專題突破練(二)三角函數(shù)與解三角形綜合1．已知在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且2sin2A＋3cos(B＋C(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面積S＝5eq\r(3)，a＝eq\r(21)，求sinB＋sinC的值．解析：(1)由2sin2A＋3cos(B＋C得2cos2A＋3cosA即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0.解得cosA＝eq\f(1,2)或cosA＝－2(舍去)．因?yàn)?<A<π，所以A＝eq\f(π,3).(2)由S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)bc×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)bc＝5eq\r(3)，得bc＝20.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc＝21，所以b＋c＝9.由正弦定理，得sinB＋sinC＝eq\f(b,a)sinA＋eq\f(c,a)sinA＝eq\f(sinA,a)×(b＋c)＝eq\f(\r(3),2\r(21))×9＝eq\f(9\r(7),14).2．已知向量a＝(sinx，cosx－1)，b＝(eq\r(3)cosx，cosx＋1)，函數(shù)f(x)＝2a·b＋1，x∈R.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,12)))＝eq\f(2,3)，求cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))的值．解析：(1)∵a·b＝eq\r(3)sinxcosx＋cos2x－1＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(1＋cos2x,2)－1＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－eq\f(1,2).∴f(x)＝2a·b＋1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，∴函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝eq\f(2π,2)＝π.由2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)得kπ－eq\f(π,3)≤x≤kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))，k∈Z.(2)由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,12)))＝2sin2α＝eq\f(2,3)得sin2α＝eq\f(1,3)，cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,2))),2)＝eq\f(1＋sin2α,2)＝eq\f(2,3).3．已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)sin\f(x,4)，1))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(x,4)，cos2\f(x,4)))，f(x)＝m·n.(1)求f(x)的最大值，并求此時(shí)x的值；(2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，滿足f(B)＝eq\f(\r(3)＋1,2)，a＝2，c＝3，求sinA的值．解析：(1)f(x)＝m·n＝eq\r(3)sineq\f(x,4)coseq\f(x,4)＋cos2eq\f(x,4)＝eq\f(\r(3),2)sineq\f(x,2)＋eq\f(1＋cos\f(x,2),2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，當(dāng)eq\f(x,2)＋eq\f(π,6)＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，即x＝4kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z時(shí)，f(x)取最大值eq\f(3,2).(2)由(1)知f(B)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(B,2)＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3)＋1,2)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(B,2)＋\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),2)，∵0<B<π，∴eq\f(π,6)<eq\f(B,2)＋eq\f(π,6)<eq\f(2π,3)，∴eq\f(B,2)＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,3)，∴B＝eq\f(π,3).在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋9－2×2×3×eq\f(1,2)＝7，∴b＝eq\r(7).在△ABC中，由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴sinA＝eq\f(2×\f(\r(3),2),\r(7))＝eq\f(\r(21),7).4．已知函數(shù)f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋m(m∈R)，將y＝f(x)的圖象向左平移eq\f(π,4)個(gè)單位長度后得到y(tǒng)＝g(x)的圖象，且y＝g(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))內(nèi)的最大值為eq\r(2).(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，若geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)B))＝1，且a＋c＝2，求△ABC的周長l的取值范圍．解析：(1)由題意知f(x)＝sin2x－cos2x－1＋m＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))－1＋m，所以g(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))－\f(π,4)))－1＋m＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))－1＋m，當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))時(shí)，2x＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))，所以當(dāng)2x＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,8)時(shí)，g(x)max＝eq\r(2)＋m－1＝eq\r(2)，所以m＝1.(2)由(1)知geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)B))＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)B＋\f(π,4)))＝1，因?yàn)锽為△ABC的內(nèi)角，所以0<B<π，所以0<eq\f(3,2)B<eq\f(3π,2)，所以eq\f(π,4)<eq\f(3,2)B＋eq\f(π,4)<eq\f(7π,4)，所以eq\f(3,2)B＋eq\f(π,4)＝eq\f(3π,4)，即B＝