高中數(shù)學(xué)期末重點復(fù)習(xí)題高中數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)的核心在于梳理知識脈絡(luò)、聚焦高頻考點，通過典型題型的深度剖析提升解題能力。以下結(jié)合高中數(shù)學(xué)核心模塊，精選期末重點復(fù)習(xí)題，從考點解讀、解題思路到變式訓(xùn)練，助力同學(xué)們高效備考。一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模塊：把握性質(zhì)，巧用導(dǎo)數(shù)工具考點聚焦：函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、零點問題；導(dǎo)數(shù)的幾何意義（切線方程）、函數(shù)極值與最值、導(dǎo)數(shù)證明不等式或求參數(shù)范圍。典型例題1：函數(shù)單調(diào)性與參數(shù)范圍已知函數(shù)\(f(x)=x^3-ax^2+3x\)在\([1,+\infty)\)上單調(diào)遞增，求實數(shù)\(a\)的取值范圍。解題思路：函數(shù)單調(diào)遞增等價于導(dǎo)函數(shù)\(f’(x)\geq0\)在區(qū)間上恒成立。先求導(dǎo)\(f’(x)=3x^2-2ax+3\)，則\(3x^2-2ax+3\geq0\)在\(x\in[1,+\infty)\)恒成立。分離參數(shù)得\(2a\leq3x+\frac{3}{x}\)，利用基本不等式\(3x+\frac{3}{x}\geq6\)（當(dāng)且僅當(dāng)\(x=1\)時取等號），故\(2a\leq6\)，即\(a\leq3\)。變式訓(xùn)練1若函數(shù)\(f(x)=e^x-ax-1\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增，求\(a\)的取值范圍。（提示：導(dǎo)函數(shù)恒非負，分離參數(shù)后利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)分析）典型例題2：導(dǎo)數(shù)的幾何意義與切線方程求曲線\(y=\lnx+\frac{1}{x}\)在點\((1,1)\)處的切線方程。解題思路：切線斜率為該點的導(dǎo)數(shù)值。先求導(dǎo)\(y’=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\)，代入\(x=1\)得\(y’|_{x=1}=0\)，故切線斜率為0，結(jié)合點斜式得切線方程為\(y=1\)。變式訓(xùn)練2曲線\(y=x^3-2x+1\)在點\((1,0)\)處的切線與直線\(ax+y+1=0\)垂直，求\(a\)的值。（提示：切線斜率與直線斜率的乘積為-1）二、立體幾何模塊：空間想象與邏輯推理并重考點聚焦：空間幾何體的表面積與體積；線面平行、垂直的證明；空間角（線線角、線面角、二面角）的計算（幾何法或空間向量法）。典型例題3：線面垂直的證明與體積計算在四棱錐\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)為矩形，\(PA\perp\)平面\(ABCD\)，\(AB=2\)，\(AD=3\)，\(PA=4\)。（1）證明：\(CD\perp\)平面\(PAD\)；（2）求四棱錐\(P-ABCD\)的體積。解題思路：（1）由\(PA\perp\)平面\(ABCD\)得\(PA\perpCD\)，又矩形中\(zhòng)(CD\perpAD\)，\(PA\capAD=A\)，故\(CD\perp\)平面\(PAD\)。（2）四棱錐體積公式為\(V=\frac{1}{3}S_{底}\cdoth\)，底面矩形面積\(S=2\times3=6\)，高為\(PA=4\)，故\(V=\frac{1}{3}\times6\times4=8\)。變式訓(xùn)練3在三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(AA_1\perp\)平面\(ABC\)，\(AB=BC=2\)，\(\angleABC=90^\circ\)，\(AA_1=3\)。（1）證明：\(B_1C\perp\)平面\(ABC_1\)；（2）求三棱錐\(C_1-ABC\)的體積。（提示：體積可轉(zhuǎn)換為\(V_{A-BCC_1}\)，利用線面垂直找高）三、數(shù)列模塊：通項與求和的核心方法考點聚焦：等差、等比數(shù)列的通項與求和；遞推數(shù)列求通項（累加法、累乘法、構(gòu)造法）；數(shù)列求和（分組、錯位相減、裂項相消）；數(shù)列與不等式綜合。典型例題4：遞推數(shù)列求通項（構(gòu)造法）已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)，求\(\{a_n\}\)的通項公式。解題思路：遞推式為“\(a_{n+1}=pa_n+q\)”型，構(gòu)造等比數(shù)列。令\(a_{n+1}+\lambda=2(a_n+\lambda)\)，展開得\(a_{n+1}=2a_n+\lambda\)，對比原式得\(\lambda=1\)，故\(\{a_n+1\}\)是以\(a_1+1=2\)為首項，2為公比的等比數(shù)列，因此\(a_n+1=2\times2^{n-1}=2^n\)，即\(a_n=2^n-1\)。變式訓(xùn)練4數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=2\)，\(a_{n+1}=3a_n+2\)，求通項公式。（提示：同構(gòu)造法，設(shè)\(a_{n+1}+\lambda=3(a_n+\lambda)\)）典型例題5：錯位相減求和已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)為等差數(shù)列，\(a_1=1\)，公差\(d=2\)；數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)為等比數(shù)列，\(b_1=1\)，公比\(q=2\)。設(shè)\(c_n=a_n\cdotb_n\)，求數(shù)列\(zhòng)(\{c_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n\)。解題思路：\(a_n=2n-1\)，\(b_n=2^{n-1}\)，故\(c_n=(2n-1)\cdot2^{n-1}\)。