試題試題2023-2024學(xué)年第二學(xué)期八年級(jí)數(shù)學(xué)3月學(xué)情調(diào)研（問卷）考試時(shí)間，120分鐘滿分120分第一部分選擇題（共30分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，年小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合要求的）1.下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式的是（）A. B. C. D.2.滿足下列條件的，不是直角三角形的是（）A B.C. D.3.下列命題的逆命題成立的是（）A.全等三角形的面積相等B.相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方也相等C.等腰三角形的兩個(gè)底角相等D.直角都相等4.已知△ABC的周長(zhǎng)為32，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為△ABC三條邊的中點(diǎn)，則△DEF的周長(zhǎng)為（）A.16 B.4 C.32 D.85.如圖，平行四邊形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)O，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，則的長(zhǎng)為（）A.3cm B.6cm C.9cm D.12cm6.在下列給出的條件中，能判定四邊形是平行四邊形的是（）A.， B.，C.， D.，7.如圖，是正方形內(nèi)一點(diǎn)，四邊形與也都是正方形，圖中陰影部分的面積是10，則長(zhǎng)為（）A. B. C.10 D.208.如圖，?ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，△AOB是等邊三角形，OE⊥BD交BC于點(diǎn)E，CD＝1，則CE的長(zhǎng)為（）A B. C. D.9.如圖，矩形中，，，，，點(diǎn)P是直線、之間任意一點(diǎn)，連接、、、，則和的面積和等于（）A.7 B.8 C.12 D.1410.如圖，矩形ABCD的面積為10cm2，它的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)O1，以AB、AO1為兩鄰邊作平行四邊形ABC1O1，平行四邊形ABC1O1的對(duì)角線交于點(diǎn)O2，同樣以AB、AO2為兩鄰邊作平行四邊形ABC2O2，…，依此類推，則平行四邊形ABCnOn的面積為()

