)時(shí)，方程組有無(wú)窮多解。若\(r(A)\neqr(A,b)\)，方程組無(wú)解。2.討論向量空間的基與維數(shù)的概念及其關(guān)系。答案：向量空間的基是向量空間中的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，維