三角函數(shù)全章同步導(dǎo)學案及課后習題總序：與三角函數(shù)同行三角函數(shù)，這門古老而充滿活力的數(shù)學分支，自誕生以來便在天文、地理、物理乃至日常生活中扮演著不可或缺的角色。它是描述周期性現(xiàn)象的數(shù)學語言，是解決三角形問題的有力工具，更是進一步學習高等數(shù)學的重要基石。本導(dǎo)學案旨在陪伴同學們系統(tǒng)地探索三角函數(shù)的世界，從角的概念拓展開始，逐步深入三角函數(shù)的定義、圖像、性質(zhì)及其應(yīng)用，最終掌握三角恒等變換的奧秘。學習三角函數(shù)，理解是核心，應(yīng)用是目標。希望同學們能在本導(dǎo)學案的引導(dǎo)下，勤于思考，勇于探索，多動手演算，多聯(lián)系實際，真正做到知其然，更知其所以然。每一節(jié)的導(dǎo)學案都包含學習目標、知識梳理、思考與探究、典型例題及課后習題，力求為大家提供一個清晰的學習路徑和有效的練習載體。第一章任意角和弧度制1.1任意角學習目標：*理解角的概念的推廣，能正確區(qū)分正角、負角和零角。*掌握象限角的概念，并能判斷給定角所在的象限。*理解終邊相同的角的含義，并能表示終邊相同的角的集合。知識梳理與引導(dǎo)：我們在初中已經(jīng)學習了角的概念，它是由一個頂點和兩條射線組成的圖形，角的范圍通常在0°到360°之間。但在實際生活和科學研究中，我們會遇到超過這個范圍的角，例如鐘表的指針轉(zhuǎn)動、螺絲扳手的轉(zhuǎn)動等。因此，我們需要將角的概念進行推廣。1.任意角的定義：一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形叫做角。旋轉(zhuǎn)開始時的射線叫做角的始邊，旋轉(zhuǎn)終止時的射線叫做角的終邊，端點叫做角的頂點。*正角：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角。*負角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角。*零角：射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，始邊和終邊重合時形成的角。思考：零角的大小是多少？它與射線本身有何區(qū)別？2.象限角：為了研究方便，我們通常在平面直角坐標系內(nèi)討論角。使角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合。*這時，角的終邊（除端點外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角。*如果角的終邊落在坐標軸上，那么這個角不屬于任何一個象限，我們稱其為軸線角（或非象限角）。思考：360°角的終邊在何處？它是象限角嗎？-90°角呢？3.終邊相同的角：*觀察：30°，390°，-330°的終邊有何關(guān)系？它們的大小之間有何規(guī)律？*結(jié)論：所有與角α終邊相同的角（包括α本身），都可以表示為：α+k·360°，其中k∈Z。*注意：*k是整數(shù)，可正、可負、可為零。*α是任意角（通常用角度制表示時，α取0°到360°之間的角；用弧度制表示時，α取0到2π之間的角）。*終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同。典型例題：例1：在0°到360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限角：(1)420°(2)-50°(3)760°分析：將所給角表示成α+k·360°（k∈Z，0°≤α<360°）的形式，則α即為所求角，再根據(jù)α的終邊位置判斷象限。解：(1)420°=60°+1×360°，所以與420°終邊相同的角是60°，它是第一象限角。(2)-50°=310°+(-1)×360°，所以與-50°終邊相同的角是310°，它是第四象限角。(3)760°=40°+2×360°，所以與760°終邊相同的角是40°，它是第一象限角。點評：處理此類問題的關(guān)鍵是對k值的合理選取，確保α落在0°到360°之間。對于負角，通常取k=1使其變?yōu)檎?；對于大?60°的角，通常取k為負整數(shù)使其減小。課后習題（1.1）一、基礎(chǔ)鞏固1.判斷下列各角是第幾象限角，或指出其終邊位置：(1)120°(2)250°(3)-60°(4)630°(5)-90°2.在0°到360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并指出它們是第幾象限角：(1)850°(2)-150°(3)1080°3.寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中在-360°到720°間的角寫出來：(1)60°(2)-21°1.2弧度制學習目標：*理解弧度制的概念，能正確進行弧度與角度的換算。*掌握用弧度制表示的弧長公式和扇形面積公式，并能運用公式解決問題。*了解角的集合與實數(shù)集R之間的一一對應(yīng)關(guān)系。知識梳理與引導(dǎo)：在初中，我們學習了角的角度制。但在高等數(shù)學和科學研究中，更常用的是另一種度量角的單位制——弧度制。1.弧度制的定義：*我們把長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記作1rad（或簡記為1）。*如圖，若弧AB的長l=r，則∠AOB=1rad。*思考：若弧AB的長l=2r，則∠AOB的弧度數(shù)是多少？若弧長l=αr（α為某一正數(shù)），則圓心角的弧度數(shù)是多少？若弧長l<r呢？負角的弧度數(shù)如何定義？*一般地，正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0。如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，那么角α的弧度數(shù)的絕對值是：|α|=l/r。*這就是弧度制下角的度量公式。2.角度與弧度的換算：*我們知道，周角的大小是360°。