今日考研數(shù)學試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=x^3-3x\)的單調遞增區(qū)間是（）A.\((-\infty,-1)\)B.\((-1,1)\)C.\((1,+\infty)\)D.\((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)2.極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.不存在D.\(\infty\)3.設函數(shù)\(f(x)\)在\(x=a\)處可導，則\(\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)等于（）A.\(f'(a)\)B.\(f'(h)\)C.\(f(a)\)D.\(f(h)\)4.若\(y=e^{2x}\)，則\(y'\)等于（）A.\(e^{2x}\)B.\(2e^{2x}\)C.\(e^{x}\)D.\(2e^{x}\)5.不定積分\(\intx^2dx\)等于（）A.\(\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(x^3+C\)C.\(\frac{1}{2}x^2+C\)D.\(2x+C\)6.定積分\(\int_{0}^{1}xdx\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.1C.\(\frac{3}{2}\)D.27.向量\(\vec{a}=(1,2)\)與向量\(\vec=(2,4)\)的關系是（）A.垂直B.平行C.夾角為\(45^{\circ}\)D.夾角為\(60^{\circ}\)8.設\(z=x^2+y^2\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}\)等于（）A.\(2x\)B.\(2y\)C.\(x^2\)D.\(y^2\)9.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}x^n\)的收斂半徑為（）A.0B.1C.\(\infty\)D.210.微分方程\(y'+y=0\)的通解是（）A.\(y=Ce^x\)B.\(y=Ce^{-x}\)C.\(y=Cx\)D.\(y=C\)答案：1.D2.B3.A4.B5.A6.A7.B8.A9.B10.B多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在定義域內連續(xù)的有（）A.\(y=\frac{1}{x}\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\sqrt{x}\)2.函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處可導的充分必要條件有（）A.函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)B.左導數(shù)\(f_{-}'(x_0)\)和右導數(shù)\(f_{+}'(x_0)\)都存在且相等C.\(\lim_{x\tox_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)存在D.函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處有定義3.下列積分中，計算正確的有（）A.\(\int\cosxdx=\sinx+C\)B.\(\int\sinxdx=-\cosx+C\)C.\(\inte^xdx=e^x+C\)D.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)4.向量\(\vec{a}=(1,-1,2)\)與向量\(\vec=(2,-2,4)\)（）A.平行B.垂直C.夾角為\(0^{\circ}\)D.\(\vec=2\vec{a}\)5.對于二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)，以下說法正確的是（）A.若偏導數(shù)\(\frac{\partialz}{\partialx}\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}\)存在，則函數(shù)\(z\)在該點可微B.函數(shù)\(z\)在某點連續(xù)，則偏導數(shù)\(\frac{\partialz}{\partialx}\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}\)一定存在C.若偏導數(shù)\(\frac{\partialz}{\partialx}\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}\)連續(xù)，則函數(shù)\(z\)在該點可微D.函數(shù)\(z\)在某點可微，則函數(shù)\(z\)在該點連續(xù)6.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的收斂性可能是（）A.僅在\(x=0\)處收斂B.在整個數(shù)軸上都收斂C.在某個區(qū)間\((-R,R)\)內收斂D.在\([-R,R]\)上收斂7.下列微分方程中，屬于一階線性微分方程的有（）A.\(y'+y=x\)B.\(y'+y^2=x\)C.\(y'+xy=e^x\)D.\(y''+y=0\)8.函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上滿足羅爾定理的條件有（）A.在\([a,b]\)上連續(xù)B.在\((a,b)\)內可導C.\(f(a)=f(b)\)D.\(f(x)\)為多項式函數(shù)9.下列極限計算正確的有（）A.\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0\)B.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)C.\(\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}=1\)D.\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1\)10.已知\(A\)、\(B\)為\(n\)階矩陣，下列等式成立的有（）A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)B.\((AB)^T=B^TA^T\)C.\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert\)D.\((A^{-1})^{-1}=A\)答案：1.BCD2.BC3.ABCD4.ACD5.CD6.ABCD7.AC8.ABC9.ABCD10.BCD判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\(x=0\)處連續(xù)。（）2.若函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處的導數(shù)為\(0\)，則\(x_0\)一定是函數(shù)\(f(x)\)的極值點。（）3.不定積分\(\intf'(x)dx=f(x)\)。（）4.向量\(\vec{a}=(1,0)\)與向量\(\vec=(0,1)\)垂直。（）5.對于二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)，\(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=\frac{\partial^2z}{\partialy\partialx}\)一定成立。（）6.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}x^n\)在\(x=1\)處收斂。（）7.微分方程\(y'=y\)的通解是\(y=Ce^x\)。（）8.函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上的定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)一定大于\(0\)。（）9.若\(f(x)\)為偶函數(shù)，則\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)。（）10.矩陣\(A\)可逆的充要條件是\(\vertA\vert\neq0\)。（）答案：1.×2.×3.×（應加\(+C\)）4.√5.×（需滿足一定條件）6.×7.√8.×9.√10.√簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+1\)的極值。答案：先求導\(y'=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y'=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。當\(x\lt0\)，\(y'\gt0\)；\(0\ltx\lt2\)，\(y'\lt0\)；\(x\gt2\)，\(y'\gt0\)。所以極大值\(y(0)=1\)，極小值\(y(2)=-3\)。2.計算定積分\(\int_{0}^{\pi}\sinxdx\)。答案：根據(jù)積分公式\(\int\sinxdx=-\cosx+C\)，則\(\int_{0}^{\pi}\sinxdx=-\cosx\big|_{0}^{\pi}=-(\cos\pi-\cos0)=-(-1-1)=2\)。3.求函數(shù)\(z=x^2y\)在點\((1,2)\)處的全微分。答案：先求偏導數(shù)，\(\frac{\partialz}{\partialx}=2xy\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=x^2\)。在點\((1,2)\)處，\(\frac{\partialz}{\partialx}\big|_{(1,2)}=4\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}\big|_{(1,2)}=1\)。全微分\(dz=\frac{\partialz}{\partialx}dx+\frac{\partialz}{\partialy}dy\)，所以在\((1,2)\)處\(dz=4dx+dy\)。4.求冪級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}\)的收斂域。答案：用比值審斂法，\(\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}=1\)，收斂半徑\(R=1\)。當\(x=1\)時，級數(shù)為\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)發(fā)散；當\(x=-1\)時，級數(shù)為\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\)收斂。所以收斂域為\([-1,1)\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\leq0\\2x+1,&x\gt0\end{cases}\)在\(x=0\)處的連續(xù)性與可導性。答案：連續(xù)性：\(\lim_{x\to0^{-}}f(x)=1\)，\(\lim_{x\to0^{+}}f(x)=1\)，\(f(0)=1\)，所以函數(shù)在\(x=0\)處連續(xù)?？蓪裕鹤髮?shù)\(f_{-}'(0)=\lim_{x\to0^{-}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0\)，右導數(shù)\(f_{+}'(0)=\lim_{x\to0^{+}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=2\)，左右導數(shù)不相等，在\(x=0\)處不可導。2.討論定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：定積分計算常借助不定積分，牛頓-萊布尼茨公式將二者相連。區(qū)別：不定積分是原函數(shù)的集合，結果含常數(shù)\(C\)；定積分是一個數(shù)值