A.cm2 B.cm2 C.cm2 D.cm2第二部分非選擇題（共90分）二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11.直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12，則它斜邊上中線長(zhǎng)為______．12.如圖，在矩形中，于E，，則的度數(shù)為______度．13.如圖，已知圓柱的底面周長(zhǎng)18cm，高為12cm，螞蟻從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)的最短路程是___cm．14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，?ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（3，a）、B（2，2）、C（b，3）、D（8，6），則a+b的值為_____．15.套路不深，做題認(rèn)真，觀察得分：，，3，…，______（第個(gè)數(shù)）.16.如圖，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，將沿翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，當(dāng)為直角三角形時(shí)，_________．三、解答題（本大題共7小題，滿分72分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或計(jì)算步驟）17計(jì)算：18.已知，，試求下列代數(shù)式的值．（1）；（2）．19.如圖，在筆直的鐵路上A、B兩點(diǎn)相距25km，C、D為兩村莊，，，于A，于B，現(xiàn)要在AB上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，求E應(yīng)建在距A多遠(yuǎn)處？20.如圖，△ABC中，已知AB=AC，D是AC上的一點(diǎn)，CD=9，BC=15，BD=12．（1）判斷△BCD的形狀并證明你的結(jié)論．（2）求△ABC的面積．21.如圖，在中，．（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：在上截取，使；作的平分線交于點(diǎn)F．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）所作的圖形中，連接交于點(diǎn)G，證明：．22.如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度數(shù)．23.如圖，平行四邊形ABCD四個(gè)內(nèi)角的平分線相交成四邊形EFGH，求證：（1）EG=HF．（2）EG=BC-AB．24.已知矩形中，，，為直線上一點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)在線段上，且時(shí)，求的長(zhǎng)．（2）如圖2，點(diǎn)在線段邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若，連接，為的中點(diǎn)，連接、，求證：．（3）如圖3，在（2）的條件下，、為邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，連接、、、，求四邊形周長(zhǎng)的最小值．25.如圖，在中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）延長(zhǎng)至，使，連接，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．①當(dāng)與滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形是矩形？請(qǐng)說明理由；②若，，，求四邊形的面積．2023-2024學(xué)年第二學(xué)期八年級(jí)數(shù)學(xué)3月學(xué)情調(diào)研（問卷）考試時(shí)間，120分鐘滿分120分第一部分選擇題（共30分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，年小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合要求的）1.下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用最簡(jiǎn)二次根式的定義分析得出答案．【詳解】A、不是最簡(jiǎn)二次根式，錯(cuò)誤；B、不是最簡(jiǎn)二次根式，錯(cuò)誤；C、是最簡(jiǎn)二次根式，正確；D、不是最簡(jiǎn)二次根式，錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了最簡(jiǎn)二次根式，正確把握定義是解題關(guān)鍵．2.滿足下列條件的，不是直角三角形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用直角三角形的判定方法分別判定即可．【詳解】解：A、，，∴∠C=90°，是直角三角形，故選項(xiàng)不符合題意；B、，設(shè)∠A=3x，∠B=4x，∠C=3x，則3x+4x+3x=180°，解得：x=18°，則∠A=54°，∠B=72°，∠C=54°，故不是直角三角形，選項(xiàng)符合題意；C、，則∠C=90°，是直角三角形，故選項(xiàng)不符合題意；D、，設(shè)AB=5x，AC=4x，BC=3x，滿足，是直角三角形，故選項(xiàng)不符合題意；故選B.【點(diǎn)睛】此題主要考查了直角三角形的判定方法，勾股定理逆定理的實(shí)際運(yùn)用，靈活的應(yīng)用此定理是解決問題的關(guān)鍵．3.下列命題的逆命題成立的是（）A.全等三角形的面積相等B.相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方也相等C.等腰三角形的兩個(gè)底角相等D.直角都相等【答案】C【解析】【分析】分別理解各個(gè)選項(xiàng)的逆命題，然后對(duì)各個(gè)選項(xiàng)的逆命題進(jìn)行分析即可作答．【詳解】解：A、全等三角形的面積相等的逆命題為面積相等的三角形為全等三角形，因?yàn)槊娣e相等的三角形不一定為全等三角形，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方也相等的逆命題為平方相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)相等或相反，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、等腰三角形的兩個(gè)底角相等的逆命題為有兩個(gè)角相等的三角形為等腰三角形，所以C選項(xiàng)正確；D、直角都相等的逆命題為相等的角為直角，因?yàn)橄嗟鹊慕遣灰欢ㄊ侵苯?，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形、全等三角形、實(shí)數(shù)以及直角等知識(shí)內(nèi)容，正確掌握逆命題的概念是解題的關(guān)鍵．4.已知△ABC的周長(zhǎng)為32，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為△ABC三條邊的中點(diǎn)，則△DEF的周長(zhǎng)為（）A.16 B.4 C.32 D.8【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到EFAB，DEAC，DFBC，根據(jù)三角形周長(zhǎng)公式計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為△ABC三邊的中點(diǎn)，∴EFAB，DEAC，DFBC，∵△ABC的周長(zhǎng)為32，即AB+AC+BC＝32，∴△DEF的周長(zhǎng)＝EF+DE+DF（AB+AC+BC）＝16．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線定理的應(yīng)用，熟練掌握三角形中位線定理是解題關(guān)鍵．5.如圖，平行四邊形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)O，點(diǎn)為中點(diǎn)，且，則的長(zhǎng)為（）A.3cm B.6cm C.9cm D.12cm【答案】B【解析】【分析】因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危?；又因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以是的中位線，由，即可求得．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴；又∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴（cm）；故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角線互相平分．還考查了三角形中位線的性質(zhì)：三角形的中位線平行且等于三角形第三邊的一半．6.在下列給出的條件中，能判定四邊形是平行四邊形的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的判定條件判斷即可；【詳解】根據(jù)分析可得當(dāng)，時(shí)，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形能證明；故答案選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，準(zhǔn)確判斷是解題的關(guān)鍵．7.如圖，是正方形內(nèi)一點(diǎn)，四邊形與也都是正方形，圖中陰影部分的面積是10，則長(zhǎng)為（）A. B. C.10 D.20【答案】B【解析】【分析】先證四邊形AHOF是矩形，可得AH=OF，由三角形的面積公式可得OG2+OE2=20，即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD，四邊形OHBE，四邊形OGDF都是正方形，∴AD∥BC∥HG，AB∥EF∥CD，F(xiàn)O=OG，HO=OE，∴四邊形AHOF是平行四邊形，又∵∠BAD=90°，∴四邊形AHOF是矩形，∴AH=OF，∵陰影部分的面積是10，∴，∴，∴，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，多邊形的面積等知識(shí)，求出是解題的關(guān)鍵．8.如圖，?ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，△AOB是等邊三角形，OE⊥BD交BC于點(diǎn)E，CD＝1，則CE的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先證明四邊形ABCD是矩形，在RT△BOE中，易知BE＝2EO，只要證明EO＝EC即可．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝OC，BO＝OD，∵△ABO是等邊三角形，∴AO＝BO＝AB，∴AO＝OC＝BO＝OD，∴AC＝BD，∴四邊形ABCD是矩形．∴OB＝OC，∠ABC＝90°，∵△ABO是等邊三角形，∴∠ABO＝60°，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∠BOC＝120°，∵BO⊥OE，∴∠BOE＝90°，∠EOC＝30°，∴∠EOC＝∠ECO，∴EO＝EC，∴BE＝2EO＝2CE，∵CD＝1，∴BC＝CD＝，∴EC＝BC＝，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是直角三角形30度角的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中考?？碱}型．9.如圖，矩形中，，，，，點(diǎn)P是直線、之間任意一點(diǎn)，連接、、、，則和的面積和等于（）A.7 B.8 C.12 D.14【答案】A【解析】【分析】連接，，證明，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，同理，然后根據(jù)兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形可得四邊形是平行四邊形，和的面積和＝平行四邊形EGHF的面積的一半，再利用平行四邊形的面積等于矩形的面積減去四周四個(gè)小直角三角形的面積即可求解．【詳解】解：連接，，如圖所示：∵在矩形中，，，，，∴，∴，在和中，，∴，∴，同理可得，，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵和的高的和等于點(diǎn)H到直線EF的距離，∴和的面積和＝×平行四邊形EGHF的面積，平行四邊形的面積，，∴和的面積和．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．10.如圖，矩形ABCD的面積為10cm2，它的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)O1，以AB、AO1為兩鄰邊作平行四邊形ABC1O1，平行四邊形ABC1O1的對(duì)角線交于點(diǎn)O2，同樣以AB、AO2為兩鄰邊作平行四邊形ABC2O2，…，依此類推，則平行四邊形ABCnOn的面積為()