在弧度制下，半徑為r的圓的周長是2πr，所以周角的弧度數(shù)是|α|=2πr/r=2π。*因此，360°=2πrad，進而可得：*180°=πrad*1°=(π/180)rad≈0.____rad*1rad=(180°/π)≈57.30°=57°18′*角度與弧度的換算，關(guān)鍵在于記住180°=πrad這個核心關(guān)系。在進行換算時，只需將角度數(shù)乘以(π/180)即可化為弧度，將弧度數(shù)乘以(180°/π)即可化為角度。*例如：60°=60×(π/180)rad=π/3rad；π/6rad=(π/6)×(180°/π)=30°。思考：特殊角（如30°，45°，90°，120°，135°，150°，270°等）的弧度數(shù)分別是多少？請熟記。3.用弧度制表示角的集合：*引入弧度制后，與角α終邊相同的角的集合可以表示為：{β|β=α+2kπ,k∈Z}，其中α為角的弧度數(shù)。*象限角的表示也更為簡潔。例如，第一象限角（用弧度制表示）可寫成：(2kπ,2kπ+π/2),k∈Z。4.弧長公式與扇形面積公式：*在角度制下，我們有弧長公式l=(nπr)/180，扇形面積公式S=(nπr2)/360，其中n為圓心角的度數(shù)。*在弧度制下，若圓心角為αrad（|α|<2π），半徑為r，則：*弧長公式：l=|α|r（由|α|=l/r直接變形可得，形式更為簡潔?。?扇形面積公式：S=(1/2)lr=(1/2)|α|r2（思考如何推導(dǎo)？）5.角的集合與實數(shù)集R的一一對應(yīng)：*任意一個角，都有唯一的一個實數(shù)（即這個角的弧度數(shù)）與它對應(yīng)；反過來，任意一個實數(shù)，也都有唯一的一個角（其弧度數(shù)等于該實數(shù)）與它對應(yīng)。因此，角的集合與實數(shù)集R之間是一一對應(yīng)的。這為我們利用函數(shù)觀點研究三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ)。典型例題：例1：將下列角度化為弧度：(1)150°(2)-210°(3)30°30′解：(1)150°=150×(π/180)rad=(5π/6)rad(2)-210°=-210×(π/180)rad=(-7π/6)rad(3)30°30′=30.5°=30.5×(π/180)rad=(61π/360)rad（注意：30′=0.5°）例2：將下列弧度化為角度：(1)π/4rad(2)-3π/2rad(3)2rad(精確到0.01°)解：(1)π/4rad=(π/4)×(180°/π)=45°(2)-3π/2rad=(-3π/2)×(180°/π)=-270°(3)2rad≈2×57.30°=114.60°例3：已知扇形的半徑為10cm，圓心角為60°，求扇形的弧長和面積（結(jié)果保留π）。分析：可以先將角度化為弧度，再使用弧度制下的公式計算，更為簡便。解：因為60°=π/3rad?；￠Ll=|α|r=(π/3)×10=(10π/3)cm。面積S=(1/2)|α|r2=(1/2)×(π/3)×102=(50π/3)cm2。（或S=(1/2)lr=(1/2)×(10π/3)×10=50π/3cm2）點評：在使用公式時，務(wù)必注意單位的統(tǒng)一。若用弧度制公式，則圓心角必須用弧度表示。課后習題（1.2）一、基礎(chǔ)鞏固1.把下列角度化成弧度：(1)225°(2)-300°(3)10°(4)1080°2.把下列弧度化成角度：(1)3π/4rad(2)-7π/6rad(3)π/12rad(4)3rad(精確到1°)3.用弧度制表示：(1)終邊在x軸正半軸上的角的集合。(2)終邊在y軸負半軸上的角的集合。4.已知半徑為5的圓的圓心角α所對的弧長為4π，求角α的弧度數(shù)和角度數(shù)。5.一個扇形的圓心角是π/3rad，半徑是6cm，求該扇形的弧長和面積。二、能力提升6.已知一扇形的周長為8cm，面積為3cm2，求該扇形的圓心角的弧度數(shù)。7.已知角α的終邊與π/3的終邊相同，在[0,2π)內(nèi)，求與α/3終邊相同的角。第二章三角函數(shù)的基本概念2.1任意角的三角函數(shù)學習目標：*理解任意角的正弦、余弦、正切的定義。*掌握三角函數(shù)在各象限的符號。*理解單位圓與三角函數(shù)線的概念，并能利用三角函數(shù)線解決簡單問題（如比較大小、解簡單三角不等式）。*掌握特殊角的三角函數(shù)值。知識梳理與引導(dǎo)：我們已經(jīng)學習了銳角三角函數(shù)，它們是在直角三角形中定義的?，F(xiàn)在，我們要將其推廣到任意角的情形。1.任意角三角函數(shù)的定義：*設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓（圓心在原點，半徑為1的圓）交于點P(x,y)。*那么，y叫做α的正弦，記作sinα，即sinα=y。*x叫做α的余弦，記作cosα，即cosα=x。*y/x叫做α的正切，記作tanα，即tanα=y/x(x≠0)。*思考：對于一個確定的角α，點P(x,y)的坐標是否唯一確定？這說明三角函數(shù)值與什么有關(guān)，與什么無關(guān)？*顯然，對于確定的角α，其終邊位置唯一確定，因此它與單位圓的交點P(x,y)的坐標(x,y)也是唯一確定的，所以sinα,cosα,tanα的值都是唯一確定的。這表明，正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們統(tǒng)稱為三角函數(shù)。*定義域：*sinα和cosα的定義域是全體實數(shù)R。*tanα=y/x，要求x≠0，即角α的終邊不能在y軸上，因此tanα的定義域是{α|α≠π/2+kπ,k∈Z}。*推廣：如果角α的終邊上任意一點P（不與原點重合）的坐標為(x,y)，且點P到原點的距離為r=√(x2+y2)>0，那么三角函數(shù)的定義可以寫為：*sinα=y/r*cosα=x/r*tanα=y/x(x≠0)*這兩種定義是一致的，因為在單位圓中，r=1。2.三角函數(shù)在各象限的符號：*由三角函數(shù)的定義可知，三角函數(shù)值的符號取決于其終邊上點P(x,y)的坐標符號。*sinα=y/r：r>0，所以sinα的符號由y決定。當α的終邊在第一、二象限時，y>