冪級數(shù)考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的收斂半徑\(R\)滿足（）A.\(R=0\)B.\(R\)為有限正數(shù)C.\(R=+\infty\)D.以上都有可能2.冪級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}\)的收斂區(qū)間是（）A.\((-1,1)\)B.\([-1,1)\)C.\((-1,1]\)D.\([-1,1]\)3.已知冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)在\(x=3\)處收斂，則該冪級數(shù)在\(x=2\)處（）A.絕對收斂B.條件收斂C.發(fā)散D.斂散性不確定4.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}n!x^n\)的收斂半徑\(R\)是（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(+\infty\)D.\(2\)5.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\)的和函數(shù)是（）A.\(\sinx\)B.\(\cosx\)C.\(e^x\)D.\(e^{-x}\)6.若冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-1)^n\)在\(x=3\)處發(fā)散，在\(x=-1\)處收斂，則其收斂區(qū)間為（）A.\((-1,3)\)B.\([-1,3)\)C.\((-1,3]\)D.\([-1,3]\)7.冪級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-2)^n}{n\cdot3^n}\)的收斂半徑為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)8.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的收斂半徑為\(R\)，則冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-a)^n\)的收斂半徑為（）A.\(R\)B.\(R+|a|\)C.\(R-|a|\)D.\(|a|\)9.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}x^n\)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)是（）A.\(\frac{1}{1-x}\)B.\(\frac{1}{1+x}\)C.\(1-x\)D.\(1+x\)10.冪級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}\)在\(x=1\)處（）A.絕對收斂B.條件收斂C.發(fā)散D.不確定二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列關(guān)于冪級數(shù)收斂半徑的說法正確的是（）A.可以通過公式\(R=\lim\limits_{n\to\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|\)（當極限存在時）計算B.收斂半徑\(R\)是唯一確定的C.\(R\)可以為\(0\)、有限正數(shù)或\(+\infty\)D.若冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)與\(\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n\)收斂半徑分別為\(R_1\)，\(R_2\)，則\(\sum_{n=0}^{\infty}(a_n+b_n)x^n\)收斂半徑為\(\min\{R_1,R_2\}\)2.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)在其收斂區(qū)間內(nèi)具有的性質(zhì)有（）A.可逐項求導B.可逐項積分C.和函數(shù)連續(xù)D.和函數(shù)可導3.以下冪級數(shù)收斂半徑為\(1\)的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}nx^n\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}n^2x^n\)4.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n\)的收斂情況可能是（）A.僅在\(x=x_0\)處收斂B.在整個數(shù)軸上都收斂C.在以\(x_0\)為中心的某個區(qū)間內(nèi)收斂D.在\((x_0-R,x_0+R)\)內(nèi)絕對收斂，在端點處斂散性不定5.若冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)在\(x=b\)處絕對收斂，則（）A.該冪級數(shù)在\(|x|<|b|\)時絕對收斂B.該冪級數(shù)在\(|x|>|b|\)時發(fā)散C.該冪級數(shù)在\(x=-b\)處絕對收斂D.該冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)和函數(shù)可導6.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)與\(\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n\)的收斂半徑分別為\(R_1\)，\(R_2\)，設\(R=\min\{R_1,R_2\}\)，則（）A.\(\sum_{n=0}^{\infty}(a_n+b_n)x^n\)在\((-R,R)\)內(nèi)收斂B.\(\sum_{n=0}^{\infty}(a_n+b_n)x^n\)的收斂半徑一定為\(R\)C.\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nb_nx^n\)的收斂半徑不小于\(R\)D.\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{b_n}x^n\)（\(b_n\neq0\)）的收斂半徑不小于\(R\)7.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的和函數(shù)\(S(x)\)在收斂區(qū)間內(nèi)（）A.滿足\(S(x)=\lim\limits_{n\to\infty}S_n(x)\)（\(S_n(x)\)為部分和）B.若\(S(x)\)可導，則\(S^\prime(x)=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}\)C.若\(S(x)\)可積，則\(\int_{0}^{x}S(t)dt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}\)D.是連續(xù)函數(shù)8.已知冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的收斂半徑為\(R\)，則（）A.當\(R=0\)時，冪級數(shù)僅在\(x=0\)處收斂B.當\(R=+\infty\)時，冪級數(shù)在\((-\infty,+\infty)\)上收斂C.當\(R\)為有限正數(shù)時，冪級數(shù)在\((-R,R)\)內(nèi)收斂D.