A.cm2 B.cm2 C.cm2 D.cm2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)對(duì)角線互相平分可知O1是AC與DB的中點(diǎn)，根據(jù)等底同高得到S△ABO1＝S矩形，又ABC1O1為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)對(duì)角線互相平分，得到O1O2＝BO2，所以S△ABO2＝S矩形，…，以此類推得到S△ABO5＝S矩形，而S△ABO5等于平行四邊形ABC5O5的面積的一半，根據(jù)矩形的面積即可求出平行四邊形ABC5O5和平行四邊形AB?nOn的面積．【詳解】解：∵設(shè)平行四邊形ABC1O1的面積為S1，∴S△ABO1＝S1，又∵S△ABO1＝S矩形，∴S1＝S矩形＝5＝；設(shè)ABC2O2為平行四邊形為S2，∴S△ABO2＝S2，又∵S△ABO2＝S矩形，∴S2＝S矩形＝；，…，∴平行四邊形AB?nOn面積為（cm2）．故選D．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形及平行四邊形的性質(zhì)，要求學(xué)生審清題意，找出面積之間的關(guān)系，歸納總結(jié)出一般性的結(jié)論．考查了學(xué)生觀察、猜想、驗(yàn)證及歸納總結(jié)的能力．第二部分非選擇題（共90分）二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11.直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12，則它斜邊上的中線長(zhǎng)為______．【答案】【解析】【分析】本題考查勾股定理，直角三角形中斜邊上的中線．勾股定理求出斜邊的長(zhǎng)，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得解．【詳解】解：由勾股定理，得：直角三角形的斜邊，∴斜邊上的中線長(zhǎng)為；故答案為：．12.如圖，在矩形中，于E，，則的度數(shù)為______度．【答案】45【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)以及垂直的定義，結(jié)合已知條件即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，AC、BD是矩形的對(duì)角線且相交于O，∴OA=OB，∴∠BAC=∠ABD，∵∠DAE=3∠BAE，∠DAE+∠BAE=90°，∴∠BAE=22.5°，∠DAE=67.5°．∵在矩形ABCD，∠DAE+∠ADB=90°，∠ADB+∠ABD=90°，∴∠ABD=∠DAE=67.5°，即∠BAC=∠ABD=67.5°，∴∠EAC=∠BAC-∠BAE=67.5°-22.5°=45°，故答案為：45．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵熟記矩形的四個(gè)角都是直角，對(duì)角線相等且互相平分．13.如圖，已知圓柱的底面周長(zhǎng)18cm，高為12cm，螞蟻從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)的最短路程是___cm．【答案】15．【解析】【分析】沿過A點(diǎn)和過B點(diǎn)的母線剪開，展成平面，連接AB則AB的長(zhǎng)是螞蟻在圓柱表面從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)的最短路程，求出AC和BC的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出斜邊AB即可．【詳解】沿過A點(diǎn)和過B點(diǎn)的母線剪開，展成平面，連接AB則AB的長(zhǎng)是螞蟻在圓柱表面從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)的最短路程，∵AC＝9cm，BC＝12cm，∴AB＝＝15cm，故答案為15．【點(diǎn)睛】考查了平面展開﹣?zhàn)疃搪肪€問題和勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是知道求出AB的長(zhǎng)就是螞蟻在圓柱表面從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)的最短路程．14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，?ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（3，a）、B（2，2）、C（b，3）、D（8，6），則a+b的值為_____．【答案】12【解析】【分析】如圖，連接AC、BD交于點(diǎn)O′，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，構(gòu)建方程求出a、b即可；【詳解】解：如圖，連接AC、BD交于點(diǎn)O′．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO′＝O′C，BO′＝O′D，∵A（3，a），B（2，2），C（b，3），D（8，6），∴，∴a＝5，b＝7，∴a+b＝12，故答案為12【點(diǎn)睛】此題考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于構(gòu)建方程求出a、b15.套路不深，做題認(rèn)真，觀察得分：，，3，…，______（第個(gè)數(shù)）.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意找出規(guī)律，可發(fā)現(xiàn)，，，，即可推出.【詳解】解：根據(jù)題意，可發(fā)現(xiàn)，，，∴第個(gè)數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了規(guī)律探索，讀懂題意，根據(jù)已知條件找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.16.如圖，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，將沿翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，當(dāng)為直角三角形時(shí)，_________．【答案】7或．【解析】【分析】當(dāng)為直角三角形時(shí)，有兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)落在矩形內(nèi)部時(shí)，連接，先利用勾股定理計(jì)算出，根據(jù)折疊的性質(zhì)得，而當(dāng)為直角三角形時(shí)，只能得到，所以點(diǎn)、、共線，即沿折疊，使點(diǎn)落在對(duì)角線上的點(diǎn)處，則，，可計(jì)算出，設(shè)，則，然后在中運(yùn)用勾股定理可計(jì)算出．②當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，如圖所示．此時(shí)四邊形為正方形，根據(jù)，．【詳解】當(dāng)為直角三角形時(shí)，有兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)落在矩形內(nèi)部時(shí)，如下圖所示．連接，中，，，，沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，，當(dāng)為直角三角形時(shí)，只能得到，點(diǎn)、、共線，即沿折疊，使點(diǎn)落在對(duì)角線上的點(diǎn)處，∴，，，設(shè)，則，在中，，，解得，；②當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，如下圖所示,此時(shí)為正方形，∴．綜上所述，長(zhǎng)為7或．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題,矩形的性質(zhì)以及勾股定理，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共7小題，滿分72分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或計(jì)算步驟）17.計(jì)算：【答案】【解析】【分析】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵，先化簡(jiǎn)二次根式，計(jì)算乘法，再合并同類二次根式即可．【詳解】解：原式．18.已知，，試求下列代數(shù)式的值．（1）；（2）．【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）先將原式利用完全平方公式化簡(jiǎn)，然后代入求解即可；（2）將原式利用平方差化簡(jiǎn)，然后代入求解即可．【小問1詳解】解：∵，∴，∴原式【小問2詳解】，由（1）得，，∴原式．【點(diǎn)睛】題目主要考查求代數(shù)式值，包括完全平方公式及平方差公式，二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握各個(gè)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．19.如圖，在筆直的鐵路上A、B兩點(diǎn)相距25km，C、D為兩村莊，，，于A，于B，現(xiàn)要在AB上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，求E應(yīng)建在距A多遠(yuǎn)處？【答案】E應(yīng)建在距A點(diǎn)15km處【解析】【分析】設(shè)，則，根據(jù)勾股定理求得和，再根據(jù)列式計(jì)算即可；【詳解】設(shè)，則，由勾股定理得：在中，，在中，，由題意可知：，所以：，解得：．所以，E應(yīng)建在距A點(diǎn)15km處．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．20.如圖，△ABC中，已知AB=AC，D是AC上的一點(diǎn)，CD=9，BC=15，BD=12．（1）判斷△BCD的形狀并證明你的結(jié)論．（2）求△ABC的面積．【答案】（1）見解析；（2）75【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理即可直接證明△BCD是直角三角形；

