復數(shù)基礎(chǔ)知識點

復數(shù)的定義我們把形如\(a+bi\)（\(a,b\inR\)）的數(shù)叫做復數(shù)，其中\(zhòng)(i\)叫做虛數(shù)單位，且\(i^{2}=-1\)。\(a\)叫做復數(shù)的實部，\(b\)叫做復數(shù)的虛部。例如，復數(shù)\(3+2i\)，實部是\(3\)，虛部是\(2\)。當\(b=0\)時，復數(shù)\(a+bi\)就是實數(shù)\(a\)；當\(b\neq0\)時，復數(shù)\(a+bi\)叫做虛數(shù)；當\(a=0\)且\(b\neq0\)時，復數(shù)\(bi\)叫做純虛數(shù)。復數(shù)的表示復數(shù)通常用字母\(z\)表示，即\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），這一表示形式叫做復數(shù)的代數(shù)形式。復數(shù)集用字母\(C\)表示，顯然\(R\subsetneqqC\)。在復平面內(nèi)，復數(shù)\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)）可以用坐標為\((a,b)\)的點\(Z\)來表示，這個建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面，\(x\)軸叫做實軸，\(y\)軸叫做虛軸（實軸上的點都表示實數(shù)；除原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)）。另外，復數(shù)\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)）還可以用向量\(\overrightarrow{OZ}\)來表示，其中\(zhòng)(O\)是坐標原點，\(Z\)是復數(shù)\(z\)對應的點。向量\(\overrightarrow{OZ}\)的模\(\vert\overrightarrow{OZ}\vert\)叫做復數(shù)\(z\)的模（或絕對值），記作\(\vertz\vert\)，且\(\vertz\vert=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)。復數(shù)的運算1.加法運算：設(shè)\(z_{1}=a+bi\)，\(z_{2}=c+di\)（\(a,b,c,d\inR\)），則\(z_{1}+z_{2}=(a+c)+(b+d)i\)。復數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任意復數(shù)\(z_{1}\)，\(z_{2}\)，\(z_{3}\)，有\(zhòng)(z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}\)，\((z_{1}+z_{2})+z_{3}=z_{1}+(z_{2}+z_{3})\)。2.減法運算：\(z_{1}-z_{2}=(a-c)+(b-d)i\)，可以看作是加法的逆運算。3.乘法運算：\(z_{1}\cdotz_{2}=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^{2}=(ac-bd)+(ad+bc)i\)。復數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及乘法對加法的分配律，即對任意復數(shù)\(z_{1}\)，\(z_{2}\)，\(z_{3}\)，有\(zhòng)(z_{1}\cdotz_{2}=z_{2}\cdotz_{1}\)，\((z_{1}\cdotz_{2})\cdotz_{3}=z_{1}\cdot(z_{2}\cdotz_{3})\)，\(z_{1}(z_{2}+z_{3})=z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}\)。4.除法運算：\(\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}=\frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}+\frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}i\)（\(z_{2}=c+di\neq0\)）。共軛復數(shù)當兩個復數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù)。復數(shù)\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)）的共軛復數(shù)記作\(\overline{z}=a-bi\)。共軛復數(shù)有一些重要性質(zhì)，如\(z\cdot\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}=\vertz\vert^{2}=\vert\overline{z}\vert^{2}\)。復數(shù)的幾何意義1.復數(shù)與復平面內(nèi)點的對應關(guān)系：復數(shù)\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)）與復平面內(nèi)的點\(Z(a,b)\)是一一對應的。這種對應關(guān)系使得我們可以借助平面直角坐標系來直觀地研究復數(shù)。2.復數(shù)與向量的對應關(guān)系：復數(shù)\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)）與平面向量\(\overrightarrow{OZ}=(a,b)\)也是一一對應的。通過向量的運算和性質(zhì)，我們可以更好地理解