冪級數(shù)在\(x=\pmR\)處斂散性不確定9.下列冪級數(shù)中，在\(x=1\)處收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}nx^n\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}x^n\)10.關(guān)于冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的收斂區(qū)間與收斂域，正確的是（）A.收斂區(qū)間一定是關(guān)于原點對稱的開區(qū)間B.收斂域是收斂區(qū)間加上端點處的收斂點C.收斂區(qū)間長度為\(2R\)（\(R\)為收斂半徑）D.收斂域可能是一個點集三、判斷題（每題2分，共10題）1.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的收斂半徑\(R\)越大，其收斂區(qū)間就越大。（）2.若冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)在\(x=x_1\)處收斂，則在\(|x|<|x_1|\)處一定絕對收斂。（）3.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)和\(\sum_{n=0}^{\infty}na_nx^{n-1}\)的收斂半徑相同。（）4.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)一定可導。（）5.若冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的收斂半徑為\(R\)，則\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{2n}\)的收斂半徑為\(\sqrt{R}\)。（）6.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)在收斂區(qū)間端點處一定發(fā)散。（）7.兩個冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)與\(\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n\)收斂半徑相同，則它們的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)也相同。（）8.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以進行任意次的逐項求導和逐項積分。（）9.若冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)在\(x=0\)處收斂，則該冪級數(shù)一定收斂。（）10.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-a)^n\)的收斂區(qū)間是以\(a\)為中心的區(qū)間。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述求冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)收斂半徑的方法。答案：可通過公式\(R=\lim\limits_{n\to\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|\)（當極限存在時）求，若極限不存在，也可用\(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\)，\(R=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}\)（極限存在時）來求收斂半徑。2.說明冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的性質(zhì)。答案：冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導，求導后收斂半徑不變；可逐項積分，積分后收斂半徑不變；和函數(shù)連續(xù)且和函數(shù)可導，導數(shù)、積分后的冪級數(shù)和原冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)有對應關(guān)系。3.如何判斷冪級數(shù)在收斂區(qū)間端點處的斂散性？答案：將端點值代入冪級數(shù)，轉(zhuǎn)化為常數(shù)項級數(shù)。若為正項級數(shù)，可用比較判別法、比值判別法等；若為交錯級數(shù)，可用萊布尼茨判別法等判斷其斂散性。4.已知冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的收斂半徑為\(R\)，求\(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-1)^n\)的收斂區(qū)間。答案：令\(t=x-1\)，則\(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-1)^n=\sum_{n=0}^{\infty}a_nt^n\)，已知其收斂半徑為\(R\)，所以\(|t|<R\)，即\(|x-1|<R\)，收斂區(qū)間為\((1-R,1+R)\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論冪級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n(n+1)}\)的收斂區(qū)間與和函數(shù)。答案：先求收斂半徑\(R=\lim\limits_{n\to\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|=1\)，收斂區(qū)間為\((-1,1)\)。當\(x=\pm1\)時級數(shù)收斂，收斂域為\([-1,1]\)。設\(S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n(n+1)}\)，通過求導、積分等運算可得\(S(x)=1+\frac{(1-x)\ln(1-x)}{x}(x\neq0)\)，\(S(0)=0\)。2.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)與\(\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n\)在某點的斂散性對它們和的斂散性有何影響？答案：若\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)與\(\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n\)在\(x=x_0\)都收斂，則\(\sum_{n=0}^{\infty}(a_n+b_n)x^n\)在\(x=x_0\)收斂；若一個收斂一個發(fā)散，則和級數(shù)發(fā)散；若都發(fā)散，和級數(shù)斂散性不定。3.舉例說明冪級數(shù)逐項求導和逐項積分后收斂域可能發(fā)生變化。答案：如\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}\)，收斂域為\([-1,1)\)，逐項求導后\(\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}\)，收斂域變?yōu)閈((-