（2）設(shè)AD=x，則AC=x+9，在直角△ABD中，利用勾股定理即可列出方程，解方程，即可求解．【詳解】（1）∵CD=9，BD=12∴CD2+BD2=81+144=225∵BC=15∴BC2=225∴CD2+BD2=BC2∴△BCD是直角三角形（2）設(shè)AD=x，則AC=x+9∵AB=AC∴AB=x+9∵∠BDC=90°∴∠ADB=90°∴AB2=AD2+BD2即(x+9)2=x2+122解得：x=∴AC=+9=∴S△ABC=AC?BD==75故答案為：75【點(diǎn)睛】本題考查了利用勾股定理解直角三角形及勾股定理的逆定理的應(yīng)用，勾股定理是直角三角形的一個(gè)性質(zhì)，勾股定理的逆定理是判定直角三角形的一種方法．21.如圖，在中，．（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：在上截取，使；作的平分線交于點(diǎn)F．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）所作的圖形中，連接交于點(diǎn)G，證明：．【答案】（1）作圖見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用尺規(guī)作圖畫出圖形，即可求解；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，從而得到，再由平分，可得，從而得到，進(jìn)而得到，即可．【小問1詳解】解：如圖所示，點(diǎn)E、F即為所求；【小問2詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，又∵，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平四邊形的性質(zhì)，尺規(guī)作圖，等腰三角形的判定，熟練掌握平四邊形的性質(zhì)，尺規(guī)作圖的作法是解題的關(guān)鍵．22.如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）∠BDF＝18°．【解析】【分析】（1）先證明四邊形ABCD是平行四邊形，求出∠ABC=90°，然后根據(jù)矩形的判定定理，即可得到結(jié)論；（2）求出∠FDC的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和，求出∠DCO，然后得到OD=OC，得到∠CDO，即可求出∠BDF的度數(shù)．【詳解】（1）證明：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形；（2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2，∴∠FDC＝36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，∵四邊形ABCD是矩形，∴CO＝OD，∴∠ODC＝∠DCO＝54°，∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵．注意：矩形的對(duì)角線相等，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．23.如圖，平行四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線相交成四邊形EFGH，求證：（1）EG=HF．（2）EG=BC-AB．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解．【解析】【分析】（1）利用三個(gè)內(nèi)角等于90°的四邊形是矩形，即可證明；（2）延長(zhǎng)AF交BC于M，通過全等得到AB=BM，然后證明四邊形EMCG是平行四邊形，得到EG=CM，即可得證．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴∠ABC+∠BCD=180°，