錯位相減求和：\(S_n=1\times2^0+3\times2^1+5\times2^2+\dots+(2n-1)\times2^{n-1}\)\(2S_n=1\times2^1+3\times2^2+\dots+(2n-3)\times2^{n-1}+(2n-1)\times2^n\)兩式相減得：\(-S_n=1+2(2^1+2^2+\dots+2^{n-1})-(2n-1)\times2^n\)，化簡得\(S_n=(2n-3)\cdot2^n+3\)。變式訓(xùn)練5數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_n=n\cdot3^n\)，求前\(n\)項和\(T_n\)。（提示：錯位相減，注意等比數(shù)列求和的項數(shù)）四、解析幾何模塊：定義與方程的靈活應(yīng)用考點聚焦：直線與圓的位置關(guān)系；橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合（弦長、中點弦、定點定值）。典型例題6：橢圓的定義與方程已知橢圓\(C\)的兩個焦點為\(F_1(-\sqrt{3},0)\)，\(F_2(\sqrt{3},0)\)，過\(F_2\)且垂直于x軸的直線交橢圓于\(A\)、\(B\)兩點，且\(|AB|=1\)，求橢圓\(C\)的標(biāo)準(zhǔn)方程。解題思路：設(shè)橢圓方程為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)），由焦點得\(c=\sqrt{3}\)，故\(a^2-b^2=3\)。將\(x=\sqrt{3}\)代入橢圓方程得\(y=\pm\frac{b^2}{a}\)，故\(|AB|=\frac{2b^2}{a}=1\)，聯(lián)立\(a^2-b^2=3\)與\(2b^2=a\)，解得\(a=2\)，\(b^2=1\)，故橢圓方程為\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\)。變式訓(xùn)練6已知雙曲線\(C\)的漸近線方程為\(y=\pm\frac{3}{4}x\)，且過點\((4,3\sqrt{2})\)，求雙曲線\(C\)的標(biāo)準(zhǔn)方程。（提示：分焦點在x軸、y軸兩種情況，或設(shè)雙曲線方程為\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=\lambda\)）典型例題7：直線與拋物線的弦長問題已知拋物線\(y^2=4x\)，過焦點\(F\)的直線交拋物線于\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)兩點，若\(|AB|=8\)，求直線\(AB\)的方程。解題思路：拋物線焦點\(F(1,0)\)，設(shè)直線\(AB\)的斜率為\(k\)，方程為\(y=k(x-1)\)，聯(lián)立\(y^2=4x\)得\(k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0\)，由韋達定理\(x_1+x_2=\frac{2k^2+4}{k^2}\)，\(x_1x_2=1\)。弦長公式\(|AB|=x_1+x_2+p=\frac{2k^2+4}{k^2}+2=8\)（拋物線\(y^2=2px\)的焦半徑公式\(|AB|=x_1+x_2+p\)，此處\(p=2\)），解得\(k=\pm1\)，故直線方程為\(y=x-1\)或\(y=-x+1\)。變式訓(xùn)練7過拋物線\(y^2=2x\)的焦點作直線交拋物線于\(M\)、\(N\)兩點，若\(|MN|=\frac{25}{4}\)，求直線\(MN\)的斜率。（提示：焦半徑公式結(jié)合韋達定理）五、統(tǒng)計與概率模塊：數(shù)據(jù)處理與模型應(yīng)用考點聚焦：古典概型、幾何概型；頻率分布直方圖（眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)）；獨立性檢驗；線性回歸方程；離散型隨機變量的分布列、期望與方差。典型例題8：頻率分布直方圖與概率某中學(xué)高二年級學(xué)生身高的頻率分布直方圖中，身高區(qū)間\([150,155)\)、\([155,160)\)、\([160,165)\)、\([165,170)\)、\([170,175]\)對應(yīng)的頻率/組距分別為\(0.01\)、\(0.03\)、\(0.05\)、\(0.04\)、\(0.02\)。（1）求身高在\([160,170)\)內(nèi)的頻率；（2）若從該校高二年級隨機抽取一名學(xué)生，求其身高在\([155,170)\)內(nèi)的概率。解題思路：（1）頻率=組距×頻率/組距，\([160,170)\)包含\([160,165)\)和\([165,170)\)，頻率為\(5\times(0.05+0.04)=0.45\)。（2）\([155,170)\)包含\([155,160)\)、\([160,165)\)、\([165,170)\)，頻率為\(5\times(0.03+0.05+0.04)=0.6\)，故概率為0.6。變式訓(xùn)練8某班50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績頻率分布直方圖中，成績區(qū)間\([50,60)\)、\([60,70)\)、\([70,80)\)、\([80,90)\)、\([90,100]\)的頻率/組距分別為\(0.01\)、\(0.02\)、\(0.03\)、\(0.025\)、\(0.015\)。求成績在\([70,90)\)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)。（提示：頻率=組距×頻率/組距，人數(shù)=總?cè)藬?shù)×頻率）典型例題9：線性回歸方程從某廠生產(chǎn)的零件中隨機抽取10個，測得其直徑（單位：mm）與對應(yīng)加工時間（單位：min）的數(shù)據(jù)如下：直徑\(x\)：10，12，14，16，18，20，22，24，26，28時間\(y\)：10，12，13，15，16，17，19，20，21，22求\(y\)關(guān)于\(x\)的線性回歸方程\(\hat{y}=\hatx+\hat{a}\)。解題思路：線性回歸方程系數(shù)公式\(\hat=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}\)，\(\hat{a}=\bar{y}-\hat\bar{x}\)。計算得\(\bar{x}=19\)，\(\bar{y}=16.5\)，\(\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=350\)，\(\sum(x