∵BH，CH分別平分∠ABC與∠BCD，

∴∠HBC=∠ABC，∠HCB=∠BCD，

∴∠HBC+∠HCB=（∠ABC+∠BCD）=×180°=90°，

∴∠H=90°，

同理∠HEF=∠F=90°，

∴四邊形EFGH是矩形，∴EG=HF；（2）如圖，延長(zhǎng)AF交BC于M，由（1）中可知AE⊥AF，即∠BEA=∠BEM=90°，在Rt△ABE和Rt△MBE中，，∴△ABE≌△MBE，∴AB=MB，AE=EM，由于四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC=∠ADC，AB=CD∵BH，DF分別平分∠ABC與∠ADC，∴∠ABE=∠CDG，在Rt△ABE和Rt△CDG中，，∴△ABE≌△CDG，∴CG=AE，∴CG=EM，由于四邊形EFGH是矩形，∴EM∥CG，∴四邊形EMCG是平行四邊形，∴EG=MC，由于MC=BC-BM，∴EG=BC-AB．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握判定方法是解題的關(guān)鍵．24.已知矩形中，，，為直線上一點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)在線段上，且時(shí)，求的長(zhǎng)．（2）如圖2，點(diǎn)在線段邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若，連接，為的中點(diǎn)，連接、，求證：．（3）如圖3，在（2）的條件下，、為邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，連接、、、，求四邊形周長(zhǎng)的最小值．【答案】（1）；（2）見解析；（3）．【解析】【分析】（1）先求出，再利用勾股定理求出，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)先判斷出，再證明，得出，然后求出，即可得出結(jié)論；（3）由于和是定值，只要最小即可，如圖作輔助線，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)確定出就是的最小值，然后利用勾股定理求出和即可．即可得出結(jié)論．【小問1詳解】解：如圖1，∵四邊形是矩形，∴，，，∴，在中，，∴；【小問2詳解】證明：如圖2，連接，∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∵點(diǎn)M是的斜邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴；【小問3詳解】解：如圖3，連接，過點(diǎn)Q作交于G，由可得四邊形是平行四邊形，則，作點(diǎn)G關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)